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一、百年前的讲演
1900年8月5日，法国数学家David Hilbert（希尔伯特，1862 —1943）在巴黎国际数学家大会上作了题为《数学问题》的著名讲演。这是载入数学史册的重要讲演。他在讲演的前言和结束语中，对数学的意义、源泉、发展过程及研究方法等，发表了许多精辟的见解。而整个讲演的主体，则是他根据十九世纪数学研究的成果和发展趋势而提出的23个数学问题，这些问题涉及现代数学的许多重要领域。一百年来，这些问题一直激发着数学家们深厚的研究兴趣。100年过去了， 这些问题近一半已经解决或基本解决，但还有些问题虽取得了重大进展，但未最后解决，如：Riemann（黎曼）猜想，Goldbach（哥德巴赫）猜想等。
对Hilbert在1900年提出的23个问题，很多人认为：这些问题， 对推动二十世纪数学的发展起了很大的作用，当然也有评论说其不足之处，例如：这23个问题中未能包括拓朴学、微分几何等在二十世纪成为前沿学科的领域中的数学问题；除数学物理外很少涉及应用数学等等。当然更不会想到二十世纪电脑的大发展及其对数学的重大影响。二十世纪数学的发展实际上是远远超出了Hilbert问题所预示的范围。
D.Hilbert是十九世纪和二十世纪数学交界线上高耸着的三位伟大数学家之一，另外两位是 henri Poincare（庞加莱， 1854—1912 ）及Felix Klein（克莱因，1849—1925）， 他们的数学思想及对数学的贡献，既反射出十九世纪数学的光辉，也照耀着二十世纪数学前进的道路。
又一个新的世纪开始了，再来看看D.Hilbert在上一个世纪新、 旧世纪交替之际所作的讲演，其中一些话现在仍然适用。例如在讲演一开始，他说：“我们当中有谁不想揭开未来的帷幕，看一看在今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢？我们下一代的主要数学思潮将追求什么样的特殊目标？在广阔而丰富的数学思想领域，新世纪将会带来什么样的新方法和新成果？”他还接着说：“历史教导我们，科学的发展具有连续性。我们知道，每个时代都有它自己的问题，这些问题后来或者得以解决，或者因为无所裨益而被抛到一边并代之以新的问题。因为一个伟大时代的结束，不仅促使我们追溯过去，而且把我们的思想引向那未知的将来。”
二十世纪无疑是一个数学的伟大时代，二十一世纪的数学将会更加辉煌。“每个时代都有它自己的问题”，二十世纪来临时，Hilbert提出了他认为是那个世纪的23个问题。这些问题对二十世纪数学的发展起了很大的推动作用，但二十世纪数学的成就却远远超出他所提出的问题。那么二十一世纪的问题又是什么呢？Hilbert1900年在巴黎国际数学家大会上提出这些问题时才38岁，但已经是当时举世公认的德高望重的领袖数学家之一。大家知道，2002年国际数学家大会将在中国北京召开，这是国际数学家大会第一次在第三世界召开，那么在这新旧世纪交替之际，会不会有像Hilbert 这样崇高威望的人在会上提出他认为的二十一世纪的数学问题或是以其他的形式展望二十一世纪的数学？这个我当然不知道。这些年来，已有不少数学家提出他自己认为的二十一世纪的数学问题，但往往是“仁者见仁，智者见智”。
二、百年前的讲演的启示
对Hilbert的23个问题不在这里介绍了， 因为它超越了中学数学的范围。但一百年前，Hilbert讲演中对数学的一些见解非常的深刻， 百年过去了，重读他的讲演，依然得到很多启示。我也不可能在这短短的一两个小时内，对他的讲演的各个部分阐述自己的体会，我只想对他所说的其中的一段谈谈自己的粗浅认识。
从十七世纪六十年代微积分发明以来，数学得到了极大的发展，分支也愈来愈多。开始时一些大数学家对各个分支都懂，并且做出了很重大的贡献。但后来数学的分支愈分愈细，全面懂得各个分支的数学家愈来愈少，到十九世纪末，Hilbert做讲演时，已经是这种情况，于是在讲演中，他说了这样一段话：“然而，我们不禁要问，随着数学知识的不断扩展，单个的研究者想要了解这些知识的所有部门岂不是变得不可能了吗？”为了回答这个问题，我想指出：数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边，数学科学发展的这种特点是根深蒂固的。因此，对于个别的数学工作者来说，只要掌握了这些有力的工具和简单的方法，他就有可能在数学的各个分支中比其它科学更容易地找到前进的道路”。一百年过去了，数学发展得更为广阔与深入，分支愈来愈多。现在数学已有六十个二级学科，四百多个三级学科，更是不得了，所以Hilbert的上述这段话现在显得更为重要。不仅如此，Hilbert的这段话实际上讲的是数学发展的历史过程，十分深刻地揭示了数学是一个新陈代谢，吐故纳新的过程，是一些新的有力的工具、更简单的方法的发现与一些陈旧的、复杂的东西被抛弃的过程，是“高级”的数学替代“低级”的数学的过程，而“数学科学发展的这种特点是根深蒂固的。”事实上，在数学的历史中，一些新的有力的工具，更简单的方法的发现，往往标志着一个或多个数学分支的产生，是一些老的分支的衰落甚至结束。
回顾一下我们从小开始学习数学的过程，就是在重复这个数学发展的过程。一些数学虽然后来被更有力的工具和更简单的方法所产生的新的数学替代了，即“低级”的被“高级”的替代了，但在人们一生学习数学的过程中，却不能只学习“高级”的，而完全不学习“低级”的，完全省略掉学习“低级”的过程。这是因为人们随着年龄的不断增加，学习与他的年龄和智力相当的数学才是最佳选择。学习数学是一个循序渐进的过程，没有“低级”的数学打好基础，很难理解与学习好“高级”的数学。
以下我们从Hilbert 讲演中的这一段精辟论述的角度来认识我们的中小学的数学课程。我只是从数学发展的历史的角度来讨论问题，为大家从数学教育的角度来讨论问题作参考。但我必须强调的是：从数学发展的历史的角度来考虑问题与从数学教育的角度来考虑问题虽有联系，但是是不一样的。
三、算术与代数
人类有数的概念，与人类开始用火一样古老，大约在三十万年前就有了，但是有文字记载的数学到公元前3400年左右才出现，至于数字的四则运算则更晚。在我国，《九章算术》是古代数学最重要的著作，是从先秦到西汉中叶的众多学者不断修改、补充而成的一部数学著作，成书年代最迟在公元前一世纪。这是一本问题集形式的书，全书共246 个题，分成九章，包含十分丰富的内容。在这本书中有分数的四则运算法则、比例算法、盈不足术、解三元线性代数方程组、正负数、开方以及一些计算几何图形的面积与体积等。在西方，也或迟或早地出现了这些内容，而这些内容包括我们从小学一直到中学所学习“算术”课程的全部内容。也就是说人类经过了几千年才逐步弄明白建立起来的“算术”的内容，现在每个人在童年时代用几年时间就全部学会了。对于“算术”来讲，“真正的进展”是由于“更有力的工具和更简单的方法的发现”，这个工具与方法是“数字符号化”，从而产生了另一门数学“代数”，即现在中学中的“代数”课程的内容。在我国，这已是宋元时代（约十三世纪五六十年代），当时的著作中，有“天元术”和“四元术”，也就是把未知数记为“天”、“元”，后来将四个未知数记为“天”、“地”、“人”、“物”等四元，也就是相当于现在用x，y，z，w来表达四个未知数，有了这些“元”，也就可以解一些代数方程与联立线性代数方程组了。在西方，彻底完成数字符号化是在十六世纪。当然在“数字符号化”之前，一元二次方程的解，多元联立方程的解都已经出现，例如我国古代已经有一些解一般数字系数的代数方程的“算法程序”，但这些都是用文字来表达的，直到“数字符号化”之后，才出现了现在中学代数的内容。
由“数字符号化”而产生的中学“代数”的内容，的的确确是“数学中真正的进展”，“代数”的确是“更有力的工具和更简单的方法”。“算术”顾名思义，可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数字符号化”。人类从“算术”走向“代数”经历了千年，但中学生只用短短的几年就可以全部学会这些内容。
回忆我在童年时代，在小学学习“算术”课程时，感到很难，例如：求解“鸡兔同笼”题，即：一个笼子中关着若干只鸡，若干只兔，已知共有多少个头，多少只脚，求有多少只鸡，多少只兔？当时老师所讲的求解方法，现在已完全记不得了，留下的印象是感到很难，而且纳闷的是：鸡与兔为何要关在一个笼子里？既数得清有多少个头及多少只脚，为何数不清有多少只鸡与多少只兔？等到初中时，学习了“代数”课程，才恍然大悟，这不过是二元一次联立代数方程组问题，十分简单。因之，“代数”显然比“算术”来得“高级”，这的确是“更有力的工具和更简单的方法”，而这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把“陈旧的、复杂的东西抛到一边”，也就是从“代数”的角度来理解“算术”，可以理解得更深刻，从而可以把“算术”中一些复杂的，处理个别问题的方法抛到一边去。
在这里，我要重复说一遍，尽管中学的“代数”比小学的“算术”来得“高级”，是“更有力的工具与更简单的方法”，但并不意味着小学的“算术”就可以不必学了，因为：
（1）“算术”中的一些内容不能完全被“代数”所替代， 如四则运算等；
（2）即使能被替代的内容，适当的学习一些， 有利于对“代数”内容的认识与理解；
（3）从教育学的角度考虑，这里有循序渐进的问题， 有学生在不同的年龄段接受能力不同的问题等等。
作为中学“代数”中的一个重要内容是解多元一次联立方程组，在中学“代数”的教材中，一般着重讲二元或三元一次联立方程组，所用的方法往往是消元法。但是如果变元为四个或更多时，就得另想办法来建立起多元一次联立方程组的理论。经过很多年的努力，矩阵的想法产生了，这不但给出了多元一次联立代数方程组的一般理论，而且由此建立起一门新的学科“线性代数”，这是又一次“数学中真正的进展”。由于“更有力的工具和更简单的方法”，即“矩阵”的发现，不仅对多元一次联立代数方程组的理解更为清楚、更为深刻，而且由于有了统一的处理方法，可以把个别地处理方程组的方法“抛到一边”。
当然， “线性代数”是大学的课程， 但它的产生的确再次印证了Hilbert所说的那段话。
在中学“代数”中的另一个重要内容是解一元二次方程。在古代，例如《九章算术》中已
零根）。1545年，G· Cardano（卡尔丹，1501— 1576 ）公布了由N·Fontana（1499—1557）发现的一元三次方程的解， 而一元四次方程的解由L·Ferrari（费拉里，1522—1565）所解决。于是当时大批的数学家致力于更高次方程的求根式解，即企图只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算来表达方程的解。数学家们前仆后继地努力了两个世纪，但都失败了，直到1770年，J·Lagrange （拉格朗日，1736—1813）看到了五次及更高次方程不可能做到这点。又过了半个世纪，1824年，N·Abel（阿贝尔1802—1829）解决了这个问题， 即证明了：对于一般的五次和五次以上的方程，求根式解是不可能的。但什么样的特殊的代数方程能用根式来求解，这被E·Galois（伽罗华， 1811—1832）所解决，而更为重要的是：为了解决这个问题，他建立起“群”的概念。这意味着现代代数理论的产生，这是又一次“数学中真正的进展”，它是由于“更有力的工具和更简单的方法”，即“群”的发现而造成的。有了“群”以及后来发展起来的现代代数理论，可以更清楚、更深刻地理解以往高次代数方程求根式解的问题，从而的确可以把以往那些“陈旧的、复杂的东西抛到一边”。
虽然“群”等近代代数的内容已超出中学教学的内容，但从代数方程求根式解问题的提出到彻底解决，这三百年的过程，十分确切地印证了前面不断重复的Hilbert所说的那段话。
“群”的作用在历史上及现代数学中都是不可估量的。例如：1872年，Klein提出了著名的Erlanger Programm，即认为各种几何学就是研究各种不同变换群下的不变性质。这个数学思想，不仅对几何学的发展，而且对整个数学的发展起了巨大的作用。
四、几何与三角
人类在很早的时候，就有各种计算面积与体积的公式或经验公式，也得到了不少几何的定理，例如：著名的Pythagoras（毕达哥拉斯，约公元前580—前500）定理等。但在古代，作为几何的代表作，则是Euclid（欧几里得）的《原本》（Elements）。Euclid生平不详，只知他在公元前300年左右活跃于亚历山大城。《原本》共13卷，包括5条公里，5条公设，119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系，可以说其影响一直延续至今。现在中学的“平面几何”与“立体几何”的内容，在《原本》中都已有了。《原本》不但包含了“平面几何”与“立体几何”的内容，而且还涉及到其它一些数学内容，如数论的一些内容等。所以《原本》不完全是一部纯几何的著作，它是一部历史上印数最多的著作之一（仅次于圣经），一部历史上应用时间长达一、二千年的书，而且其影响巨大，如它的数学公理化的思想，不仅影响几千年来数学的发展，还影响到许多其他学科。
从《原本》问世以来，几何领域一直是它的一统天下，这种现象持续了一千多年。“真正的进展”是由R·Descartes（笛卡尔，1596 —1650）与P·de Fermat（费尔马，1601—1665）所建立的“解析几何”，其基本思想是在平面上引进“坐标”，使平面上的点与实数对（x，y）之间建立一一对应，于是几何问题就可以用代数形式来表达， 而几何问题的求解就归化为代数问题的求解。Descartes 甚至还提出过一个大胆的计划，即
任何问题→数学问题→代数问题→方程求解。
解析几何的产生可以理解为变量数学的开始，它为微积分的产生创造了条件。由于引进了坐标，几何问题归结为代数问题，于是可以用一些代数的工具与方法来处理，从而使几何问题得解。这种思想与方法，使整个数学面目为之一新。在平面几何中或立体几何中，大家都多多少少做过一些难题。为了证明平面几何题，往往要添加辅助线，要考虑先证那两个三角形全同，后证明那两个角相等，否则不能成功。但为何要添加这根辅助线，为何要先证那两个三角形全同，往往依靠的是做习题的经验。而有些平面几何习题是十分困难的，如“九点圆”，现在来叫我证，也许一个星期也证明不出来。但是引入了坐标之后，几何问题归化为代数问题，从理论上来讲，这些问题都可以迎刃而解，所以这的确是“数学中一步真正的进展”。引进坐标，建立起点与数对之间的一一对应，的确是“更有力的工具和更简单的方法”，而“这些工具与方法”的确可以使我们更深刻地理解已有的理论，如直线就是一次方程，圆锥曲线就是二次方程等，而也的确可以“把陈旧的、复杂的东西”，如平面几何中的一些复杂解题技巧“抛到一边”。
现在中学“解析几何”课程的内容， 基本上是十七世纪由Descartes与Fermat建立起来的内容，也就是三百多年前的内容，其中除了讨论直线、平面、圆、球以外，还有圆锥曲线。人类对圆锥曲线的讨论，甚至可以追溯到Apollonius（约公元前262—前190）。但人们真正完全认识清楚圆锥曲线，也许是在解析几何产生后弄清了圆锥曲线就是二次曲线之后。由于引入了坐标，人们不仅能讨论直线与平面——一次曲线与曲面，圆、球与圆锥曲线与曲面——二次曲线与曲面，还能讨论更为高次的曲线及其他曲面。不仅如此，也澄清了一些历史上遗留下来的著名问题，如“古希腊三大著名几何难题：（1）化圆为方， 即作一个与给定的圆面积相等的正方形，（2）倍立方体，即求作一立方体， 使其体积等于已知立方体的两部，（3）三等分角，即分任意角为三等分。 这些问题的提出是在公元前五世纪以来逐渐形成的，这时作图的工具只有圆规与（不带刻度的）直尺，这三个难题讨论了近二千年，等到解析几何的产生，将之归化为代数问题，促使人们得到了否定的答案。
既然“解析几何”是“数学中一步真正的进展”，“解析几何”比起“平面几何”与“立体几何”都来得高级，那么是不是“平面几何”与“立体几何”就不要学习了，是不是直接学习“解析几何”就可以了？从教育学的观点，这显然是不对的。我们所说的“把陈旧的、复杂的东西抛到一边”是指当“解析几何”产生之后，那种用原来的方法来创造与发明几何定理的时代已经过去了，虽然这种做法延续了一千多年。而这并不意料可以将“平面几何”与“立体几何”“抛到一边”。在中学中必须学习“平面几何”与“立体几何”至少有以下几点理由：
（1 ）可以认识人们生活的三维欧氏空间中一些最基本的几何关系与性质；
（2）不学习“平面几何”与“立体几何”， 无法学习“解析几何”与“微积分”；
（3 ）“平面几何”与“立体几何”是训练学生严格逻辑思维的最好方法之一，这种训练比上一门“形式逻辑”课更为有效，而这种训练对学生终生有用。
当然中学中“平面几何”与“立体几何”应上多少内容是一个值得探讨的问题，完全取消是绝对错误的，做过多的几何难题也似乎是不必要的。
对古典几何的另一个“真正的进展”，是“非欧几何”的产生，这虽然已超越中学教学的内容，但这是数学史上的划时代贡献，给人以很多启示，不妨花些笔墨来简单叙述之。
前面说到Euclid的《原本》有五条公设与五条公理，这五条公设是：
1.假定从任意一点到任意一点可作一直线；
2.一条直线可不断延长；
3.以任意中心和直径可以画圈；
4.凡直角都彼此相等；
5.若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。
如前所述，从Euclid的《原本》诞生直到十八世纪末，在几何领域，它是一统天下，几乎成为“科学圣经”。但在同时，人们对五条公设中的前四条感到简洁、明了，无可非议，而对第五公设感到它不象一条公设，而更象一条定理，即可以从其它公设、公理及定理中推导出来。第五公设（也叫平行公设）有很多等价的叙述，最常用的为：“过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行”。
二千多年来，不知有多少数学家致力于用其它的公设、公理及定理来证明第五公设，甚至有人花去了整整一生，但统统归于失败。直到十九世纪，由C·F·Gauss（高斯，1777—1855），J·Bloyai（鲍耶，1802—1860）及Н·υοбαчевскｕǔ（ 罗巴切夫斯基，1792 —1856）创立了“非欧几何学”，才结束了这件公案。
他们三人各自独立地、几乎是同时地创立了“非欧几何学”，他们认为，第五公设不可能从其它的公设、公理及定理中推出来，并发展起第五公设不成立的新的几何学。Gauss称之为“非欧几里得几何学”，简称“非欧几何学”。
如同一切新生事物所要经历的那样，“非欧几何”从发现到普遍被接受，经历了曲折的道路。要达到这一目标，需要确实地建立起“非欧几何”本身的无矛盾性和现实意义。
1854年B·Riemann（黎曼，1826—1866）在“非欧几何”的思想基础上建立了更为广泛的几何学，即“黎曼几何学”。他在曲面上引入了黎曼度量，当曲率为零时，就是欧几里得几何中的情形：过直线外一点只能有一条平行线；当曲率为正常数时，过“直线”外一点没有“平行线”；当曲率为负常数时，过“直线”外一点，可以作多于一根的“平行线”。
由“非欧几何”思想的基础上建立起来的“黎曼几何”，开创了几何学、甚至整个数学的新纪元，而其发展更是一日千里。众所周知， A·Einstein（A ·爱因斯坦）的相对论正是以“黎曼几何”作为其数学工具的。
因这，经历了二千年的思索与努力，“非欧几何”的产生的解是“数学中一步真正的进展”，对已有的理论即欧几里得几何学，从更高、更深的角度去理解，而把那些用陈旧的思想，企图用其它公设、公理及定理来证明第五公设的一切做法“抛到一边”。
在中学数学课程中，还有一门叫“三角”。这门课程，主要讨论六个三角函数sinx，cosx，…等的相互关系及计算。人类对三角学的研究可以追溯到公元一、二世纪，当时对天文学的研究已经为三角学奠定了基础，已经有了类似正弦及正弦表等研究成果。经过了几百年的努力，到九、十世纪，三角函数的研究已系统化。到十三世纪，球面三角也基本完成。因之，现在中学中学习的“三角学”，其内容基本上在一千年前就形成了。
从更高、更深的角度来认识“三角学”，是由于复数的引入。人们对复数的思考由来已
三角学中的问题都可以归化为复数来讨论，于是使得三角学中一大批问题得以轻松地解决。
复数及Euler公式的引入，是“数学中一步真正的进展”， 是处理三角学以及其它一些学科的问题的“更有力的工具和更简单的方法”。而有了复数与Euler公式， 使得人们对三角学的已有理论的理解更为深刻，而可以把一些原始的、复杂的处理三角学的方法与工具“抛到一边”。
我还得重复一遍，尽管复数与Euler公式比三角学来得“高级”， 但并不意味着：中学课程中可以不要学习三角学。因为Euler 公式的建立需要更高深的数学，这是超出中学的范畴的，而且三角学是一门实用的数学分支，在很多其它学科中都有用。
五、微积分
“微积分”实在是太重要了，理、工、医、农、文、商等等都得学“微积分”。可以这样说：中学课程中学习的各门数学，从某种意义上讲是为学习微积分作准备的，一切大学的数学课程是以微积分为基础的。
微积分的来源可以说是从以下四个方面的问题来的：
（1）求曲线的长度，区域的面积，物体的体积等；
（2）求曲线的切线；
（3）求运动物体的速度；
（4）求一些问题的极大、极小值。
当然，这些问题在一些简单的情形，可以不用微积分，但当情形略为复杂一些，则非用微积分不可。而反过来，微积分的诞生，不仅能解决上述这些问题，且其用处大大地超出了这些问题。
微积分的一些原始的思想，可以追溯到很远。例如：魏晋时代（公元三世纪）的刘徽的“割圆术”就孕育着一些朴素的微积分的想法。 Archimedes（阿基米德，公元前287—前212）求出球的体积也是这样。经过二千多年的不断探索，到了十六，十七世纪，人们对上述四个问题，获得了十分丰富的成果。例如：对于曲线y＝x[n]（n为正整数），它所覆盖的曲边梯形的面积及其切线都已经知道，但所有这些都不能说微积分已经诞生。微积分的诞生只是在当I·Newton（牛顿，1643—1727）及G·W·Leibniz（莱布尼茨，1646—1716 ）建立了“微积分的基本定理”，即：指出微分与积分互为逆运算之后。由于他们指出微分与积分互为逆运算，计算积分不再要像以前那样想一些特殊的办法来一个个地处理，而可以统一处理了，也使微积分不再成为几何学的一部分，而成为一门独立的学科。
微积分的建立不仅使得数学的面貌彻底改变，而且将微积分应用到各个其它学科，使整个自然科学也彻底地改变了面貌。
牛顿与莱布尼茨的微积分基本定理的建立促使微积分的产生，这的确是“数学中一步真正的进展”，的确是“更有力的工具和更简单的方法的发现”。这不仅有助于对已有理论的理解，且理解更为清楚与深刻，如对前面提到的四个问题，的确可以把以往“陈旧的、复杂的东西抛到一边”。例如：对个别曲线用一些特殊的方法来计算其面积与切线的方法都可以抛弃了。
对于微积分还可以说很多很多，有兴趣的读者可以参阅我写的一本普及小册子“话说微积分”（中国科学技术大学出版社，1998）。
六、几点启示
不妨将上述的论述用下列的图表来总结一下。
从这张图表中，可以看出中、小学数学课程之间的关系，以及与大学数学课程之间的关系（在虚线方框内的为大学课程）。
当然，我还必须说明两点：（1 ）一门学科的产生往往有多方面的因素，我在这里只说了一个因素，而这个因素在我看来是主要因素之一。如果要各种因素都说到，对每一门学科都可以说很多话来讨论它的来源，但这在这样一次讲演中是不可能的，而且还会冲淡了主题；（2 ）一门学科对其他学科的影响也是多方面的，例如：中学的“代数”课程，从方程式的角度，导致了“线性代数”及“抽象代数”的产生，便从排列组合的角度，导致了组合数学的产生。又例如：非欧几何的产生，引发了“几何基础”的深入讨论等。对每一门学科都可以说很多话来论述其影响，但在这样一次演讲中不能面面俱到，只好从略了。
从上面的论述中，你们出许已经发现，导致“数学中一步真正的进展”的“更有力的工具和更简单的方法”往往是由于看来是十分简单明了的想法。如从算术走向代数，关键的一步是“数学符号化”，即将数字用a，b，c，…，x，y，z来表示。说到这一点，人们都是十分易于接受的，不会有什么困难的。但正是由于这简单的一步，引发了“数学中一步真正的进展”，而人们认识到“数学符号化”，却化了千年的时间。同样，由“平面几何”“立体几何”走向“解析几何”，关键的一步是“引进坐标”。现在看来这一步也是十分自然的，人们是乐于接受的，但正是由于这看似简单的一步，引发了“数学中一步真正的进展”。而人们认识到“引入坐标”也是花了千年的时间。对于其他的情形，也是一样，不在此一一重复了。
仔细想想，“数字符号化”，比算术中的一道难题可能更易于理解，“数字符号化”之后，解算术难题则轻而易举。同样“引入坐标”，比平面几何中的一道难题的解可能更易于理解，“引入坐标”之后，解几何难题则比较容易了。当然，“代数”比“算术”来得“高级”，“解析几何”比“平面几何”来得“高级”，可“高级”的反而容易，“低级”的反而难。这就是“高”与“低”，“难”与“易”之间的辩证关系。而更令人深思的是：重要的是要有创新的思想，“数字符号化”，“引入坐标”这些看似简单的想法，却是创新思想。有了这种创新思想，才会有“数学中一步真正的进展”，否则即使是解决“算术”难题的能人，是做“平面几何”难题的高手，而无这种创新思想，那么难题做得再多，也不可能引发“数学中一步真正的进展”。当然，这种创新思想来之不易，往往经过几百年，以至千年的积累才能形成。经过了长期的积累，走向成熟，就会有数学大师总结与提升前人的成果，提出这种创新的思想，这就是数学的历史。
当然，我这样说，并不是否定做一些算术或几何的难题。从培养学生学习数学的能力来看，让学生花太多的时间来做太多的难题当然不必要，但适当地让学生做一些数学难题还是合适的，对学生是有好处的，且对培养学生的创新思想也是有好处的。创新思想不是一天能培养出来的，要日积月累，有一个从量变到质变的过程。看看历史上的那些大数学家，哪一位没有做过难题？从教学的角度，问题是在适量。至于中、小学老师，为了提高教学质量，对一些难题进行研究、分析与探讨，那是理所当然的事。从因材施教、提高同学们学习数学的兴趣与能力的角度来看，举办一些数学活动，如“数学竞赛”等更是必要的了。从数学发展的历史角度与从数学教育的角度来考虑问题终究是不一样的。
如果以上算作数学历史的一点启示，那么以下所说的也可以算作数学历史的另一点启示。
从上述的叙述中，还可以看到，数学的历史也像战争史。“一将功成万骨枯”！想想从欧几里得的《原本》诞生之后，几千年来，不知有多少数学家前仆后继地企图用其他公设，公理及定理来证明第五公设。这些人都失败了，都默默无闻，数学史上不会记载他们的名字，实际上，他们都牺牲了。但正是由千千万万个无名的数学家的牺牲，导致了Gauss，Boiyai，υοбαчевскｕǔ从另外的角度来处理这个问题，他们成功了，他们成了英雄，但他们的成功是在几千年来千千万万个数学家的失败的基础上获得的，所以可以说是“一将功成万骨枯”！
同样自从二次、三次以及四次一元代数方程式得到根式解后，几百年来，也不知有多少数学家前仆后继地企图找到五次及更高次一元代数方程式的根式解，但他们都失败了。这些人在数学史上默默无闻，谁也不会记起他们的名字，但他们的牺牲，导致了Lagrange，A-bel与Galois从新的角度来考虑这个问题，他们成功了，名垂数学史。但他们的成功也是几百年来这些默默无闻的数学家的失败的基础上获得的，这也可以说是“一将功成万骨枯”！
这样的例子还可以举出很多。
从这些数学的历史中，启示了我们，我们应该如何来选择数学问题，如何来思考与处理数学问题，才能尽量避免牺牲去获取成功。
七、结束语
百年前，Hilbert在他那著名的讲演中， 用以下这段话作为结束语：
“数学的有机的统一，是这门科学固有的特点，因为它是一切精确自然科学知识的基础，为了圆满实现这个崇高的目标，让新世纪给这门科学带来天才的大师和无数热诚的信徒吧！”
请允许我借助Hilbert百年前讲演的这段结束语作为我今天的结束语。我深信，新的二十一世纪将会给这门科学带来天才的大师”，其中有很多是来自中国！