中美数学能力目标的差异分析，本文主要内容关键词为：中美论文,差异论文,目标论文,能力论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
2000年美国国家数学教师理事会NCTM颁布《美国学校数学教育的原则和标准》，2011年中国教育部颁布《义务教育数学课程标准（2011年版）》，研究发现，中美两国的数学能力目标在设置上有相互融合的发展趋势，其中一致的目标有问题解决能力、推理能力、数学交流与表达能力.本研究以初中阶段为例，旨在分析中美两国相同数学能力目标的具体内涵和内容差异，以此为中国数学能力目标的设置提出反思和借鉴. 一、中国数学能力目标 （一）问题解决能力目标 中国的问题解决能力目标包括发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.对基础教育阶段学生的整体要求是学生初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力，获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识，初步形成评价与反思的意识.对七至九年级初中学生的要求是能从日常生活中发现和提出简单的数学问题，并尝试解决，了解分析问题和解决问题的一些基本方法，知道同一个问题可以有不同的解决方法，尝试回顾解决问题的过程. （二）推理能力目标 中国的推理能力目标贯穿于数学学习的整个过程，包括合情推理能力和演绎推理能力.合情推理是从已有事实出发，凭借经验和直觉通过归纳和类比推断结果.演绎推理是从已有事实和确定规则出发，按照逻辑法则证明和计算.对基础教育阶段学生的整体要求是，学生在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力.对七至九年级初中学生的要求是能收集、选择、处理数学信息，并作出合理的推断或大胆的猜测；能用实例对一些数学猜想作出检验，从而增加猜想的可信程度或推翻猜想；能体会证明的必要性，发展演绎推理能力. （三）交流与表达能力目标 中国数学交流与表达能力目标包括自我交流和他人交流.自我交流，即自我思考与反省；他人交流，即与人合作、讨论及质疑.对基础教育阶段学生的整体要求是，在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，清晰地表达自己的想法，有条理地阐述自己的观点，学会独立思考，学会与他人合作交流.对七至九年级初中学生的要求是在问题解决过程中学会独立思考，在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论，能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识. 二、美国数学能力目标 （一）问题解决能力目标 美国的问题解决能力是学生能力的核心，整个数学课程以问题解决作为学习与应用的基础和中心，通过问题增加学生对数学作用的认识.对K-12年级学生的整体要求是通过解决问题掌握新的数学知识，解决在数学及其他情境中出现的问题，采用各种恰当的策略解决问题，检验和反思数学问题解决过程.对六至八年级初中学生的要求是通过解决日常生活中的问题理解数学概念，解决概率、统计、几何和有理数等比较复杂的问题，问题情境和解题方式应与对数的理解、运算的掌握和语言的发展相匹配. （二）推理能力目标 美国的推理能力目标实质是帮助学生认识到推理和证明是数学的基础，为探索和表达事物内在关系提供方法.对K-12年级学生的整体要求是能够根据观察到的规律提出数学猜想，选择和运用不同的推理和证明方法检验猜想，利用归纳和演绎推理建立数学证明.对六至八年级初中学生的要求是经常体验不同的推理经历，发现规律，做出并检验猜想，解释猜想的依据和结论的合理性，用定义和已知事实推理和证明，与老师和同学讨论推理过程. （三）交流与表达能力目标 美国数学交流与表达能力主要指与他人的交流，学生用图表、实物、口头描述、文字和数学符号向同学或老师解释推理过程，有助于学习数学概念、发现问题、认识自己的思维.对K-12年级学生的整体要求是清楚连贯地与他人交流，分析和评价他人的数学思维，用数学语言精确地表达数学观点，以此组织和巩固自己的数学思维.对六至八年级初中学生的要求是不仅能解释解决问题所使用的方法，而且能够分析、比较、对比不同方法的含义，有效性和优美性.解释的内容不仅包括步骤的表述和结论，也包括数学论证的逻辑性和合理性. 三、中美两国数学能力目标比较 （一）共性分析 1.问题解决能力目标总体要求一致 第一，问题解决能力培养均以数学课程内容为载体，渗透到各部分教学内容中.第二，两国均强调通过问题解决过程加深对数学概念的理解.第三，两国都注重分析和解决日常生活中的问题.第四，两国都注重运用不同方法和策略解决问题.第五，两国的问题解决过程都包括反思环节，修改、变换解题过程. 2.推理能力目标均包含合情推理和演绎推理 第一，中美两国都比较重视推理能力，中国将推理能力的发展贯穿于整个数学学习活动之中，美国认为推理是数学学习不可分割的一部分.第二，中美两国推理能力均包含推理和证明两部分，推理是发现规律作出猜想，证明是检验猜想证明结论.第三，中美两国推理能力从内涵上既包括合情推理，又包括演绎推理.两种推理能力功能不同，相辅相成，合情推理用于探索发现，演绎推理用于证明结论. 3.交流与表达能力目标均重视学生与他人的交流能力 第一，中美两国数学交流能力目标均有与同伴、教师或其他人交流数学思维的过程，即两国对数学思维的交流互动都比较重视.第二，两国均包括分析和评价他人的思考方式、策略及结论.中国指出培养学生能较好地理解他人的思考方法和结论，能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识.美国指出培养学生分析和评价他人数学思维的能力，以反思为目的展开交流. （二）差异性分析 1.问题解决能力目标 （1）具体内容 中美两国问题解决能力目标的具体要求存在不同.第一，美国问题解决能力的目的是让学生知道在遇到不熟悉的问题时该做什么，培养学生成为善于思考的解题者，养成观察自己思维的习惯.第二，针对我国数学教育实践中学生会做现成的题，但不善于提问题这一薄弱环节，中国强调培养学生发现问题和提出问题的能力.第三，美国认为解决概率、统计、几何和有理数较之生活中的问题更为复杂和难解.第四，美国提出运用计算机和图形计算器解决复杂问题，中国并未提及运用现代科技解决问题的要求.第五，美国将问题解决能力与学生的非智力因素联系起来，注重问题设计对激发学生兴趣的作用和价值.两国培养重点具体见表1.
（2）程度要求 中国对初中学生问题解决能力的要求程度，是初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法，初步形成评价与反思的意识.美国对初中学生问题解决能力的要求程度是，所有学生都应该通过解决问题掌握新的数学知识，解决在数学及其他情境中出现的问题，采用各种恰当的策略解决问题，检验和反思数学问题解决过程，加深对数学概念的理解，寻求将数学运用到其他领域里的机会.相比之下，中国在问题解决的方法和综合运用上的要求高于美国，美国在通过问题解决学习数学概念和数学知识上的要求高于中国.中美两国问题解决能力目标要求程度差异具体见表2.
（3）案例分析 【案例1】中国（义务教育数学课程标准） 小丽去文具店买铅笔和橡皮.铅笔每支0.5元，橡皮每块0.4元.小丽带了2元钱，能买几支铅笔、几块橡皮？ 【分析】该案例是学生日常生活中的情境，希望学生学会用数学的思维和方法解决生活中的问题，培养学生运用多种方式和策略解决问题的能力.问题是开放的，实质上是求不等式的整数解.学生可以通过列不等式或表格，确定几种方案，并根据需要选择适当的购买方案. 【案例2】美国（美国学校数学教育的原则和标准） 在过去的几周里，美国电影协会在城内的电影院推出了两种新的糖果.在三周内，两家电影院卖苹果香蕉糖；在两周内，另五家电影院卖芒果橘子糖.每家电影院只卖一种糖，所有电影院都放映同一部影片，每周的观众大致相同.在这一时期里，共卖出了660箱苹果香蕉糖和800箱芒果橘子糖.假设你被这个公司雇用来确定哪一种糖卖得比较好，利用这些信息来确定哪一种糖更受欢迎，仔细并完整地解释你的答案. 【分析】该案例帮助学生认识到解决此问题需要运用和挖掘比率的知识.该问题可能出现三种不正确的回答，仅从卖出糖果的绝对数量考虑，认为芒果橘子糖更受欢迎；仅从每个影院卖出糖果的数量考虑，每个影院卖出330箱苹果香蕉糖和每个影院卖出160箱芒果橘子糖，因此认为苹果香蕉糖更受欢迎；仅从每周影院卖出的糖果数量考虑，每周220箱苹果香蕉糖和每周400箱橘子糖，因此认为芒果橘子糖更受欢迎.这三种回答看上去似乎都有设一定道理，但比较综合后发现，三种做法考虑得都不够全面，必须超越只是简单比较来解决这一问题.因此要用更为复杂的比率，每个影院每周卖出的糖果数作为评价哪种糖果更受欢迎的方法. 2.推理能力目标 （1）具体内容 中美两国对合情推理和演绎推理能力各有侧重.第一，中国从1952年第一个中学数学教学大纲首次提出逻辑推理能力的萌芽，比较注重演绎推理，到2001年增加了合情推理，通过归纳和类比推断结果.美国在1989年首次提出推理与证明能力，一贯注重以归纳为主的合情推理，发现和探究被认为是重要的品质，并且要求学生认识到归纳性推理的局限性，并未明确提出类比方法.第二，美国提出在校外发展推理和证明能力，中国没有相关要求.第三，中国强调个人活动，美国强调团体交流.即中国注重学生通过参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等个人数学活动发展推理能力，而美国注重学生通过与教师、同学的讨论，解释猜想的依据发展推理能力，强调数学推理和证明与交流有直接的关系.第四，美国注重对数学推理和证明的评价，并从三个方面强调检验推理的可靠性，即为证明提供的依据是否可以接受，是否正确，是否完整.中国未明确提出检验推理的可靠性.第五，中国重视通过几何问题中作图、证明、计算的训练培养推理能力，但是中国的学生举例、反证能力不强，缺乏疑问精神，思维不够发散.而美国很重视反证法的应用，提出学生辩论和质疑.两国培养重点具体见下页表3.
（2）程度要求 中国对初中学生推理能力的要求程度是体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，体会证明的必要性，发展演绎推理能力.即对合情推理能力的要求是“体会”，对演绎推理能力的要求是“运用”.美国对初中学生问题解决能力的要求程度是所有学生都应该提出、探讨、熟练运用数学猜想等合情推理能力，发展、评价和熟练运用数学推理和证明，选择和运用不同的推理和证明方法等演绎推理能力，并经历评价和讨论推理与证明、解释猜想合理性的过程.相比之下，中国对演绎推理能力的要求高于美国，美国对合情推理能力的要求高于中国.中美两国推理能力目标要求程度差异具体见表4.
（3）案例分析 【案例3】中国（义务教育数学课程标准） 有一张8cm×8cm的正方形的纸片，面积是64
.把这张纸片按图1所示剪开，把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个长为13cm，宽为5cm的长方形，面积是65
.这是可能的吗？
【分析】这是一个直觉与逻辑不符的例子，希望学生通过学习体会到对于数学的结论，完全凭借直觉判断是不行的，还需要通过演绎推理来验证.一般来说，学生应当是不会相信图2中纸片的面积是65
，但又无法说明为什么观察的结果是错误的.进一步引导学生思考，如果观察是错误的，那么错误可能出在哪里呢？学生通过逻辑思考，可以推断只有一个可能：图2中纸片所示图形不是长方形，因此不能用长方形的面积计算公式来计算面积.然后，可以引导学生实际测量图形左上角或者右下角，发现确实不像是直角.可以告诉学生，这个想法是正确的，但最好能够给出证明，引导学生经历一个由合情推理到演绎推理的过程.可以采用反证法证明，在证明过程中加深对相似图形的理解. 【案例4】美国（美国学校数学教育的原则和标准） 确定在一个每边5个单位（5×5）的几何板上连接两个钉子能得到多少不同长度的线段. 【分析】该案例学生通过观察1×1到4×4的正方形，确定不同长度的线段数，归纳在简单情况下找出确定不同长度线段的方法，即每个正方形都含有前一个正方形，因此，3×3正方形上的不同长度线段数可以通过2×2正方形上的不同长度线段数再加上3×3正方形上新增加的点所产生的线段数确定. 依照此方法，确定1×1到4×4的正方形不同长度的线段数. 根据1×1到4×4的正方形不同长度线段数归纳出，5×5正方形不同长度的线段为（2+3+4+5）+6=20条，并进而得到更普遍的猜想，n×n正方形上不同长度线段数为（2+3+…+n）+（n+1）.作出猜想后，学生需要检查推理预测的正确性.此时发现有2条线段都是5个单位长，因此5×5正方形有19条不同长度线段，而不是20条.通过该案例不仅培养学生推理能力，而且辩证地认识到合情推理的优势与局限，建立正确的质疑态度. 3.交流与表达能力目标 （1）具体内容 中美提出数学交流与表达能力目标的时间起点不同.第一，中国对数学交流能力的两种类型自我交流和他人交流都比较重视，由于中国文化的内倾精神，对学生自我交流的重视由来已久，强调自我思考和反省，与他人交流能力目标从2000年才开始提出.由于美国文化的外倾精神，美国近40年都注重学生与他人交流，提倡合作互动.第二，美国对数学交流与表达能力的要求很明确，对其意义的认识更深刻，认为交流是数学和数学教育中非常关键的一部分.中国对该能力的内涵和价值并未清晰界定，特别是在持有数学是以符号语言表达为主的观点下，数学表达和交流能力并未被看作是数学教育的重要组成部分.第三，美国对该能力的要求考虑了不同年级学生的年龄特点和心理特征，强调教师要创设宽松的、自由的、有利于学生诚实地开放地表达自己想法的氛围.两国培养重点具体见表5.
（2）程度要求 中国对初中学生数学交流与表达能力的要求程度是，在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，清晰地表达自己的想法，有条理地阐述自己的观点，学会独立思考，学会与他人合作交流.能较好地理解他人的思考方法和结论，能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识.美国对初中学生数学表达和交流能力的要求程度是用数学语言精确地表达观点，清楚地与他人交流，分析、评价他人的数学思维.相比之下，中国注重条理性，美国注重准确性.美国不仅注重培养学生与他人的交流能力，而且注重学生能够分析他人的思维.中美两国数学交流与表达能力目标要求程度差异具体见表6.
（3）案例分析 【案例5】中国（义务教育数学课程标准） 某书定价8元.如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折.分析并表示购书数量与付款金额之间的函数关系. 【分析】这是一个分段函数，函数的三种表示法均适用于这个例子.一般来说，列表法适用于变量取值是离散的情况.分段函数应当画图，并且关注分段点处函数的变化情况.可以分组讨论三种方法，然后让学生分析比较交流三种方法的特点和优势. 【案例6】美国（美国学校数学教育的原则和标准） 学生以两人一组解答下面的问题.某一长方形的长和宽都是整数，长与宽的比是4:3，面积是300平方英寸，它的长和宽是多少？ 【分析】解决该问题的过程，首先教师在教室里走动，观察每组学生的做法，选择用不同方法解题的学生讲解自己的做法.有的学生提出要找到一个既有3做因数又有4做因数的数，猜出15和20.有的学生提出15和20是如何猜出的，另一个学生画了一个长方形草图，将长与宽标为4和3，并解释4和3并不是真的长方形的长和宽，但这两个数会提醒她长与宽的比.还有一个学生想象长方形里有12个正方形，因为3乘以4等于12，然后用线将长方形分割，解释长方形的面积一定会等同地分配到12个里面的正方形中.因此，用300除以12得到每个正方形的面积是25平方英寸，边长为5英寸，并用图示表示.教师可以继续追问学生这一方法是否对类似的问题都有效，如果比不是4:3，面积不是300会怎样？如果长宽比的乘积不能整除面积会怎样？这一问题可以引导学生交流并与其他同学使用的方法进行比较. 四、讨论与建议 根据中美问题解决、推理、数学交流与表达等相似能力的比较，可发现二者的互通性及差异性，以期为中国数学能力目标的设置提供借鉴. （一）问题解决能力的最主要目标是培养思考习惯、实践能力和自我反思的意识 问题解决最主要的目的是帮助学生考虑各种可能的方法，组织和记录思维过程，并逐渐培养思考习惯、实践能力和自我反思及自我评价的意识.问题解决过程中“元认知”的培养能够让学生得到更好的发展，教师要引导学生养成提出如下若干问题的习惯.“在开始之前，我已经确认我理解这个问题吗？”“我有哪些方法可以选择？”“我有进步吗？”“我有计划吗？”“为什么我采用的方法是可行的和正确的？”类似的问题能够帮助学生养成对问题理解和反思的习惯. （二）推理证明能力的培养应以所有数学内容为载体，而并非只有几何 数学能力的培养是以数学内容为载体的，但发展推理能力的载体不应仅仅是几何内容.将几何作为培养推理能力的唯一素材和途径的观念正在逐渐转变，“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”各个领域都应是发展推理能力的内容载体，为学生提供更为广阔的自主探索的空间.比如“数与代数”的内容，在计算中有公式、法则、运算律，因而需要推理.在现实世界中用代数式、方程、不等式、函数等刻画数量关系时，也需要合情推理和演绎推理. （三）增加对推理与证明的评价能力，正确认识合情推理的优势与局限 推理过程不仅包括发现、归纳、假设、猜想、证明的过程，也包括证明之后的评价过程，发展学生的推理能力也包括发展学生对推理与证明过程的评价能力，强调检验和交流推理的可靠性的能力，包括证明提供的依据正确性与完整性.注意创设情境帮助学生正确认识归纳、猜想等推理的优势和局限性.通常情况下猜想规律大多是通过前几项所找的规律得出的，但有些问题用前几项得出的规律作为猜想的结论可能对后几项并不成立.学生需要建教立起用少量的事件归纳概括出结果并不一定是正确的，因为并不是所有的规律都会从所希望的最初的观察中得出.清醒地认识到合情推理的优势与局限，能够使学生在发现和概括规律时建立起正确的质疑态度. （四）深刻认识数学交流和表达能力的价值 交流和表达是数学和数学教育中的关键部分，是分享观点和澄清理解的一种方式.通过交流可以反思、精练、讨论和修正数学观点.交流也有助于理解观点的意义，使之记忆深刻并公开化.倾听别人的解释，让学生有机会发展自己的理解.从多种角度探讨数学思想的交流，有助于参与者改进他们的思路并作出有机的联系.参与为自己的解答过程辩论的讨论，特别在答案不一致的情况下，学生说服不同观点的同伴的同时，也加深了自己对数学的理解.这样的讨论也有助于学生发展表达数学思维的语言，并知道使用精确语言的必要性. （五）提高学生与他人有效的数学交流的要求 尽管中国已明确提出培养学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果的目标，提出培养学生在独立思考的基础上积极参与问题讨论，发表个人观点并尊重他人见解的能力，但这一目标还需要加强.数学交流能力不仅需要自我交流，也需要与他人有效的交流.中国学生在数学课堂上表现出很大的被动性，需要在不弱化自我交流的前提下强化与他人交流.
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