摘 要：双曲线是圆锥曲线的重要内容之一，也是高考的热点问题，知识综合程度较高，且易于发散，运算复杂。此中不乏双曲线的第二定义和焦点弦等问题，无疑，这类问题在启迪学生思维、拓宽解题思路等诸多方面都有十分重要的作用，因而它在中学数学教材及各种复习资料中始终占有一席之地。针对双曲线的第二定义、焦点弦等问题及其应用，有必要作进一步的探讨和研究。
关键词：新课改 双曲线 焦点弦 第二定义
一、引言
新的数学课程标准是在以学生发展为本的理念下，要求学生转变学习方式，教师积极探索，转变教与学的观念，加深对课本内容的拓展理解和应用。所以，在数学教学中，教师应善于引领学生对课本的一些重要问题进行进一步的探索与研究，以提高学生的数学素质与应试能力。双曲线的定义和焦点弦是圆锥曲线中非常重要的几何概念，同时也是各类考试的重点和热点，角度常变，常考不衰。但在普通高中课程标准实验教科书中，仅仅介绍了双曲线的第一定义及其直接的、简单的应用，对于双曲线的焦点弦问题，几乎未作出任何探讨。教师在教学过程中也往往局限于新课程标准的教学目标和要求，没有对这些知识做出进一步的拓展补充。因此，学生往往不能对该类知识点做到透彻理解、巧妙应用。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆为此，针对双曲线的两个定义及焦点弦问题，结合具体事例，做一些简单探讨。
二、双曲线的两个定义
定义1：我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫作双曲线。这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距。
定义2：平面上与一个定点（焦点F）的距离和一条定直线（准线l）的距离的比等于常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，当e=1时是抛物线。
例1：（2008·湖南）若双曲线 － =1（a＞0，b＞0）的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（ ）。
A.（1， 2） B.（ 2，+∞）
C.（1， 2+1）D.（ 2+1，+∞）
分析：本题是圆锥曲线中的计算问题，设双曲线的右支上一点为P（x1，y1），x1≥a，则点P到左准线的距离为x1+ ，到右准线的距离为x1- 。由双曲线的第二定义得点P到右焦点的距离为（x1- ）·e，所以x1+ =（x1- ）·e，解得x1= ·；由x1≥a，得 ·≥a；整理得c2-2ac-a2≤0，即e2-2e-1≤0（e＞1），解得1＜e≤1+ 2。
三、焦点弦问题
定义3：经过圆锥曲线焦点且被圆锥曲线截得的线段叫作焦点弦。
这是一个非常重要的几何量，在历次考试中出现频率较大，且形式多样。
例2：已知双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的左焦点是F，过F且倾斜角为45°的直线与椭圆的两个焦点在y轴的不同侧，求椭圆离心率e的取值范围。
解：由题意及上述性质1（1）得|cosθ|> ，所以 > ，即e> 2。
例3：设直线l过等轴双曲线x2-y2=1，与双曲线于P、Q两点，O为坐标原点，若OP·OQ=-3，求|PQ|的值。
解：假设直线PQ过右焦点F（ 2，0），其斜率为k，则直线PQ的方程为y=k（x- 2）代入；双曲线方程有x2-k2（x- 2）2=1，整理得（1-k2）x+2 2k2x-2k2-1=0。
设点P（x1，y1），Q（x2，y2），
则由韦达定理x1+x2= ，x1·x2= ，
则y1·y2=k2（x1- 2）（x2- 2）
=k2[x1x2- 2（x1+x2）+2]
=k2[ － +2]
=- 。
因为OP·OQ=-3，所以x1x2+y1y2=-3，
所以 + =-3，
解得k2= 。
此时△＞0，又当PQ⊥x轴时，点P( 2，1)、Q( 2，-1)不满足条件。
由一般弦长公式：
PQ= 1+k2|x1-x2|
= 1+k2 （x1+x2）2-4x1x2
=6。
参考文献
[1]数学课程标准解读（实验）[M].北京师范大学出版社，2002，5-6。
[2]普通高中课程标准实验教科书（选修1-1）[M].北京:人民教育出版社，2004，45-46。
[3]玉邴图 新课标下焦点弦的教与学[J].文山师范高等专科学校学报，2009，22，（2），96-101。
[4]巨鹏 孙月芳 圆锥曲线焦点弦长的公式求法[J].内江科技，2010，（5），31-32。
论文作者:刘学英
论文发表刊物:《教育学文摘》2015年4月总第153期供稿
论文发表时间:2015-6-11
标签：双曲线论文; 焦点论文; 圆锥曲线论文; 定义论文; 准线论文; 距离论文; 直线论文; 《教育学文摘》2015年4月总第153期供稿论文;