反例的作用和价值_log论文

反例的功能及其价值,本文主要内容关键词为:价值论文,功能论文,反例论文,此文献不代表本站观点,内容供学术参考,文章仅供参考阅读下载。

曾有人对于著名的哥德巴赫猜想用电子计算机验证3.3×10[7]以内的全部偶数,猜想都是成立的。作这种验证绝对不是为了证明猜想正确,恰恰相反作这种努力正是为了寻求反例。本文谈谈反例在数学中的功能与价值。

1 反例是否定一个命题的武器

在数学中要证明一个命题正确,必须经过严密的推证,而要否定一个命题,只需要能举出一个与结论矛盾的例子就可以了。

例1 命题“a,b,c是三角形的三边,由a-b<c,推出a[2]-b[2]<c[2]是否正确?

分析 若a的对角为直角,则有a[2]-b[2]=c[2]成立, 所以命题不真。

2 反例是判断命题真伪的试金石

一个似真似假的命题,只要利用反例就能很快辩出命题真假。

例2 若a>0、b>0且a≠1,b≠1,则log[,a]b+log[,b]a≥2。

分析 log[,a]b的符号有两种情况:(1)若log[,a]b>0,由平均不等式知结论成立。(2)若log[,a]b<0,特别a=5,b=1 /5 , 则log[,a]b=log[,b]a=-1,于是log[,a]b+log[,b]a=-2,命题为假。

例3 周期函数之和一定是周期函数,非周期函数之和一定是非周期函数。

分析 取函数f(x)=x-[x],周期为1,g(x)=sinx, 周期为2π,但f(x)+g(x)=x-[x]+sinx为非周期函数。

又可以取f(x)=sinx-x,g(x)=sinx+x均为非周期函数,但它们的和f(x)+g(x)=2sinx显然为周期函数。

3 反例是加深理解的催化剂

新学习一个数学定义、定理、公式或解题方法,学生常常容易发生很多疑问,其中条件不能减少?步骤可不可以简化?这时反例就成了加深理解的催化剂。

例如,学习用数学归纳法证明,要分两个步骤:其中第一步是证明的基础;第二步是递推的根据,两个步骤是缺一不可的,这是因为有第一步无第二步是不完全归纳法、论断的普遍性是不可靠的,教师反复强调而学生仍然不理解,为了使学生对此有较深刻的印象,可举几个反例:

1[2]+2[2]+3[2]+…+n[2]=(5n[2]-7n+4)/2。

1·2+2·3+3·4+…n(n+1)=3n[2]-3n+2,都是n=1、2、3时成立,但n=4时就不成立。这样学生就信服了。再举几个反例, 有第二步缺第一步,则第二步中假设就失去了基础。例:1+2+3+…+n=n(n+1)/2+1,(1/1·2)+1/(2·3)+1/(3·4)+…+1/(n(n+1))=n/(n+1)+2等,都是假设n=k时成立,可证出当n=k+1时也成立,但n=1时并不成立。这样学生就更加理解了。

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