内生系统与经济增长_经济增长理论论文

内生制度与经济增长，本文主要内容关键词为：经济增长论文,内生论文,制度论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

一、前言

在20世纪80年代之前，由Solow(1956)和Swan(1956)等所创立的新古典经济增长理论，在西方经济学的经济增长理论中占据着主导的地位。新古典经济增长理论把知识(技术)等看作是独立于经济系统的外生变量，不能很好地解释20世纪经济增长与知识增长的关系，也几乎无法解释不同国家之间经济增长存在巨大差异的问题。

Romer(1986)和Lucas(1988)的两篇经典文献的问世，标志了内生经济增长理论的诞生。内生经济增长理论突破了新古典增长理论的研究局限，将知识视为经济系统的内生变量，强调了知识在经济增长中的作用，因此，可以解释为何发达国家经济增长率高于人口增长率且比许多发展中国家经济增长快的新古典经济增长理论难以解释的现象。但是，在内生经济增长理论模型中，制度往往被看作是外生的因素，因而在很大程度上忽视了制度在经济增长中的重要作用。（注：Barro and Sala-i-Martin( 1995) ,Jones and Manuelli( 1997) ,Sala-i-Martin( 2002) 对内生经济增长理论做了详细的介绍。）

North and Thomas( 1973) ,North( 1981,1990) ,Lin and Nugent( 1995) 等指出，有效的制度可以缩小经济活动的私人收益率和社会收益率的差异，从而促进经济的增长，因而一种提供适当个人激励的有效制度对经济增长有着决定性的作用。Schully( 1988) ,Lin( 1992) ,Mauro( 1995) ,Knack and Keefer( 1997) ,Jones and Hall( 1999) ,Acemoglu,Johnson and Robinson( 2001) ,Acemoglu and Johnson( 2003) 等的经验研究也证明了制度对经济增长的促进作用。奥斯特罗姆、菲尼和皮希特(1996)也曾指出，制度是经济增长的第四个因素，不发达国家经济发展缓慢有着其深层次的制度原因。

有关制度与经济增长关系的研究也引发了一个具有争议性的问题，即制度变迁与技术变迁两者之间的关系。Helliwell(1992)，Fedderke and Klitgaard(1998)等认为，在经济发展过程中，人们会去追求不同的制度。也就是说，在这些学者看来，技术变迁及经济增长将决定制度的变迁。Lener(2002)的经验研究也在一定程度上支持了这一结论。

制度变迁与技术变迁两者之间的关系可能正如Ruttan(1978)，Matthews(1986)和Lin(1989)等所认为的那样，是互为交织和互为促进的，人们很难将制度变迁和技术变迁两者割裂开来。最近的一些经验研究也表明，在经济增长过程中，制度扮演着重要的角色，但制度不是外生的，它与技术都内生于经济系统，制度变迁与技术变迁和经济发展相互促进(Acemoglu,Johnson and Robinson,2003; Khan,2004)。

本文将以专利制度为例，来研究内生制度与内生经济增长问题。从经济发展的历史来看，从1623年英国政府颁布第一部正式专利法《垄断权法》起，各国政府都想通过制定和实施专利制度来促进科学技术进步和创新，从而提高社会福利水平。但是，经济学家对专利制度作用的认识并非是完全一致的，归纳起来主要有四种论点：专利制度可以鼓励发明与创新(Mill,1848; Nordhaus,1969; North and Thomas,1973; Khan,1995)；专利制度基本是多余的(Pigou，1920)；专利制度对经济发展是有害的(Plant，1934)；（注：Plant认为，发明和创新完全依赖于哲学家的灵感，与经济行为无关。在此基础上，Plant指出，由于专利制度会产生垄断，因此，对经济发展是有害的。但是，在现代的社会中，大量研究和开发在商业企业中进行。因此，在现代社会中，Plant的观点可能是不正确的。）专利制度在某种程度上是有用的，但比政府直接投资于发明活动的效果差(Arrow，1962)。（注：有关内容请参见张五常(2000，第387～388页)。）

最近的一些经验研究表明，专利制度可以促进创新和经济增长(Kahn and Sokoloff,2001; Kanwar and Evenson,2003)。因此，本文假设专利制度的实施可以促进创新，但同时也需要承担成本。专利制度，一方面可以通过促进创新为社会带来收益；另一方面也带来了两种成本，即实施专利制度的成本与由于赋予专利权人市场垄断力量导致资源配置扭曲而带来的成本。当收益大于成本时，专利制度才会促进经济增长，此时，社会才会实施专利制度，从而促进创新。反之，社会不会制定或制定但不实施专利制度。

如果政府制定了但不实施，那么专利制度实际上并不对经济活动产生影响。因此，在本文的分析中，专利制度内生意味着专利制度的实施。据此，内生专利制度问题就转化为社会选择最优实施专利制度时间的问题，即社会选择实施专利制度的时间使得社会福利最大化的问题。由于专利制度会促进创新，提高经济增长率，所以越早(越迟)实施专利制度带来越大(越小)的收益。与此同时，由于实施专利制度需要成本，所以越早(越迟)实施专利制度使得贴现成本越大(越小)。因此，存在最优实施专利制度的时间使得社会福利最大化，即专利制度是内生于经济系统的。

Eicher and Pealosa(2003)和Tornell(1997)等研究了内生制度与经济增长问题，但本文的研究角度与他们不同。在Eicher and Pealosa(2003)中，内生制度问题指的是内生制度质量(制度实施严厉程度)的问题。Tornell(1997)在新古典经济增长模型的框架中，研究了共有产权、私人产权之间相互转化的问题，即产权内生的问题。本文在内生经济增长模型的框架中，研究最优的实施专利制度时间的问题，是上述两篇文献的补充。

本文以下部分的框架如下：第二节构建一个内生经济增长模型来研究内生制度与内生知识增长、内生经济增长的问题；第三节研究实施制度的成本、人口总量、时间贴现率、跨时替代弹性对制度变迁的影响，在此基础上说明制度变迁和技术变迁之间的关系，以及模型的现实解释力；第四节是小结。

二、内生制度

假设一个国家的人口总量为L，每一个人都无弹性地提供1单位劳动以获得收入，从而最大化效用：

附图

其中，C(t)表示消费者在t时间的总量消费，1/ε和ρ分别表示跨时消费替代弹性和时间贴现率。据此，最优的消费增长率为：

C[&]/C=1/ε(r-ρ).

(2)

假设厂商发明一种中间产品的成本为η单位最终产品Y，新产品的质量水平为q。如果一个社会实施专利制度，那么厂商取得永久的专利保护。（注：其实，这里隐含的假设是专利的长度是无穷长。更为现实的假设是，专利的长度有一定的期限，例如Barro and Sala-i-Martin(1995，第223页)。但是，这样的假设并不会改变本文的主要结论。）在发明之后，中间产品的边际生产成本为1单位最终产品Y。相反，如果一个社会没有实施专利制度，中间产品发明之后，其它厂商就会模仿。由于与模仿的成本相比，新产品的开发成本往往是非常巨大的，所以假设模仿厂商边际成本为β＜1。另外，假设模仿产品的质量水平为1，因为与模仿厂商相比，发明厂商对新产品的原理等更加了解，所以发明的产品的质量水平q＞1。

沿着Romer(1990)，Grossman and Helpman(1991)的研究思路，假设第i个最终产品厂商的生产函数为：

附图

其中，Y[，i]表示第i个厂商的产出，L[，i]表示劳动的投入量，X[，ij][Total]表示第j种中间产品的投入量，A表示中间产品的种类数，X[，ij][Total]=X[，ij][I]+qX[，ij]，其中X[，ij][I]表示模仿的第j种中间产品的投入量，X[，ij]表示发明的第j种中间产品的投入量，o＜α＜1。这一生产函数表明，劳动投入L[，i]和中间产品的投入X[，ij][Total]的边际收益递减，但对全部投入要素而言，规模收益不变。

由于发明厂商所生产的中间产品和模仿厂商所生产的中间产品是完全替代的，因此，沿着Grossman and Helpman(1991)的研究思路，假设发明厂商和模仿厂商在市场上进行伯特兰(Betrand)价格竞争。当一个社会没有实施专利制度时，由式子(3)可以知道，1单位模仿厂商所生产的中间产品只相当于1/q单位发明厂商所生产的中间产品。因为发明厂商和模仿厂商在市场上进行伯特兰(Betrand)价格竞争，所以发明厂商将会把第j种中间产品定价为：

p[，j]=βq.

(4)

如果βq1，那么生产发明的中间产品的厂商不能获得利润来弥补开发新产品的投入成本η，就不会发明新的中间产品，相应地，模仿厂商也没有新产品可以模仿，均衡的经济增长率为0。因此，此处假设βq＞1。这表明，即使社会不实施专利制度，发明厂商还是会采取相应定价策略，保护它们的创新利益。此时，经济还是可以持续增长，只不过经济增长率较低。

倘若发明厂商将自己所生产的中间产品定价为βq-δq，δ为任意小的正实数，那么模仿厂商只能将自己所生产的中间产品定价为β-δ，此时，模仿厂商不可能获得利润，只能退出市场。因此，只要发明厂商将中间产品定价为βq，发明厂商就可以拥有永久的市场垄断力量。

由式子(3)和式子(4)可以得到，第i个厂商的第j种中间产品的投入量：

X[，ij]=(L[，i]/q)(α/β)[1/(1-α)].

(5)

因此，整个市场对第j种中间产品的需求量为：

附图

由于在本文中，中间产品是完全对称的，因此，由式子(4)和式子(6)可知，每一种中间品的市场价格都是p=βq，市场需求量都是X=(L/q)(α/β)[1/(1-α)]。据此，厂商发明每一种中间产品所能获得的垄断利润为：

附图

其中，(v，t)=∫[，t][v]r(u)du/(v-t)表示时间t和v之间的平均利息率。假设研究开发的市场进入是完全自由的，每一个厂商都可以通过支付固定成本η来发明新中间产品。在这一假设下，发明中间产品的厂商所获得的垄断利润π应该等于固定成本η，即：

附图

式子(8)两边对时间t求导，那么可得，在任何时间t利率都为常数：

r=(L/η)(β-(1/q))(α/β)[1/(1-α)].

(9)

根据式子(2)和式子(9)可以得到最优的经济增长率：

g=(1/ε)[(L/η)(β-(1/q))(α/β)[1/(1-α)]-ρ].(10)

据此，有命题1。

命题1：如果一个社会没有实施专利制度，经济增长不存在转型动态，经济在一开始就达到均衡，均衡的经济增长率为(1/ε)[(L/η)(β-(1/q))(α/β)[1/(1-α)]-ρ]。

证明：见附录。

其实，这一模型最终将转化为AK模型，因而与AK模型相类似，经济增长不存在转型动态，即总消费、总产量和中间产品种类数在一开始就以均衡的速度增长。（注：对模型转型动态的详细分析请参见Barro and Sala-i-Martin(1995，第142～143页)。）

当一个社会没有实施专利制度时，根据命题1的研究结论可以计算出社会的总效用。因此，有命题2。

命题2：当一个社会没有实施专利制度时，社会总效用为：

U=1/(1-ε)｛[η(-g)A(0)][1-ε]/(ρ-(1-ε)g)-1/ρ｝.

(11)

其中，=(L/η)(α/β)[1/(1-α)](β/α-1/q)。

证明：见附录。

由于中间产品质量q的提高会增加最终消费品的生产，因此，社会总效用U是中间产品质量q的增函数，即U/q＞0。生产中间产品边际成本η的下降意味着生产效率的提高，这显然会提高整个社会的效用水平，即U/η＜0。当时间偏好率ρ下降时，消费者即使不改变原来的消费路径也可以得到更高的效用水平，因而U/ρ＜0。此外，由式(11)可知，U/A(0)=(η(-g))/(1-ε)[η(-g)A(0)][-ε]/(ρ-(1-ε)g)＞0。也就是说，在其它条件不变的情况下，初始技术水平高的国家将会拥有更高的社会效用水平。

为了研究最优的实施专利制度时间的问题，需要对实施专利制度的成本做一些假设。假设一个社会在时间t实施专利制度的成本为

附图单位效用，其中μ是常数，g′表示社会实施专利制度时的经济增长率，ρ-(1-ε)g′表示社会实施专利制度时的净时间贴现率。（注：此处，为了分析的方便，假设实施专利制度的成本由效用来衡量。实际上，在分析社会从一种状态转变为另一种状态最优时间问题时，一般假设成本由效用来衡量(例如Makris，2001)。实际上，效用的大小与最终消费品的数量密切相关，因此，假设实施专利制度的成本由效用来衡量，只不过是为了分析的方便，忽略了实施专利制度的成本由最终消费品来衡量转化为由效用来衡量的内在机理。）g′越大，意味着中间产品种类数增长越快，因此，实施专利制度的成本越高。另外，随着时间的推移，实施专利制度的贴现成本越来越小，当t→∞时，实施专利制度的贴现成本趋于0。

当一个社会在时间t实施专利制度时，社会上不存在模仿厂商，因此，第j种中间产品厂商所面对的市场需求曲线为：

X′[，j]=L·(αq[α]/p′[，j])[1/(1-α)].

(12)

其中，p′[，j]表示当一个社会实施专利制度时的第j种中间产品的垄断价格。因为生产第j种中间产品的边际成本为1，所以根据式子(12)可得第j种中间产品的垄断价格为：

p′[，j]=p=1/α.

(13)

如前所述，因为在本文中，中间产品是完全对称的，所以所有中间产品的垄断价格都是常数1/α。（注：如果1/αqβ，那么即使一个社会没有实施专利制度，也不会存在其它厂商进行模仿。换句话说，由于模仿产品的相对质量是如此之低，即使发明厂商采取垄断定价，生产模仿产品还是不能获得利润。此时，专利制度的实施不会产生任何作用，一个社会不需要实施专利制度。因此，为了本文的研究目的，假设1/α＞βq。）因此，生产中间产品的厂商的垄断利润为：

附图

由式子(14)可得均衡利率为：

r′=(L/η)(1/α-1)(α[2]q[α])[1/(1-α)].　(15)

相应地，均衡的经济增长率为：

g′=(1/ε)[(L/η)(1/α-1)(α[2]q[α])[1/(1-α)]-ρ].

(16)

与一个社会没有实施专利制度的情况相似，即使一个社会实施专利制度，经济增长也不存在转型动态。

命题3：当一个社会实施专利制度时，经济增长也不存在转型动态，经济在一开始就达到均衡，在实施专利制度前，均衡的经济增长率为(1/ε)[(L/η)(β-1/q)(α/β)[1/(1-α)]-ρ]，在实施专利制度后，均衡的经济增长率为(1/ε)[(L/η)(1/α-1)(α[2]q[α])[1/(1-α)]-ρ]。

证明：见附录。

当一个社会在时间t实施专利制度时，由命题1知道，在时间t之后，经济即时达到新的均衡。与此同时，新的均衡并不影响时间t之前的利息率，因而经济也在时间0开始就达到均衡，不存在转型动态。

在命题3的基础上，可以研究为了追求整个社会的福利最大化，一个社会应该在什么时候实施专利制度的问题，即内生专利制度的问题。

命题4：为了使得整个社会福利达到最大，制定并实施专利制度的最优时间为：

附图

其中，g′和g分别表示一个社会实施专利制度后和实施专利制度前的均衡经济增长率，

ε)｛[η(-g)A(0)][1-ε]/(ρ-(1-ε)g)｝。

证明：见附录。

如果实施专利制度，那么社会在获得收益的同时需要承担相对应的成本。越早实施专利制度，收益和贴现成本都越大；反之亦然。因为净收益与时间存在非线性的关系，所以存在最优的实施专利制度的时间。

由于实施专利制度会提高一国的经济增长率和社会福利水平，因此，一个国家就有激励制定和实施专利制度。据此，在本文中，可以认为是追求社会福利最大化的政府在制定和实施专利制度。由于制定和实施专利制度需要成本，因此，在时间t[*]，政府需要向厂商(或个人)征收一次性总量税，当以效用来衡量时，总量税的数额应该等于μ·e[-[ρ-(1-ε)g′]t[*]]。（注：假设政府征税不需要成本。显然，假设政府征税需要成本也不会改变本文的主要结论。）与此同时，因为制定和实施专利制度对厂商(或个人)有利，所以厂商(或个人)也愿意交税。因此，追求社会福利最大化的政府不但有激励，而且也能够很好地完成制定和实施专利制度的任务。

三、制度变迁和技术变迁

实施专利制度的时间取决于所要花费的成本和所能获得的收益的相对大小。当经济系统中的某些因素使得成本和收益发生变化时，社会也会相应地改变实施专利制度的时间。在经济系统中，影响实施专利制度时间的因素有实施成本μ、时间贴现率ρ、人口总量。

命题5：t/μ＞0，t/ρ＞0，t/L＜0。

证明：见附录。

实施成本越小意味着进行制度变迁的净收益越大，社会就会越早实施专利制度；反之亦然。时间贴现率越低(越高)，人们越有(没有)耐心等待未来的消费。由于净收益是在未来中获得，所以时间偏好率越低(越高)，社会越早(越迟)实施专利制度。Eicher and Pealosa(2003)和Tornell(1997)在研究时间贴现率对制度变迁的影响时，得到的结论与本文相同。由于人口总量的扩大(缩小)会提高(降低)经济增长率，从而增加实施专利制度的收益，所以会使得社会越早进行制度变迁。这与新制度经济学的一般结论是一致的。

在命题5的基础上，可以解释在世界经济发展历史上，为什么英国会是第一个实施专利制度的国家，其他国家随后仿效英国实施专利制度。人们普遍赞同，1623年英国政府颁布的《垄断权法》是世界历史上第一部正式的专利法。此后，法国在1791年制定和实施了专利制度。欧洲其他的大部分国家都在19世纪的上半叶制定和实施专利制度——俄国(1812年)、普鲁士(1815年)、比利时和荷兰(1817年)、西班牙(1820年)、瑞典(1834年)、葡萄牙(1837年)。

由式子(19)可知，要使得专利制度在时间t[**]之前实施，实施成本需要满足：

附图

也就是说，要t[**]在之前实施专利制度，实施成本需要比μ[**]小。在英国，自从15世纪晚期开始，征税权一直在议会的掌握之中。由于议会是由商人和有土地的中上阶层所组成，所以议会的兴趣在于通过限制国王的权利来终止各种限制性措施，并保护私有财权和竞争。议会的出现使得英国产权的性质偏离了欧洲大陆的模式，导致私有产权制度在英国逐渐建立。在17世纪的欧洲，英国是私有产权制度最为发达的国家。因为专利制度也是一种私有产权制度，所以可以认为在17世纪，如果实施专利制度，那么英国是欧洲各国中，实施成本μ最小。（注：此外，在15世纪之前，英国皇室为了增加税收，规定只要技术发明者缴纳一定的费用，新技术往往能够得到保护，获得市场垄断力量。也就是说，英国有保护专利的传统。这也会降低实施专利制度的成本。）另外，16世纪欧洲各国人口的增长也为实施专利制度创造了有利的条件。因此，根据式子(20)可以解释英国为什么是世界上第一个建立专利制度的国家，也可以较好地解释英国为什么会在17世纪早期制定和实施专利制度。（注：在17世纪，与英国一样，荷兰也有着发达的私有产权制度。但是，由于荷兰是一个资源相对稀缺的国家，主要从事国际贸易的活动，所以在当时实施专利制度的收益较小，在1817年才正式实施专利制度。）本文的模型也表明，实施专利制度之后，社会会把更多的资源投入到发明和创新之中，促进经济的增长。这一结论与近代欧洲的经济史相符合(North，1981，第11章)。

自从18世纪60年代发生工业革命以来，英国经济取得了长足的进步，私有产权制度进一步得到加强。但是，与英国不同，其他欧洲国家并没有建立起有效的私有产权制度，而正在努力清除中世纪遗留下来的经济制度；努力清除专制政权财政掠夺的制度；努力取消庞大和复杂的寻租系统。在1789年的法国革命之后，欧洲其他国家才进行了更为广泛的改革，到1815年，这一改革过程尚未完全结束(Mokyr，2004)。也就是说，在法国革命之后，欧洲其他国家如果实施专利制度，实施成本才比较小。因此，本文的模型也可以解释为什么其他欧洲国家在法国革命之后才会制定和实施专利制度。

我国在1984年3月21日第六届全国人民代表大会常务委员会第四次会议通过了《中华人民共和国专利法》，从1985年4月1日开始生效。在1978年改革开放之前，我国实行的是计划经济体制，公有制占绝对统治地位，保护私有产权的专利制度肯定不可能制定和得到实施。1978～1985年间是我国改革开放的第一阶段，通过这一阶段，我国的社会主义市场经济体系逐渐建立，市场机制逐渐成为配置资源的主要方式，私有产权制度逐步确立，保护私有产权的成本下降，制定和实施专利制度的时机已趋成熟。因此，本文的模型也可以较好地解释为什么我国会在1985年才实施专利制度。

一个社会越早进行制度变迁意味着这一社会制度变迁的速度越快；反之亦然。换句话说，在本文中，最优的制度变迁时间t代表制度变迁的速度。式子(19)表明，制定和实施专利制度的最优时间是技术变迁速度(g和g′)的函数，这表明技术变迁的速度决定了制度变迁的速度。由式子(10)和式子(16)可知，时间偏好率的下降、人口总量的增加都会提高知识增长率；反之亦然。与此同时，由命题5可知，时间偏好率的下降、人口总量的增加都会加快社会制度变迁的速度；反之亦然。据此，如果一个社会技术变迁的速度越快，那么这一社会制度变迁的速度也会越快；反之亦然。由命题3可知，如果一个社会在时间t进行制度变迁，那么变迁前后的技术变迁速度分别为g和g′，这表明制度变迁的速度决定了技术变迁的速度。因此，制度与技术都是内生于经济系统的，技术变迁和制度变迁两者是互为交织和互为促进的，人们很难把它们割裂开来。

四、小结

绝大多数人都会赞同，制度是影响经济增长的主要因素之一。但是，原有内生经济增长理论主要是从知识创新的角度来关注知识的生产及其对经济增长的影响，很少关注制度对知识增长和经济增长的影响以及制度变迁和技术变迁之间的关系。本文在原有内生经济增长理论的基础上，建立了一个同时将制度和技术内生化的经济增长模型，对内生制度的问题做了初步尝试。这一模型从专利制度的角度出发研究了制度、知识与经济增长的关系，弥补了原有内生经济增长理论忽视制度对经济增长作用的缺陷，从而使得内生经济增长理论更具现实的解释力。

模型结论表明：知识增长的速度决定了一个社会实施专利制度的最优时间，即技术变迁的速度决定制度变迁的速度；制度变迁也会引起知识增长速度的变化，即制度变迁决定技术变迁。因此，制度与技术都不是外生的，而是内生于经济系统，制度变迁和技术变迁相互交织，相互促进，存在着互动的关系。模型结论也表明：实施成本的减小(增加)使得社会越早(越迟)实施专利制度，加快(减缓)技术变迁的速度；时间贴现率越低(越高)，人们对未来的消费越有(没有)耐心，社会越早(越迟)实施专利制度，从而加快(减缓)技术变迁的速度；人口总量的增加(减小)提高了制度变迁的收益，使得社会越早(越迟)进行制度变迁，促进(阻碍)技术的变迁。

本文假设发明一种新技术之后，厂商可以获得全部的垄断利润。也就是说，本文假设专利的长度和专利的宽度都是无限的。但是，在现实生活中，专利的长度和专利的宽度往往是有限的。在不同的国家，最优的专利的长度和专利的宽度也往往不同，例如与发展中国家相比，在发达国家，需要更宽的专利的宽度。因此，值得考虑专利的长度和专利的宽度问题，进一步完善本文的模型。

附录：

命题1的证明

证明：由式子(3)和式子(5)可知，社会总产出为：

Y=Y[，i]=L(α/β)[α/(1-α)]A.

(a1)

整个社会的预算约束为：

Y=C+ηA[&]+AX

(a2)

其中ηA[&]表示整个社会的R&D投入，AX表示整个社会生产中间产品的投入量。由式子(a1)和式子(a2)可知：

A[&]=(L/η)(α/β)[1/(1-α)](β/α-1/q)A-c/η.

(a3)

如果假设在时间0时的消费为C(0)，那么由式子(2)和式子(9)可知，在时间t的消费则为：

C(t)=C(0)e[gt].

(a4)

此时，微分方程(a3)的解为：

A(t)=me[t]+[C(0)/η(-g)]e[gt]，(a5)

其中，m是一个常数，=(L/η)(α/β)[1/(1-α)](β/α-1/q)。

由式子(a2)可知，资本总量为：

K=ηA[&]+AK=ηg(t)A+AX.

(a6)

因此，中间产品种类数满足相截性条件：

附图｛A(t)(ηg(t)+X)e[-rt]｝=0.

　 (a7)

由式子(1)可知，g(1-ε)＜ρ，再根据式子(2)可知，g＜r。此外，由的表达式可知，＞r。把式子(a5)代入式子(a7)可得常数m=0。因此，在时间t的消费为：

C(t)=η(-g)A(t).

(a8)

式子(a1)表明，g[，c]=g[，A]=g[，Y]=g。因此，经济增长不存在转型动态，中间产品种类数A、消费总量C和总产出Y在时间0分别为A(0)、η(-g)A(0)和L(α/β)[α/(1-α)]A(0)，且这三个变量的增长率都等于g。

命题2的证明

证明：根据命题1的结论，由式(1)和式子(a8)可知

附图

命题3的证明

证明：由于只有在时间t之后承担实施专利制度的成本，且实施专利制度的成本由效用来衡量，所以如果一个社会在时间t实施专利制度，那么与命题1的证明相似，在时间t以后，经济增长没有转型动态，均衡的经济增长率为(1/ε)[(L/η)(1/α-1)(α[2]q[α])[1/(1-α)]-ρ]。在实施专利制度后，在时间t发明中间产品的厂商可以获得垄断利润η，因而在时间u(时间t之前)发明中间产品的厂商获得的垄断利润为：

附图

据此可知，在时间t之前，均衡利率都为：

r=(L/η)(β-1/q)(α/β)[1-(1-α)].

(a10)

此时，由式子(2)和式子(9)可知，消费量可以表示为C(u)=C′(0)e[gu]，u∈[0，t]。与当c′(0)=η(-g)A(0)时相比，当C′(0)η(-g)A(0)(C′(0)η(-g)A(0))时，一个社会在时间0减少(增加)了中间产品创新的投入，降低(提高)了产出的增长率，即g(0)g(g(0)g)。此时，rεg(0)+ρ(rεg(0)+ρ)，即消费者储蓄的收益大于(小于)成本。因此，消费者减少(增加)消费会提高社会总福利水平，消费者的最优选择是C′(0)=η(-g)A(0)。也就是说，在时间t之前，消费总量C(u)、中间产品种类数A(u)和总产出Y(u)的均衡路径与命题1所描述的完全一样。因此，在时间t之前，经济增长不存在转型动态，均衡的经济增长率为(1/ε)[(L/η)(β-1/q)(α/β)[1/(1-α)]-ρ]。