数学模型在西安市人口预测中的应用 ^*

高 梅^1,2,康宝生¹,曹黎侠²

(1.西北大学 信息科学与技术学院，西安 710127；2.西安工业大学 理学院，西安 710021)

摘 要： 为了合理制定城市的总体规划,保证城市的可持续性发展,通过对1985-2015年西安市人口总量的分析,从西安市的生育和死亡状况出发，运用马尔萨斯人口模型和Logistic模型对西安市未来20年的人口进行预测,并进行模型之间的比较,得出西安市未来20年人口的发展状况,以期对西安市统筹人口发展提供借鉴。预测结果表明:马尔萨斯人口模型、Logistic模型均能满足预测精度要求。对于短期的人口预测而言,马尔萨斯人口模型的相对误差较小,可以获得较好的预测效果;对于长期的人口预测而言,Logistic模型则预测效果较好。

关键词： 人口预测；人口现状；马尔萨斯人口模型；Logistic模型

近年来，随着我国人民的物质文化和精神生活水平的不断提高，大量人口向城市集聚，导致城市人口不断增长，从而引发资源、环境与发展等各类问题。为了保证城市的可持续发展，城市人口分布和增长速度必须趋于合理。对城市本身来说，城市的用地规模、城市的布局以及城市基础设施的组成和规模均与城市人口规模有着十分密切的关系。城市人口规模预测合理与否，将对城市的建设和发展产生重要的影响^[1-2]。

⑤对探孔时发现涌渗水量大的情况，压力注浆结束达到初凝状态后，可在涌渗水量大的孔位附近布设一个或多个效果检测孔，确定防治水效果达到预期效果后，再进行掘进施工，否则，应增加压力注浆孔数量。

人口预测是一个国家或者地区根据规划区域人口现状和对影响人口发展的各种因素的假设，对未来某段时间人口规模、趋势和水平所做的预报的技术或方法。城市人口预测是城市总体规划的首要工作，准确的预测未来人口的发展趋势，对于确定城市规划的目标和具体技术指标，制定合理的人口布局方案和人口规划，保证和促进人口、资源、环境与经济相互协调发展具有重大的理论意义和现实意义。然而，影响人口发展过程的因素很多，要想将这些因素均准确地包含在预测范围内，显然比较困难。人口预测的方法有很多，如传统人口预测方法包括平均增长率法、带眷系数法、剩余劳动力转化法和劳动平衡法等；现代人口预测方法包括线性回归法、马尔萨斯人口模型和Logistic增长模型等^[3-5]。本文通过西安市统计局官网的西安市往年人口发展变化的实际统计资料^[2]，建立马尔萨斯人口模型^[6-8]和Logistic模型^[9-11]并加以分析比较，对西安市人口规模在未来20年的发展做出预测，试图为本市的经济建设和社会发展的决策提供思考。

1 西安市人口现状描述与分析

根据2016西安统计年鉴^[2]：2015年年末西安市常住人口870.56万人，比上年末净增加7.81万人，其中，男性人口446.91万人，占总人口的51.3%；女性人口423.65万人，占总人口的48.7%，性别比例为105.51∶100 (女性以100为基准，男性对女性的比例)。全年出生人口8.80万人，出生率为10.15%；死亡人口4.78万人，死亡率为5.51%；自然增长率为4.64%。城镇人口635.68万人，占73.02%；乡村人口234.88万人，占总人口的26.98%。年末全市户籍总人口815.66万人，比上年增长0.05%。与2005年相比，这10年西安市共增人口74.00万人，平均每年增长人口7.40万人。从1985-2015年，西安市人口总数(见表1)来看，总人口始终处于增长状态。

表 1西安市 1985-2015年历年总人口表
Tab.1 Total populatiou in Xi’ an in 1985-2015

注：数据来源于西安市统计年鉴和统计公报。

人口指标的变化情况如图1所示，从图1可看出，西安市的人口自然增长率状态大体上呈下降的趋势，1985-2001年的人口自然增长率状态呈现不规律变动。其中，1989年和2000年两次出现峰值，第一次出现峰值之后的下降主要得益于计划生育政策的落实，第二次出现峰值之后下降再上扬是由于前一时期人口出生高峰的效应。从2001-2015年，人口自然增长率基本处于平稳状态。

图 1西安市 1985-2015人口指标变化
Fig.1 Demographic change in Xi’ an in 1985-2015

2 模型预测

解得

2.1 马尔萨斯人口模型

英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了著名的基于指数增长的人口模型。该模型假设人口的增长率为常数，即人口随着时间的增加按指数规律无限的增长。

西安市1985-2012年的年平均人口自然增长率为7.13%，设定预测期内人口自然增长率做高、中、低3个方面预测。其中，高方案认为：2013-2036年西安市人口自然增长率为1985-2012年的年平均人口自然增长率7.13%；低方案认为：2013-2036年西安市人口自然增长率为1985-2012年的自然增长率的最小值3.10%；中方案取高方案和低方案的平均值5.12%。

A：金杯印刷的订单全部来自海外。在香港环保局成立之前，我们就已经确定，一定要赶在政策限制之前找到解决办法，否则，我们所有的产品都不能够顺利出口。于是，我们着手研究环保工艺，并且在行业中推广，因为我们要保护的是整个社会的环境，需要更有责任感的企业参与进来。现在，外单生意都是国家间、地区间的竞争，跟国内企业间的竞争不一样，所以，我们要以国际观去思考，只有提高整体竞争力，才能在国际市场上立足。我们从不吝啬自己的技术，对于同行企业的到访交流，我们很欢迎，甚至修建了一条参观长廊，用于更全面地展示，并专门制作了一本书，解释环保技术、传播绿色印刷观念。我们希望全行业企业都能通过绿色印刷实践共荣发展。

由以上的叙述可以得出

其中a >0,b >0,从而可以解得：

令R ₁-R ₂=α ，则

假设在基年t ₀时的人口数量是P (t ₀)，则对dP (t )/dt =αP (t )进行积分，可以解出P (t )=P (t ₀)e^α(t -t ₀)，即为马尔萨斯人口模型^[3]。

假设在t 时刻(单位以年记)人口为P (t )，则人口的增长率dP (t )/dt 由出生率B (p ,t )和死亡率D (p ,t )来决定。假定B (p ,t )和D (p ,t )不随着时间的变化而变化，即相对于t 来说，B (p ,t )和D (p ,t )为常数，从而有B (p ,t )=B (p )和D (p ,t )=D (p )。假设1 000个人中每年有50个小孩出生，那么文中认为2 000个人中每年有100个小孩出生是合理的，则出生率与人口成正比。设出生率为R ₁，死亡率为R ₂，则有B (p ,t )=B (p )=R ₁P (t )，同理，D (p ,t )=D (p )=R ₂P (t )。此处R ₁和R ₂均为大于0的常数，一般来说R ₁-R ₂>0。

对应上述3种人口自然增长率的方案，以2012作为基准年，以2013-2015年的数据来检验模型，根据马尔萨斯人口模型，通过Matlab求解，得到3种方案下的预测值，将预测值与实际值进行比较，结果如图2所示。

图 2西安市 2013-2015年总人口 3种方案预测
Fig.2 Three schemes for forecasting Xi’ an’ s total population in 2013-2015

比较上述3种方案发现，高方案的预测值与实际人口数值误差最小，研究认为高方案的预测比较符合西安市未来人口发展的动态趋势。因此，运用马尔萨斯人口模型时选用高方案来预测西安市2016-2036年的总人口数。

2.2 Logistic模型

由马尔萨斯人口模型可知人口将无限增加，这显然是不可能的，当人口增长到一定数量后增长率就会下降，原因是自然资源、环境、食物、医疗卫生等因素对人口的增长起阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用会越来越大，所以荷兰生物数学家VERHULST于1837年提出增加竞争项：-bP ²,将马尔萨斯人口模型改进为Logistic模型^[3]：

青少年睡眠不足很容易导致大脑皮层出现功能性紊乱，导致注意力不集中、记忆力和理解能力下降。此外，心情低落、急躁易怒、好动等心理反常表现也会影响睡眠，导致入睡困难，形成恶习循环。

(1)

当今社会，科技的发展使得复制的艺术很难得到大众的认同，因此在继承传统文化的同时对其再造才是更好的出路。再造不是直接抛弃过去的所有，而是将自身发展，甚至到极致。艺术作品在每个阶段都会有那个阶段的文化特征，而现代青花瓷艺术特征正是无数个陶艺家汇聚的总和，在众多的个性中存在着共性，是当今社会的物质文化产物。但是在创作的同时又不能完全摆脱传统、与过去断层，因此在进行现代青花创作时必要的需要吸取传统青花文化的精髓，取其精华去其糟粕，加深作品的文化内涵才能使现代青花艺术瓷加深印象深入人心。

西安市的比较完整的人口统计资料为人口预测提供了较为充分的依据。本文选择西安市1985-2015年的统计数据来建立模型，采用马尔萨斯人口模型和Logistic模型两种方法来预测西安市未来20年内的总人数。

本文选择间距相等的3个年份(1986年、1999年和2012年)，总人口分别为P (1986)=564.0万人,P (1999)=674.5万人,P (2012)=795.9万人,计算得a =0.033 6,b =3.6×10^-5,代入式(1)得西安市人口增长的计算式为

(2)

根据式(2)，以2013-2015年的数据来检验模型。运用Logistic模型，通过Matlab求解，得到预测值，将预测值与实际值进行比较，结果如图3所示。

2.3 两种模型的验证情况

通过误差对比分析，马尔萨斯人口模型的平均相对误差为0.65%，Logistic模型的平均相对误差为0.94%，说明两种模型均可以较好的模拟预测，但前者比后者的误差更小，模拟精度更好，故本文选用马尔萨斯人口模型来预测2016-2036年的人口。

本文利用西安市1985-2012年统计数据建立预测模型，预测2013-2036年的人口发展规模，通过比较2013-2015年的人口预测值与实际统计值，得出预测误差的大小，见表2。

图 3西安市 2013-2015年总人口数预测
Fig.3 Prediction of Xi’ an’ s total population in 2013-2015

表 2两种模型的预测值及误差
Tab.2 Predicted values and residue errors obtained by the two models

3 未来人口的预测结果

本文采用马尔萨斯人口预测模型中的高方案来预测2016-2036年的人口，预测结果见表3，在2026年总人口数达到882.3万人，2016-2026年平均年净增长为5.52万人，到2036年总人口数达到947.5万人，2026-2036年平均年净增长为5.93万人，说明人口增长呈现较稳定的状态。

为了计算模型中的a ,b ，选择t ₀,t ₁,t ₂3年的数据P ₀=P (t ₀)，P ₁=P (t ₁)，P ₂=P (t ₂)，其中t ₁-t ₀=t ₂-t ₁=f ，代入式(1)有：

表 3西安市 2016-2036年人口预测值
Tab.3 Prediction of Xi’ an’ s total population in 2016-2036

4 结 论

本文通过建立马尔萨斯人口模型和Logistic模型，并用这两种模型分别对西安市2013-2015年人口规模进行了预测，通过2013-2015年实际人口与预测人口数进行对比发现：

1)马尔萨斯人口模型和Logistic模型均能满足预测精度要求。

合作学习(cooperative learning)，是在物理知识的习得过程中，借助富有创意和实效的教学理论与策略，通过改善物理课堂教学氛围，实现学生学习成绩提高，促进学生借助该教学方法，获得教与学良性循环，也借助相互鼓励，实现相互交流、共同发展，并在开发研究阶段，获得对物理知识和学习技能的牢固掌握.高中物理合作学习的开展，是注重学生差异化培养、展示自我、夯实物理知识学习的体现.

2)与Logistic模型相比，马尔萨斯人口模型的相对误差较小，原因在于本文预测的时间较短，研究的年份较少，所以可以获得良好的预测效果。对于长期的人口预测而言，Logistic模型是更为合适的模型。

何牦一见杨琳流泪，心里就难受。这些年他见不得女人流泪，一见女人流泪，就想起欧阳橘红，他仿佛看到欧阳橘红还在流泪，是他造成了欧阳橘红的苦难，只有他才能让欧阳橘红不再流泪。

3)预测得到2036年西安市的人口规模将达到947.5万人，这是仅从历史数据的变化趋势所做出的预测，未考虑国家放开的二孩政策，西安入围国家中心城市等因素，这些因素将使得西安市实际的人口规模可能超过预测的人口规模。

(3)氧化铋可以重复使用，一次投入，长期循环使用，使用周期过长时，因为杂质影响除氯效果，可对氧化铋进行除杂处理，再次回收利用。

综上所述，人口增长会受多种因素的影响，任何一种模型均不能完整地预测其发展情况，具体采用何种模型可得到理想的结果，应当按照实际情况加以选择。

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Application of Mathematical Model in Population Forecast of Xi ’an

GAO Mei ^1,2,KANG Baosheng ¹,CAO Lixia ²

(1.School of Information Science and Technology,Northwest University,Xi’an 710127,China;2.School of Science,Xi’an Technological University,Xi’an 710021,China)

Abstract :For the reasonable overall urban planning and sustainable development of Xi’an,the total population of Xi’an in the coming 20 years is forecast based on the analysis of Xi’an’s total population from 1985 to 2015 by using the Malthus population model and the Logistic model.The two models are also compared.This study is expected to provide reference for population development in Xi’an.The results show that both models can give the accuracy required.For the prediction of short-term population,the Malthus population model,with smaller relative errors,can obtain good prediction results,while for long-term population prediction,the Logistic model is the better one.

Key words :population forecast;population status;Malthus population model;Logistic model

中图号： O212

文献标志码: A

文章编号： 1673-9965(2019)04-0373-05

DOI: 10.16185/j.jxatu.edu.cn.2019.04.001

*收稿日期： 2018-07-15

基金资助： 国家自然科学基金(61731015);陕西省教育厅自然科学专项(18JK0373)。

第一作者简介： 高 梅(1979-)，女，西北大学博士研究生。

通信作者简介： 康宝生(1961-)，男，西北大学教授，主要研究方向为计算机图形学、数字图像处理、计算机辅助几何设计与计算、信息安全，E-mail:bskang@163.com。

引文格式: 高梅,康宝生,曹黎侠.数学模型在西安市人口预测中的应用[J].西安工业大学学报,2019,39(4):373-377.GAO Mei,KANG Baosheng,CAO Lixia.Application of Mathematical Model in Population Forecast of Xi’an[J].Journal of Xi’an Technological University,2019,39(4):373-377.

(编辑、校对 肖 晨)

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