模型选择与VaR估计_var论文

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引入

20世纪70年代以来，随着利率、汇率波动的加剧，金融业管理的放松和金融自由化的发展，全球范围内的利率、汇率和股票价格的波动性越来越大。特别是90年代以来，全球金融市场不断出现大幅波动，巴林银行、长期资本管理公司等大型金融机构和公司所发生的巨额损失和倒闭，使得金融机构及其监管部门日益重视其金融风险的管理。现在，金融机构面临着多种风险，其中市场风险尤为重要。为了减少市场风险对金融机构的影响，我们必须选用一个好的市场风险度量方法，然后才能够采取有效手段控制和管理市场风险。按照国际清算银行(BIS)的要求，银行和其它金融机构已经开始在遵循管制的基础上度量其面临的市场风险，这导致了一个全球一致的度量市场风险的标准——在险价值(VaR)。

尽管风险的度量和管理由于各种各样的衍生品的灾难性后果而变得越来越重要。但是，在资本充足性上，各个公司和国家还远没有达成共识。根据修正的欧盟资本充足率指导意见（European Capital Adequacy Directive，简记为EU CADII），内部风险管理模型已被允许使用，由于近期的变化和VaR模型的重要性和普遍使用，因此对VaR模型的评价格外重要。

本文，我们首先根据巴塞尔委员会的银行监管的要求，描述了VaR模型的近期研究成果，然后，对中国股市风险进行了分析。这里，主要涉及以下两个方面：

首先，根据中心极限定理，每个数据点表示一个信息，所以，使用长期数据对参数进行估计，并且进行预测，应该比利用短期数据要准确得多。但是，相对于中心极限定理，一个普遍接受的事实是，金融市场是动态的，迅速变化的实体，老的、过时的数据在决定将来的风险和回报时并没有提供足够多的有用的信息，所以，一个重要的问题是：在估计模型参数时，巴塞尔委员会所推荐的一年期的数据是否充分？

第二个问题涉及到在最小资本金风险要求(MCRRs)基础上的模型选择问题。为保证充足的资本金，巴塞尔委员会要求银行选取收益率分布的99%分位数，而不是J.P.摩根所使用的95%分位水平，所以银行被要求能应对相应的期望损失。但是，在给定数据集的前提下，分位水平越大，观察值越少，估计的方差越大。所以，我们将探讨建立在一年期的历史数据基础上的，一个简单的非参数模型、基于正态分布的参数模型和极值分布模型哪个更有效？

一、统计建模

我们采用上海证券交易所公布的日收盘综合指数和深圳证券交易所公布的日收盘成分指数为原始数据，样本空间选自1996年12月16日至2003年12月25日，样本容量为1692个，我们定义收益率为是时间t的股票价格。对深、沪两市股票收益率文献中有详细的讨论，这里就不再重复。本文所有计算结果是使用S-plus编程实现的。

风险度量。目前计算VaR的方法有很多，使用最多的方法可以分为参数、半参数和非参数方法。参数方法也由于J.P.摩根的方法而称为“波动性和相关方法”。在该方法中，为得到VaR的估计，必须对波动参数进行估计，然后乘以一个适当的值。为估计VaR，我们使用三个参数模型：等权移动平均方法、指数加权移动平均方法和GARCH(1,1)模型；半参数方法我们选取基于Pareto型极值分布的模型方法；在非参数方法中，我们使用历史模拟法。

根据巴塞尔委员会的推荐，我们选取窗宽的时间长度为一年的日数据（我们统一取250天）计算一天的VaR，并按季更新（我们取60天），估计99%的置信水平的VaR。我们的样本每滚动一次，向前移动60天，因此，窗宽的总个数为24个，每个窗宽对应一个日VaR。这样，在滚动的窗宽下（时间长度为一年），最终估计的99%的置信水平的VaR是这24个窗宽对应的日VaR的平均。此外，为比较这五个模型的好坏，类似地，我们使用窗宽的时间长度为三年的日数据和99%的置信水平计算VaR（所得结果是16个窗宽的平均）。

在参数方法下，模型i的VaR为

这里为标准正态分布表中的相应的值，表示波动估计值，V表示证券组合的值。通常， VaR也表示成资产和证券的比例，本文我们将采用这一做法。

参数模型：我们使用三个参数模型：等权的移动平均方法、指数加权移动平均方法和GARCH(1,1)模型。

（一）等权移动平均(EQMA)

等权移动平均模型的形式为

这里，是EQMA模型限定的条件方差，它作为时期t的方差的预测值。等权的移动平均方法是估计波动的一个粗略但常用的方法，但它有一个主要缺陷，那就是由于该方法对所有数据采用等权，容易导致“幽灵效应”。

（二）指数加权移动平均(EWMA)

指数加权移动平均不同于等权移动平均方法，它对近期的观测值赋予更高的权重，这就在保留了集束效应的同时减轻了幽灵特征的困扰。模型的形式为

这里，是EWMA模型限定的条件方差，它作为时期t的方差的预测值，是过去L个数据的平均收益率。理论上，上式中的和应该是从j=1到无穷大，但是在实际中，由于只能有有限的数据，所以只对过去的L个观察值加权。指数加权移动平均对距离现在时点较近的数据赋予较大的权重，它能较好地反映金融时间序列波动的一些特性，如集束行为，它的重要假设是线性假设和正态分布假设。J.P.摩根的RiskMetrics方法使用的就是这种指数加权移动平均技术。

（三）GARCH(1,1)模型

GARCH(1,1)模型由于其能较好的描述金融市场时间序列的波动性，现已被广大计量经济学家所钟爱。该模型形式为

非参数模型：在非参数模型中，我们采用大家熟知的历史模拟法。首先从样本的收益率中得到历史模拟函数(Empirical Density)，然后在给定的置信水平下估计VaR。历史模拟法隐含的假定是历史变化在未来可以重现，它是基于历史数据的经验分布，它不需对资产组合价值变化的分布作特定假设，该方法简单、直观、易于操作。

模型的评价。根据巴塞尔委员会的文件，我们使用向后检验方法(Back-testing)来检验这些模型。在向后检验方法中，我们计算过去的、窗宽长度为250天或750天的每个时间段中，实际的损失超过估计的VaR的天数。当在这些时间段中，当某一天的实际损失超过计算所得的VaR时，我们称该天VaR失效。这样，当在窗宽长度为250天或750天的某个时间段中，失效天数在0～4天时，我们称这时的金融公司或银行在该时间段处于绿色区；失效天数在5～9天时，处于黄色区；失效天数在10天以上是，处在红色警戒区。

二、VaR估计和评价

我们先说明VaR估计和评价的结果，然后转向检验Pareto分布模型、历史模拟方法和波动估计方法是否恰当上，最后，我们将分析我们的向后检验。

我们先讨论一年期的数据，这时总的窗宽有24个。在表1中，我们列出了窗宽长度为一年的沪、深两市的VaR和向后检验的VaR失效的平均天数。

从表1，我们可以发现许多特征值得注意：

1.无论是上海上证指数还是深圳成份指数，在参数模型中，指数加权移动平均方法和GARCH(1,1)模型计算的VaR比等权移动平均方法的要小。

2.正如预期的一样，等权移动平均方法计算的VaR最稳定，标准差最小。例如，对于上海上证指数，利用一年期的数据计算出的VaR的平均值的标准差，等权移动平均法的标准差是0.0082367，而指数加权移动平均的VaR的平均值的标准差为0.0111995，GARCH(1,1)模型为0.0101198。

表1 窗宽长度为一年的VaR和向后检验的VaR失效的平均天数

等权移动 指数加权 Pareto型

GARCH(1,1)

平均移动平均

极值分布

历史模拟法

VaR 0.0313527 0.0354487 0.0289036 0.0425186

0.0440157

上标准误 0.0101198 0.0082367 0.0111995 0.0188278

0.0152803

海 VaR失效的平均天数

5.5

3.875

6.916667 2.7083332.541667

上 VaR失效的标准误 4.263087 3.859629

4.231524 2.92633 2.948532

证绿色

1014 6

20

20

指黄色

10 8 1222

数红色

4 2 622

VaR 0.0349570 0.0388088 0.0315822 0.0469211

0.0495402

深标准误 0.0132615 0.0100339 0.0124126 0.0097495

0.0179311

圳 VaR失效的平均天数5.541667 4.583333

6.541667 3.5 2.708333

成 VaR失效的标准误 5.056027 4.519683

5.618132 3.7066333.236734

份绿色 13 14 9 17 20

指黄色

7 8 10 5 3

数红色

4 2 5 2 1

3.历史模拟法计算的VaR比参数方法计算的结果大。

4.我们知道，金融数据是厚尾性、非正态的，因此，基于正态假设的参数方法在计算VaR时，往往会低估VaR，而Pareto型极值分布模型的理论基础是专门处理厚尾分布的Pareto型极值分布。因此，正如人们预料的那样，Pareto型极值分布模型的VaR要比利用基于正态假设的参数方法计算的VaR大。

现在我们来对利用以上方法得到的VaR进行检验，我们采用向后检验法来检验给定样本中VaR失效的天数，结果见表1。

这里，我们按照惯例，认为如果一个模型是比较好的模型，那么，在一年或三年期中，进入黄色或红色警戒区的天数应尽可能少，但是也不是没有，而是在预期的比例左右。一般的，这个比例为给定样本的失效概率，例如，如果置信水平为99%，那么失效概率为1%，窗宽长度为250天的VaR的失效天数为2.5天。

在窗宽长度为一年期的数据中，指数加权移动平均模型的效果是最差的，在上海上证指数中，VaR的平均失效天数为6.916667，进入黄色或红色的窗宽分别有12和6个。在深圳成份指数中，平均失效天数为6.541667，进入黄色或红色的窗宽有9和10个。这意味着指数加权模型在度量风险时，并不是一个很好的模型，GARCH(1,1)模型的结果介于等权移动平均模型和指数加权移动平均模型之间。在基于正态假设的参数模型中，等权移动平均模型产生了最低的平均失效天数，这与预期的一样，因为等权移动平均模型的VaR的波动性最小，在估计VaR时，就保守一些，因此，VaR被超出就少些，而GARCH(1,1)模型和指数加权移动平均模型由于其小的VaR就频繁的被超出。因此，在基于正态假设的参数方法中，在其他假设一样的条件下，VaR越稳定，被超出的可能性越少，失效天数也就越少。

在表1我们还可以看出，Pareto型极值分布模型和历史模拟法进入黄色或红色的失效窗宽很少，这也是很正常的，因为这两种方法计算的VaR相对较大。因此，很自然的，实际收益率中，失效的天数也相对较少。而且，Pareto型极值分布模型中，上海上证指数和深圳成份指数的VaR的平均失效天数分别为2.708333和3.5，很接近于给定样本时的失效天数（2.5次）。当然，历史模拟法的效果与Pareto型极值分布模型相类似，但正如我们前面所述的历史模拟法的不足，同时，考虑到资本充足性的要求，我们认为Pareto型极值分布模型是个不错的选择。

我们再来讨论三年期的数据，这时总的窗宽有16个。在表2中，我们列出了窗宽长度为三年的沪、深两市的VaR和向后检验的平均失效天数以及向后检验法所得到的结果。我们发现，虽然使用三年期的数据得到的VaR的平均值和相应的标准差的结果与一年期的数据相类似，各种模型的绝对值的变化也基本上在0.03%之内。但由于实际收益率频繁超出所估计的VaR，造成频繁进入红色警戒区，即使是VaR相对较大的Pareto型极值分布模型和历史模拟法的结果也很不理想。因此，我们认为对中国股市的收益率而言，使用一年的时间窗宽应该更有效。

表2 窗宽长度为三年的VaR和向后检验的VaR失效的平均天数

等权移动

指数加权 Pareto型

GARCH(1,1)

平均 移动平均

极值分布

历史模拟法

VaR 0.0344383 0.0354769 0.0295582 0.04282650.0409881

上 标准误 0.0188278 0.0036293 0.0129664 0.01882780.0094669

海VaR失效的平均天数 11.8125 10.5625

18.125 6.9375

8.5625

上VaR失效的标准误 4.707706

5.291109 3.930649

4.007805 4.871259

证 绿色0 0 0 3 2

指 黄色7 9 01010

数 红色9 716 3 4

VaR 0.0365919 0.0392435 0.0320126 0.04860070.0476959

深标准误0.0171141 0.004848 0.012974

0.00940960.0097495

圳 VaR失效的平均天数

15.562512.0625

19.125 7.875 8.75

成 VaR失效的标准误6.7721866.016297 7.2099474.5147914.640402

份绿色 0

00 32

指黄色 3

70 109

数 红色

13

9

16 3 5

三、Pareto型极值分布模型与波动估计

从表1，一个使人不安的结论是如果我们采用基于正态假设的参数模型计算VaR，那么，金融公司或银行将大量进入黄色或红色警戒线——特别是当我们采用指数加权时。表1说明如果采用实际的收益率分布，而不是利用基于正态假设的波动估计，结果要准确和可靠得多。这个结果看起来与Jorion的分析结果不同，在Jorion(1996)的一篇重要文献中，他认为如果利用整个收益率分布的信息直接计算波动性估计，参数方法应该更有效。然而，我们的方法表明，不恰当的使用参数方法将带来相当大的负面影响。事实上，参数法核心是基于对资产报酬的方差—协方差矩阵进行估计，无论是等权移动平均方法、指数加权移动平均方法、还是GARCH(1,1)模型，它们对预测正常的、温和的波动很有价值（参见邹建军等(2003)），但对极端收益情景提供的信息极其有限，在预测极端事件或突变方面不尽如人意。它们均低估了实际损失值，特别是在置信度较高时，低估倾向愈明显。但是，由于VaR分析是针对下偏风险的，因而极端收益情景的准确预测对VaR的计算有着极其重大的意义。而极值理论恰好弥补了参数法低估VaR值这一重大缺陷。

目前，银行中度量风险最具代表性的是J.P.摩根银行的RiskMetrices方法。前面已经说过，这种方法实质上是一种指数加权移动平均方法，之所以RiskMetrics方法是流行使用的方法，部分原因是因为国外许多银行用这一模型来决定资本充足性的数额，它们普通不希望准备金过多，因而青睐这种低估VaR值的方法。因此，许多银行都低估了自身面临的风险，一旦某些高风险投资项目失败，较低的准备金将使银行无法应付这种危险局面，从而可能引发破产危机。Pareto型极值分布模型方法是一种极值方法，它不需要对收益率的分布做出具体假设，而是从数据中直接拟合分布的尾部，因此建模的风险减少了。同时，Pareto型分布函数在尾部是连续光滑的，这有利于作敏感性分析。此外，这种方法还有超越样本范围做出准确预测的优点，这进一步说明极值方法比常用的正态分布假设和历史模拟等方法具有更大的优越性。

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