数理逻辑符号系统F与知识表示，本文主要内容关键词为：数理逻辑论文,符号论文,知识论文,系统论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
正统数理逻辑从诞生之日起就远离人的普遍逻辑思考实际，从而从根本上背离了作为真正的逻辑科学的传统形式逻辑的主导思想而与之分道扬镳，发展成一门特殊的离散数学。
正统狭谓词演算符号系统F系统是正统数理逻辑的基础，其研究对象是刻划真值函数关系（即二值的离散数学的函数关系）的真值联结词和只施加于个体变元的量词。因而，尽管F的定理是普遍有效的，但F仍然是一种特殊的离散数学符号系统。
作为离散数学符号系统的正统狭谓词演算符号系统F系统是一门严密而精确的现代数学科学系统，在基础数学等领域中起着非常重大的作用，有十分显著的功效。但是，不能随心所欲地加以夸大，一厢情愿地让F在事实上不能发生效能的领域里发生效能。本文的结论是，数理逻辑符号系统F不是人工智能知识表示的合适的工具。
（一）
正统狭谓词演算F中的真值联结词实质蕴涵（简称“蕴涵”）的真正含义是：不是前真而后假。蕴涵命题"A→B"的真值完全取决于其前后件(A、B)的真值，是真前后件的真值的其值函数。传统形式逻辑所表述的人的普遍逻辑思考中的充分条件假言命题“若A则B”的真值不取决于其前后件的真值，而取决于其间是否具有必然联系。“若A则B”的真值不是A、B的真值的真值函数。可见，从语义上说，正统狭谓词演算F符号系统中的蕴涵式"A→B"所表达的不是人的普通逻辑思考中的充分条件假言命题“若A则B”。蕴涵号“→”同表达充分条件关系的联结词“若，则”大相径庭。然而，正统数理逻辑通常都将“→”念着“若，则”，认为蕴涵关系是对充分条件关系的抽象。正由于此：
第一，正统狭谓词演算符号系统F将传统形式逻辑所总结出的能从已知得出新知、能确保论证不循环的正确推理格式变换成同语反复的蕴涵重言式——以蕴涵为主联结号的永真式。我们知道，任一蕴涵重言式不外乎下述三者之一：(1)前件恒假；(2)后件恒真；(3)直接确定前件为真的根据包括直接确定后件为真的根据。显而易见，前两类蕴涵重言式不是推理式。那么，(3)呢？当人们根据一个推理式进行证明时，总是要求不许循环，因此，正确的推理式必须满足：在不需要确定结论为真的情况下先确定前提为真。可是，任一前件可真可假而后件也可真可假的蕴涵重言式，在未获得直接确定后件为真的根据时不可能直接确定前件为真。较明显的例子是，F系统将传统形式逻辑中能出新知的充分条件假言推理格式变换为如下的同基异构式：
A∧(A→B)→B
这就是一个前件可真可假而后件也可真可假的蕴涵重言式。根据符号系统F的这个所谓“推理式”，要从A∧(A→B)得出B，自然要先确定A∧(A→B)为真；要确定A∧(A→B)为真则又须先确定A真和A→B真；根据A→B的真值函数定义：
AB
A→B
───────────
(1)
1 1 1
(2)
1 0 0
(3)
0 1 1
(4)
0 0 1
在确定A真的情况下（见真值表第(1)、(2)行），要确定A→B为真，则须先确定B的真（据真值表第(1)行）。十分清楚，按照正统狭谓词演算F符号系统这种特殊的离散数学思想，在A∧(A→B)→B中，只有在确定后件B为真以后，才能确定前件A∧(A→B)为真。显然，从A∧(A→B)得出B是一种同语反复。对于人的普遍逻辑思考来说，这是毫无价值的。因此，这类蕴涵重言式也不是推理式。
最早向我国系统地介绍数理逻辑的金岳霖教授在五十年前就指出了：在数理逻辑由“赵云姓赵，赵云姓赵”这一命题可以推论到“赵云姓赵”，可是这种推论没有从已知进到新知的意义。（注：金岳霖：《逻辑》，商务印书馆，1937年版，第162-163页。）金岳霖教授早就看出数理逻辑不是正确的推理理论。
第二，被念作“若，则”而其含义却又不同于表述充分条件关系的“若，则”的实质蕴涵号“→”在符号系统F中引起了数不清的蕴涵怪论。著名的蕴涵怪论可举F系统的如下几个表达定理的符号式：
(1)A→(B→A)
其意为，真命题为任一命题所蕴涵。倘若依此符号式，由于“地球在自转”是真的，那么从“月球会发光”或“月球不会发光”，亦或者从别的任何命题都可推出“地球在自转”来。
_
(2)A→(A→B)
其意为，假命题蕴涵任一命题。要是依此符号式，由于“地球是正方体的”是假的，那么以“地球是正方体的”为前提可以推出任意的胡思乱想、胡说八道来。
(3)(A→B) ∨ (B→A)
其意为，任意二命题，一定至少有一个蕴涵另一个。如果依此符号式，试以“人”为论域，个体变无号x则表示“任意一个人”，那么，“x死了蕴涵x活着，或者，x活着蕴涵x死了”竟然永远是真的（即所谓重言式）。可是，在普通逻辑思考中，“若x死了则x活着，或者，若x活着则x死了”却是十足的胡言；因为一个人“死了”既不是他“活着”的充分条件，也不是他“活着”的必要条件。
十分清楚，实质蕴涵号不是人的普通逻辑思考中的充分条件关系，不是能从已知得出新知的推理的前提与结论之间的关系。这是正统狭谓词演算符号系统F充当知识表示的工具而出现严重语义畸变的根本原因之一。
正统狭谓词演算符号系统F不能作为知识表示的工具的另一个重要因素是F系统中的所谓逻辑量词号。F中只施加于个体变元的全称量词号
x的含义为“每一个x”。对于无限个体域或不可逐一列举的有限域来说，要证实一个含有全称量词号的命题xA(x)为真，等于逐一去证实无限多个单称命题为真。显然，这是不可实施的。因此，从来不曾有人实施过。
就拿一般逻辑读本通常举的“凡人皆有死”来说，F用符号串表述为：
x(s(x)→p(x))…………………(α)
α的数理逻辑语义为，“对于论域客体中的每一个体来说，至少成立下述二者之一：或者该个体不是人，或者该个体有死。”这样的数理逻辑含义中有所谓“逻辑量词”、“实质蕴涵”，故而，为其所承载的命题为真不可能有限地确定。这种命题只有在下述情况下才能确定为真：人类全部消亡，再也没有任何人活着来确定它为真的时候！
鉴于存在量词号x可以由全称量词号导出：
因而，含有存在量词号的命题表达式仍然存在上述问题。汉语语句“有的桌子是十七边形的”所表达的命题，用F的符号表达即为下述表达式：
x(q(x) ∧r(x)) ……………………(β)
β的数理逻辑语义为：“在论域客体中，至少存在一个体，该个体是桌子，并且是十七边形的。”这样的数理逻辑含义中有所谓“逻辑量词”。按照这样的语义，要确定β所表达的命题为假，则是超乎人的能力的——人无法确定，因为必须一张桌子一张桌子逐一进行考察。
不用说含有所谓量词号的符号系统F作为知识表示的工具会碰到很多不可解的难题，就是作为特殊的离散数学，量词号的引入也使F系统在演算上无法避免种种麻烦。
（二）
人们一直把正统数理逻辑狭谓词演算符号系统F系统当作人工智能知识表示的工具，可是如今人们在实践中越来越感到这个系统在知识表示中有着明显的缺陷。
作为专家系统的一种基本型式的产生系统，它的一个重要组成部分是产生式规则。产生式规则一般采用“若……则……”来陈述人类专家总结出来的有关知识。这种规则中的“若……则……”的前后件之间存在着一种称作“启发式信息”的信息。这种启发式信息一定满足充分条件关系（这当然是为人类专家通过内涵的科学分析认可的）。“若……则……”所表示的规则与其前后件之间不是真值函数关系而是非纯真值的内涵的充分条件关系。因此，它实质上是一种内涵控制信息。
目前，产生式规则通常都是采用正统狭谓词演算符号系统F作为形式化工具来表示。按此，一条产生式规则理当对应着F中的一个实质蕴涵式A→B。然而，F中的A→B的真值是其前后件真值的真值函数。它与满足充分条件关系的启发式信息殊异。故而，正统狭谓词演算符号系统F不能如实刻划满足充分条件的非纯真值的启发式信息。难怪，用F作为工具来表示产生式规则，碰到了许多困难。
我们知道，在正统狭谓词演算F中有下面的符号式所表达的定理：
├(
A∨B)→(A→B)…………………(γ)
然而，当A∨B为真时，A与B之间不一定满足充分条件关系。亦即，A与B之间不一定存在内涵控制信息。比如，设A表示“孔明死了”，B表示“孔明是军事家”，则“孔明未死，或者，孔明是军事家(A∨B)”为真；然而，“孔明死了(A)”与“孔明是军事家(B)”之间没有内涵控制信息，即“若孔明死了，则孔明是军事家”为假。设A表示“孔明死了”，B表示“孔明活着”，则当“孔明未死，或者，孔明活着”(即A∨B)为真时，“孔明死了(A)”与“孔明活着(B)”之间没有内涵控制信息，即“若孔明死了，则孔明活着”为假；然而，奇怪的是，此时，“孔明死了(A)”与“并非孔明活着(B)”之间却反而存在内涵控制信息。可见，与定理γ相对应的“若A∨B，则A→B”不是规则。在一些产生式系统中，从A∨B不可得出A→B。这就是一些专家系统的设计者不得不将“若A∨B，则A→B”从规则中淘汰出去的缘由：在“非A，或，B”跟“若A则B”之间没有内涵控制信息（即启发式信息）。正由于此，专家系统的设计者在选用符号系统F中的形式定理作为规则的表示方式时，不得不非常谨慎。然而，至今设计者们没有找到一个严格的关于怎样选用F的形式定理的标准。
被充当形式化知识表示工具的正统狭谓词演算符号系统F系统中的纯真值的实质蕴涵关系不存在启发式信息，而专家系统中的产生式规则却需顾及“若……，则……”的前后件之间的启发式信息。正因为这样，这种作为内涵控制信息的启发式信息有时也叫做“超逻辑”的控制信息。这里，“超逻辑”中的“逻辑”即正统数理逻辑。而正统数理逻辑是离散的基础数学，因此，所谓“超逻辑”就是超出离散的基础数学的范围之外，当然，也就是超出符号系统F系统之外了。关于启发式信息这种“超逻辑”的问题，其实就是真正的逻辑问题。这个真正的逻辑就是作为传统形式逻辑当代发展的由中国人创立的制约逻辑。因为制约逻辑中的制约关系就是刻划清楚后的充分条件关系。产生式规则的“若……则……”的前后件之间的关系就是制约关系。启发式信息（或内涵控制信息）就是存在于制约关系即充分条件关系中的两个独立性。关于制约逻辑符号系统Cn系统与知识表示的关系，另文讨论。
（三）
至此，应该对正统狭谓词演算符号系统F系统提出下述两个问题：
(1)F系统中有哪些符号式表示的定理不能作专家系统中的规则？这些符号式表示的定理有多少？
(2)除F系统中表达定理的符号式之外，还有没有可作专家系统的实际可用的有效规则？
十分显然，由于符号系统F中的实质蕴涵“→”与表达充分条件关系的“若……则……”殊异，→的前后件之间不满足启发式信息，因而，狭谓词演算的实质蕴涵怪论，其符号表达式在F系统中虽然是定理（可证公式），可是不能作为专家系统的规则。下面我们列出部分实质蕴涵怪论式（由于这些式子在F中是定理，因而我们加上断定号├[F]）：
_
在这八个符号式中，我们将∧省略不写。并且，对A，我们采用其缩写A。我们还采用了相同联结号的右结合律。
从理论上讲，符号系统F中有无限多个称为F的定理的符号式不能作为专家系统的规则。
这就回答了前述第(1)个问题。为了回答前述第(2)个问题，我们不得不提及制约逻辑名词演算符号系统Cn系统。我们必须把符号系统F和Cn对比起来才好回答第(2)个问题。
已经证明了，从形式上说，当制约逻辑名词演算符号系统Cn中的“制约”、“必定”分别跟正统狭谓词演算符号系统F中的“实质蕴涵”、“每一个”作对应时，Cn跟F是交叉关系，互相只包含对方的真部分，有共同的定理（当然，语义完全不同），也各有分别不属于对方的定理。
为了对Cn和F作纯语构的对照，需建立二者之间的对应关系：
在把Cn和F作纯语构的对照时，我们当然不能混淆二者在语义上的差别：（见下面对照表）
F与Cn的语义完全不同，F语义畸变严重，人们觉得F可用是由于自发地把它改造为Cn的语义。正是这个原因，F中出现了实质蕴涵怪论。请看，与前面所列的八个F的符号式相对应的Cn的下列符号式，在Cn中是不可证的，不是Cn的定理（我们用├[Cn]表示在Cn中不可证）：
这些符号表达式在F系统中不可证。可见，在符号系统F的定理之外，有无限多个实际可用（即具有内涵控制信息）的有效规则。
正统数理逻辑狭谓词演算符号系统F系统在表达知识时，不仅会出现无穷多蕴涵怪论而导致语义畸变，对含有量词的无数命题的真值的确定无法实施，而且对存在F系统外的无限多条规则不能表达，对含有“必然”、“可能”、“偶然”的知识的表达无力问津，因而，正统数理逻辑符号系统F系统不是知识表示的合适的工具。
