结构的魅力——《20世纪数学思想》评介，本文主要内容关键词为：魅力论文,思想论文,结构论文,数学论文,世纪论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一
数学活动的核心是数学思想活动。数学在漫长的发展过程中，不仅建立了严密的知识体系，而且形成了一整套思想和方法，总结这些思想方法形成和演进的规律，有助于深化对数学的认识并促进数学的发展。因此，在世纪之交全面总结一下20世纪的数学思想和历史，无疑是一件意义重大的工作。
然而，这是一件十分不容易的工作。这首先是因为20世纪的数学不像19世纪的数学那样具有一种健康的数学文化。20世纪的数学没有系统、没有明晰的历史的来龙去脉，剩下的只是“定义——定理——证明”的汪洋大海。20世纪的数学门类繁多，内容广泛，已经发展到了“隔行如隔山”的地步。从数学内容的精深和数学领域的广阔来看，现在我们几乎无法全面而深入地掌握20世纪的数学素材。
另一方面，有关20世纪数学思想和数学史的研究资料缺乏。20世纪以来，许多数学家对数学思想方法进行了研究。例如，法国著名数学家庞加莱在1902—1908年发表的论文《科学与假设》、《科学与方法》等都是数学思想的专著。1954年美籍匈牙利著名数学家波利亚先后出版了《数学与猜想》、《数学的发现》等著作，对贯穿于整个数学中的思想、方法进行了较为深刻的论述和总结。1956年亚历山大洛夫等许多前苏联著名数学家合著的《数学——它的内容、方法和意义》，日本的细井淙于1953年发表的《东西方数学思想史》、三宅刚一于1968年发表的《数学哲学思想史》，美国数学家M·克莱因于1972 年发表的《古今数学思想》等，都从历史的角度研究了数学思想方法的产生与发展。这些著作被译成多种文字发行到全世界，大大促进了数学思想和数学史的研究。20世纪80年代以来，我国著名数学家徐利治教授出版了《数学方法论选讲》等著作；解恩泽教授主编了《数学思想方法纵横谈》、《数学思想方法》等书。我国数学家和数学工作者关于数学思想方法方面的著作和论文，丰富了数学思想和数学史的研究。但是，回首中外数学思想和数学史研究，迄今尚缺乏对20世纪数学思想的归纳和分析。20世纪数学史研究可以说几乎是空白，郑重的数学史研究大致到达19世纪末，而20世纪数学史研究直到最近才刚刚开始，研究的范围还局限在1900年到1950年。
在这种情况下，写一部总结20世纪数学思想的著作，无疑是一件开创性的工作，它需要作者具有渊博的数学知识、丰厚的数学文化素养和过人的胆识。胡作玄、邓明立二位先生做了这件工作，把一部洋洋44万多字的《20世纪数学思想》（山东教育出版社出版）呈现在世人的面前。
本书同M·克莱因的名著《古今数学思想》有某种亲缘的关系。 但从20世纪数学发展和数学思想、数学史研究的现状来说，现在对20世纪数学思想和数学史的研究还根本无法做到像《古今数学思想》那样的历史论述和分析。《20世纪数学思想》的一个突出特点，是在研究的定位上进行了一个有益的尝试，即与数学专著的内容（定理和证明）相互补充，粗线条地描绘了20世纪数学的历史图景。
二
20世纪数学的发展变化呈现出如下的特点：（1 ）数学的研究对象远远超出经典数学的范围，日益显示出越来越复杂的多样性。（2 ）结构数学像一条红线，贯穿在20世纪数学发展的过程中，形成现代数学统一性特征的核心。（3）抽象化、概念化的数学非但没有各自为政， 互不关联，反而使得大量意想不到的关系不断涌现，给各种问题的解决提供了新的有力工具，特别是为解决经典问题打开了智慧之门。（4 ）高度的抽象的数学非但没有脱离实际，而且有着不可思议的应用价值。面对复杂多样的20世纪数学，给予全面介绍和总结是不可能的，《20世纪数学思想》不能也不打算概括整个数学。结构数学是20世纪的主流，这正如德国大数学家希尔伯特指出的：“数学，它的生命力在于各部分之间的联系。”因此，本书主要介绍20世纪数学的主流——结构数学的来龙去脉、主要问题、中心定理以及方方面面的联系。
仅就20世纪的结构数学而言，门类繁多，内容广泛，如果全面介绍，哪怕是只列举出学科名称都十分困难。所以本书在介绍了结构数学的基本概念和基本框架后，重点介绍了群论、拓扑学和结构数学在几何学与数论方面的应用。
尽管19世纪的数学已经产生了结构数学的萌芽，但是作为结构数学的对象并没有系统地产生。它们与传统的对象相比具有异质的特点。简而言之，经典对象是一个一个的，而结构首先是以集合为基础的。经典对象研究一些对象的一般的或特殊的性质，而结构对象研究结构关系，因此结构对象的产生首先仰赖于集合的产生以及公理化定义方法和结构的观念。结构反映了一个事物与其他事物之间的关系，其局部与整体的关系，或几种事物之间的相互关系。数学结构的概念无非是这种朴素观念的抽象，它经过了漫长的发展过程，最后由布尔巴基学派确定为整个数学的基础。20世纪数学的主流——结构数学是研究抽象数学结构的科学。它是在集合论的基础上，由传统的数学对象与数学方法中产生一批抽象的结构，这些结构大都可以通过公理方法来定义，形成自己的问题和理论体系，并且衍生出一套相关的结构及理论。本书在介绍了数学结构、集合与映射、序结构、代数结构、拓扑结构、复合结构、多重结构、混合结构、衍生结构等数学结构的基本概念之后，又介绍了城、拓扑空间、点集纲性与测度、希尔伯特空间、巴拿赫空间等一些基本的数学结构。
群是抽象元素组成的集合，它在结构数学中具有典型的意义。一方面群在数学中处于中心地位，同数学有着方方面面的联系，另一方面群是数学统一性的象征。所以本书用近四分之一的篇幅来讨论群的理论。群既不是数量关系，也不是空间形式，如果不是数学家经年累月的努力，要想抽象出“群”这种深藏不露的概念是极为困难的。正因为如此，虽然群有着极为实际的背景，对于只有通常数学知识的人来说，往往感到研究这种纯而又纯的对象，只不过是一种高级的智力游戏。实际情况与这种想法恰恰相反，群的观念在科学技术中是大有用武之地的。可以说，没有群，许多先进的科学就无法实现。远的不说，没有群，就没有结晶学的晶体分类，也不会有对原子、分子结构的认识和对光谱的解释。核物理和粒子物理更是伴随群论的应用而发展起来的。没有群，对于基本粒子的相互作用与分类研究不可想像。群帮助我们认识自然、了解自然。而群的概念的创造甚至许多应用似乎应归功于数学家。一旦像群这样精辟的概念创造出来，数学就显示出无穷的生命力。本书追溯了群论的历史发展，考察了群论的理论框架，介绍了阿贝尔群、有限置换群、有限群、无限群、李群、代数群等。
拓扑学是研究图形的拓扑性质，也就是图形在经过连续变换下，保持不变的性质。正如群论不仅研究群的结构而且研究群与群之间的映射一样，拓扑学作为一门结构数学，不仅研究图形的拓扑性质，同时也研究图形与图形之间的各种映射。本书着重介绍了同调理论、同伦理论、纤维空间和纤维丛、微分流形、低维流形、范畴与函子、同调代数学等拓扑理论。
任何数学，包括结构数学有独立存在意义和价值，并不在于它提出一套理论，而在于它提供理解数学及其他科学的框架，创造联系各学科的纽带，提出解决经典问题的方法。只有这样，才能显示出它的威力。当然，结构数学从一出现，就产生了大量本学科的问题。重要的是，它的确能解决用经典方法解决不了的经典问题，大大扩展了数学对象的范围。单是这一点已足以显示其优越性。但更重要的是，它成为引导我们进一步统一数学、发展数学的指路明灯，因为未来的数学发展中主要不再是几个孤立的经典难题在推动，而是系统的发展理论，提出各种层次的问题并求得其解决，并在解决的过程中加深对整个数学的理解。这样它推动整个数学走向无尽的前沿，使数学将成为越来越宏伟、越来越统一的建筑。
三
《20世纪数学思想》在总体上体现出纵向与横向相结合、历史与逻辑相统一的科学的研究风格。在纵向上有历史的继承，有数学理论在不同年代的发展；从横向看，有点、有面，有人物、有理论的展开，有理论的应用，有概括、有评价。既揭示出了数学思想的来龙去脉，又突出了数学家的重要成果、重要贡献，还反映了数学家的工作情况。
本书有很强的历史感。沿着时间的线索，它探索20世纪数学理论发展的源流。20世纪的数学不是从零开始的，它根植于过去数学的土壤之中。一些新概念、新思想的发生离不开旧的思想方法，特别是结构数学大都在19世纪的数学当中已有萌芽。所以本书用一定的篇幅回顾了19世纪数学的遗产。在历史的继承中，在数学思想与数学实践活动的矛盾以及数学思想本身的矛盾运动中，探讨数学问题的不断解决，揭示数学思想的不断发展。例如，公理化方法是古希腊数学家欧几里得首创的，他在《几何原本》一书中运用了亚里士多德的逻辑方法，按照公理化结构把零散的几何知识整理成一个完整的逻辑体系，对数学的发展有着巨大的影响。但是，欧氏几何的公理体系存在着许多问题，特别是它的第五公设并不是显然自明的。人们对于第五公设的研究，不仅导致了后来非欧几何的产生，而且推动了实体公理化方法向形式公理化方法的发展。19世纪末，希尔伯特提出并解决了公理系统的相容性、独立性和完备性等三个重要问题，从而把公理化方法推进到形式化公理方法的新阶段。随着人们对数理逻辑研究的深入，现代公理方法正向着更加形式和精确化的方向发展，成为结构数学的重要基础。可见，现代公理化方法是在旧理论的基础上演变而来和在本身的矛盾运动中逐渐发展和完善起来的。又如，群论概念的产生，群的概念是形的对称性的抽象结果，当我们从各种对象中发现对称性之后，就逐步引出具体的群。由于对象千变万化，我们难以发现它们结构之间的类似之处。因此，就需要驳去各种对象表层的外衣，抓住本质的结构，对它们进行比较，这样我们就从具体的群走向抽象的群。那么在这一过程中，群论是如何具体发展的？有哪些数学家在其中发挥了重要作用？本书在历史与逻辑的统一中引人入胜地展开笔墨。
数学史是数学家的历史。整个数学大厦的几块基石（即一些最重要的数学概念、数学思想），是由为数不多的数学家提出的。他们像是戏剧中的几位主角。17、18世纪的主角是笛卡尔、牛顿、莱布尼茨、欧拉和拉格朗日。19世纪的主角是高斯、黎曼、罗巴切夫斯基、阿贝尔、伽罗瓦、柯西、傅利叶和魏尔斯特拉斯等人，一直到结构数学的先驱康托尔和戴德金。在庞加莱、希尔伯特之后，20世纪最伟大的数学家非外尔莫属。他不仅为我们留下了许多数学成果和数学方法，而且对于他亲历的20世纪前半期的数学，进行了客观而中肯的评价。还有大数学家冯·诺伊曼，当然他更以计算机的开创者、应用数学家而知名。但是，这位全才的数学家对于结构数学依然有重大贡献，他的思想仍然领先于他的时代。正是上面的四位数学巨人，再加上嘉当、爱米·诺特、哥德尔、维纳等大数学家，以及法国的函数论学派、俄国—苏联学派、波兰学派，最后由布尔巴基学派集其大成，20世纪的数学最终走上自己的辉煌历程。这生动地说明个人的创造性在人类文明历史中的突出地位。在这个意义上，我们不妨想想叔本华的见解：大思想家们是人类的灯塔，如果没有他们，人类就要流落在迷茫无际的大海里。 因此， 对于试图研究20世纪数学史的学者，与其在数学汪洋大海中盲目探索，还不如暂时接受一些大数学家的方向引导，找出20世纪数学发展的主线，对数学有一个整体的认识，然后旁及其他，逐步深入。 这正是本书作者在确定20世纪的数学框架时所采用的一个比较妥当的方法。只有在我们能够驾驭整个局势时，我们再对他们进行批判也不为晚。
除此之外，《20世纪数学思想》涉及的数学家有几百个。所以，阅读本书使人有一种深切的感受，就是后人是站在前人的肩膀上的，20世纪数学的辉煌大厦是数学家们共同建造的。一些重要数学概念是在哪一年提出的，一些新理论是怎样突破的，是由哪位数学家在什么论著中提出或突破的，数学家的外文原名，生卒年月等，本书都有详实的介绍，并对数学家的工作在整个数学发展中的意义给予了应有的评价。
20世纪的数学，内容庞杂，高度抽象。但本书思路清晰，重点突出，叙评结合，语言生动。例如，对拓扑学的阐释从直观拓扑学中的哥尼斯堡七桥问题入手，使本书具有了平实的亲切感。又如在介绍二维复流形的内在定义时，举了自行车内胎出现破洞及用补丁补破洞的简单例子。通过事例，使人们理解二维复流形的内在定义及黎曼、庞加莱深刻的数学思想。
《20世纪数学思想》粗线条地介绍和总结了20世纪数学思想的历史演进，而对细节不可能给出面面俱到的论述。此外，虽然说20世纪数学的主流是结构数学，但是它并不能覆盖所有的数学。应当指出，随着时间的推移，人们对20世纪数学思想、数学史的研究会更加深入，对20世纪数学的规律性会有更清晰的认识。那时，20世纪数学思想、数学史的研究将对21世纪数学的发展和繁荣起到更大的促进作用。