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摘要：本文分析总结了齿轮啮合刚度的常见计算方法。提出了一种接触有限元法计算时变啮合刚度且验证了其准确性，并分析了齿轮产生冲击振动的缘由。
关键词：齿轮；时变啮合刚度；接触有限元 ；冲击振动
0.引言
齿轮刚度的精确计算是轮齿修形、动态特性、故障诊断、寿命预测以及齿轮参数优化设计等研究的前提条件。有必要对圆柱齿轮刚度的计算作进一步的探讨和研究。
日本机械学会[1]上齿轮的刚度定义为如下：齿轮刚度为使一对或几对同时啮合的精确齿轮在1mm齿宽上产生1um绕度所需的啮合线上的载荷。设齿轮宽度为b(mm),齿轮所受的作用于齿廓的法向载荷为Fn(N)，齿轮的总变形为δ（um）,齿轮上的载荷集度，即齿轮单位齿宽的载荷ω为：ω=Fn/b；齿轮的柔度为：q=δ/ω; 则齿轮的刚度为：c=1/q= Fn/b/δ。
齿轮的单齿刚度的定义为单齿在外载荷的作用下，接触力与位移的比例系数，其表达式为：Kn=Fn/un；其中Fn为作用于轮齿齿廓曲面的接触力；un为齿轮的综合弹性变形量，其中包括了弯曲变形、剪切变形和接触变形等。
单齿对啮合刚度的定义为两个齿轮啮合过程中的综合刚度，两个齿轮以串联的方式耦合形成的单齿接触对，通过单齿刚度可以计算出啮合刚度为：K=K1*K2/(K1+ K2)；其中1,2分别为小齿轮和大齿轮。
齿轮啮合综合刚度定义为多对齿轮接触时，各对齿轮间形成并联的耦合关系，所以齿轮啮合综合刚度的表达式为：Km=K1+K2+…+Kn
所以齿轮啮合综合刚度主要与单齿的弹性变形、单齿对齿轮的综合弹性变形以及齿轮重合度有关。因此只要求得齿轮的弹性变形，即可确定齿轮啮合综合刚度。
1.几种常用齿轮刚度计算方法的比较
目前关于齿轮轮齿啮合变形的计算方法大致有三种，即材料力学方法、弹性力学方法和数值方法。材料力学方法中又分为韦伯公式和石川公式。
本文将主要采用ISO方法（B法）回归公式，半经验回归公式，材料力学(石川公式)及有限元方法对相同参数齿轮的刚度进行计算比较。
1.1 ISO方法（B法）回归公式
在工程应用上，通常用回归方程来表达一组复杂数据的函数关系。Winter是用能量法来分析的。根据他的分析，齿轮的单对柔度的回归方程为：
式中，z1、z2：小齿轮、大齿轮的当量直齿轮齿数；x1、x2：变位系数。
这样，可以很方便的求得齿轮的单对齿轮刚度为：c’=1/q。这就是ISO的计算齿轮刚度的B法。
计算举例，对如下参数的齿轮进行求解：m=2, z1=45, z2=80,a0 =200, x1=x2=0.
ISO的B法计算得轮齿单对齿刚度为c’=18.5496N/(mm*um)；
在近似计算中可采用c’=14N/(mm*um)。ISO的齿轮刚度计算的C法采用此值，此值与由公式计算的误差一般不超过±25%。
1.2 半经验（有限元数据拟合）
利用非线性拟合的方法,KUANG[2]应用二次平面应变等参有限元模型计算得到的刚度数据进行拟合，得到半经验的齿轮刚度计算公式，这个公式在限定的范围内计算单齿刚度具有足够的精度。则单齿刚度的计算公式可以表示为：
1.4 有限元方法的计算
根据刚度的定义公式可知，可以通过有限元计算单齿受载时的变形来计算齿轮的刚度，但它忽视了齿轮的接触变形，且齿轮载荷的方向很难确定。因此可以通过接触有限元计算得出齿轮在受载时接触齿面的接触力以及接触区节点的综合变形量，根据刚度公式便可得到刚度值。由于有限元计算中并不能给出相应节点的变形量，为了防止刚度位移影响刚度计算的精度，对小轮和大轮的单齿刚度计算需要分开进行。所以刚度计算分为两个步骤，首先计算大轮的单齿刚度，分析中在小轮上内圈施加载荷并释放周向的自由度，固定大轮，同理，保证在同样的工况下设置大轮受载，小轮固定，以计算小轮的单齿刚度，可以计算出当前接触位置的单齿啮合刚度。
计算实例：齿轮的其他参数和上面模型一样,齿宽都为10mm。本文体网格选择SOLID45单元，大齿轮固定时，小齿轮施加45N*M扭矩，小齿轮固定时，大齿轮施加80N*M扭矩。在Hypermesh中划分网格如图5所示：
图5齿轮网格和局部网格图
在节点接触时小齿轮齿面接触应力云图如图6，计算得齿轮的接触应力为599.705MPa，而用齿轮接触强度（赫兹公式）计算得齿轮的接触应力为620.112MPa，用有限元计算得结果与理论值误差为3.2%，因此从接触应力的角度得出本文用有限元算得的结果是符合要求的。在齿轮刚度定义的计算式中所指的综合变形量是由接触力引起的齿面变形量，所以应该为齿面接触区的综合弹性变形。通过提取法向接触力大于0的节点，对他们的位移求平均值即可得到刚度计算中所需的单齿综合弹性变形。将计算所得的接触力数值与综合弹性变形带入到刚度计算公式可以得到对应接触位置的单个齿轮刚度。
图6节点处小齿轮齿面等效接触应力
本文将以小轮的转角对接触位置进行定义，不同的转角对应不同的接触位置即对应不同的刚度值。以小轮转动2°为一个间隔，对模型的接触位置进行调整，以节圆的节点接触为初始状态正反两向均调整，分别调整到啮入点和啮出点，以保证能完整的获取单齿在完整啮合周期中刚度的变化情况。可以通过接触力的计算比较有限元计算是否正确。大齿轮固定小齿轮在施加45N*M扭矩时，对应理论啮合线上的合力为：F=T1/(m*z1*cos20)=1064.177N
同理小齿轮固定大齿轮在施加80N*M扭矩时，对应理论啮合线上的合力为1064.177N。对应算得各个接触位置时的接触力如表1，由于齿轮的弹性变形，实际接触为接触区域，可知接触力实际是在很小的范围内波动，所以本文用有限元算得的结果是符合要求的。
将上表数据整理，利用MATLAB数学工具绘制齿轮啮合刚度随啮合位置的变化曲线，横坐标表示主动轮转动角度，纵坐标表示齿轮啮合刚度，如图7所示：
由图8可知，石川公式算得的单对齿轮综合刚度偏大，是由于石川公式没有考虑轮体变形，将轮体当作刚体进行处理，计算结果偏大；改进的石川公式算得的单对齿轮综合刚度偏小，石川公式将齿轮接触处理成线接触，而实际齿轮在接触过程中由于齿轮的变形实际是区域接触，因此计算结果偏小；用接触有限元算得的单对齿轮综合刚度与拟合公式比较接近，符合实际情况。
由手册可知在近似计算中可采用c=14N/(mm*um)。ISO的齿轮刚度计算的C法采用此值，此值与实际计算的误差一般不超过±25%。上面几种在节点接触时的刚度值误差都在此范围内。
2.多齿啮合刚度
轮齿变形公式计算单对轮齿啮合时的变形，可求出单对轮齿的时变啮合刚度，但是实际动力方程中需要使用的是齿轮综合时变啮合刚度，通常齿轮在啮合期间有多对轮齿同时参与啮合，因此整个齿轮的时变啮合刚度是多对轮齿啮合刚度的合成。而参与啮合的各对轮齿的综合效应主要与单齿的弹性变形、单对轮齿的综合弹性变形（综合刚度）以及齿轮重合度有关。图9表示一个齿轮轮齿的循环啮合周期，啮合周期tm包含双齿对啮合周期ts和单齿对啮合周期td，可定义比例系数λ为：λ=ts/tm；λ=ε-1
由图10可知，在双齿啮合区，齿轮综合啮合刚度大于在单齿啮合区的综合啮合刚度，单双齿啮合区不断交替变换造成齿轮综合啮合刚度周期性的变化，产生周期冲击并由此产生冲击振动。
前面用回归公式在相同参数下算得的啮合刚度Cr=29.4121 N/(mm*um)，石川公式平均刚度值为26.2383 N/(mm*um)，半经验公式平均刚度值为21.5311 N/(mm*um)，接触有限元计算的平均刚度值为21.7402 N/(mm*um)，由手册可知在近似计算中可采用平均刚度值Cr=20 N/(mm*um)。ISO的齿轮刚度计算的C法采用此值，此值与由实际计算的误差一般不超过±25%。
3.结语
对几种不同的齿轮刚度定义进行了详细的介绍；详细介绍了回归公式、半经验公式、石川公式、改进石川公式及接触有限元等计算齿轮刚度的方法，并对这几种不同的方法进行了具体的分析和通过具体的实例进行了比较，计算结果表明：回归公式和石川公式计算结果偏大，而改进的石川公式计算结果偏小，接触有限元计算齿轮刚度的更符合实际情况；分析了多齿啮合刚度的计算理论及求解方法。通过实例分析石川公式计算的多齿啮合刚度，计算结果表明：在双齿啮合区，齿轮综合啮合刚度大于在单齿啮合区的综合啮合刚度，单双齿啮合区不断交替变换造成齿轮综合啮合刚度周期性的变化，产生周期冲击并由此产生冲击振动。
参考文献：
[1] 李茹贞,赵清慧译.齿轮强度设计资料.北京:机械工业出版社.1984
[2] KUANG JH,YANG Y T. An estimate of mesh stiffness and load sharing ratio of a spur gear pair [C]// Proceedings of the ASME Journal of 12th International Power Transmission and Gearing Conference.Saottsdale,Arizona,1992,DE-43-1:1
[3] 朱孝录,鄂中凯等.齿轮承载能力分析.北京:高等教育出版社.1992
论文作者:杨雄威,夏宗朝
论文发表刊物:《基层建设》2017年第33期
论文发表时间:2018/3/5
标签：刚度论文; 齿轮论文; 公式论文; 轮齿论文; 有限元论文; 载荷论文; 弹性论文; 《基层建设》2017年第33期论文;