拓展文化视野弘扬人文精神--论小学数学教材中数学文化因素的设计_数学论文

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      数学课程中要体现数学文化，弘扬人文精神，这已经提倡多年.但是，从现行小学数学教材来看，给人的印象是题材比较单一，局限于数学史实的介绍，其中又往往集中于某国某人“最早”使用或发现某些数学内容.因此，这方面还有很大的改进空间.

      一、基础教育中数学文化内容设计的基本目标

      通过九年义务教育乃至三年高中教育，学生应该具有怎样的数学文化修养，才能理解数学文化的主要内涵，树立数学文化相应的价值观呢？

      《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：

      数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中.为此，教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用，以及数学发展史的有关材料，帮助学生了解在人类文明发展中数学的作用，激发学习数学的兴趣，感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美.例如，可以介绍《九章算术》、珠算、《几何原本》、机器证明、黄金分割、CT技术、布丰投针等.

      这段论述中，最关键的一句是“帮助学生了解在人类文明发展中数学的作用”.把数学文化与人类文明的发展联系起来，不妨看作数学文化教学的总目标.具体说来，应该围绕以下的具体目标展开.

      1.数学是人类文明的火车头

      自古以来，人类文明总是和数学文明相伴而生的.数学往往起着先导作用，推动人类文明的发展.其中的要点有：

      ●人类四大文明古国（古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国）都有自己的数学文明.

      ●继承古埃及、古巴比伦文明的古希腊文明，其代表作《几何原本》影响深远，是西方仅次于《圣经》的印刷量最大的文化作品.

      ●《九章算术》是我国古代最重要的数学经典，也是堪与古希腊《几何原本》相媲美的世界数学名著，阐述了以算为主、以术为法的算法体系.

      ●近代工业文明，以牛顿等创立微积分为代表，开创科学黄金时代，触发产业革命.

      ●19世纪至20世纪初的现代文明，爱因斯坦建立相对论使用的数学工具是黎曼几何.流体力学方程、电磁学方程、弹性力学方程、热力学方程为机械、航空、航海、电报等现代工业文明打下基础.

      ●20世纪下半叶的信息时代文明，以数学家维纳、香农创立的控制论和信息论为标志.计算机技术的巨大发展，建立在一位数学家冯·诺依曼的设计方案之上.

      基础教育阶段，我们不可能让小学生真切地了解整个数学文明的巨大价值，但是应当用尽可能通俗易懂的故事，适度地将数学文明的价值告诉年幼的学子.

      2.数学文化是理性文明的标志

      经过几千年发展的人类文明，博大精深，美不胜收.其中数学文明独树一帜，成为理性文明的标志.基础数学课程应该让学生知道：

      ●古希腊数学理性文明的伟大，欧几里得《几何原本》所体现的理性文明的价值.

      ●欧氏几何与非欧几何的关系.非欧几何诞生的文化价值.

      ●数学是最严谨的一门科学.严格的演绎推理、精确的数字计算，使得它具有绝对可靠的真理基础.一门学科，只有用数学表达之后，才能称为严谨的学问.

      ●中国数学在演绎论证上的缺陷.中国的规矩几何学，有平行与垂直，但没有“角”的概念.

      ●徐光启和利玛窦翻译欧几里得《几何原本》的历史意义.

      同样，小学数学文化课程，不必也不可能将《几何原本》的公理体系作完整的介绍，但是做一些简单的介绍还是十分必要的.一个小范围的调查表明，现在中学生的数学文化修养停留在小学数学的认知水平上.例如：“三角形内角和定理用不着证明，量一量、拼一拼就知道了”；不知道什么是“欧氏几何”，甚至闹出“非欧几何就是非洲和欧洲的几何”的笑话来.对小学生讲一些有关数学文化的通俗易懂的故事，同样是我们应该努力的目标.

      3.西方数学与中华文明的进一步融合

      我国现今基础教育阶段所学习的数学课程，并不是中国古代数学的延伸，而是全盘从西方引进的.因此如何将中华文明与西方数学进行适度的整合是一个必须完成的课题.

      20世纪50年代，新中国成立初期，曾有一个西方数学本土化的高潮.将“勾股定理”、杨辉三角、刘徽的割圆术、祖冲之的圆周率等研究成果相继纳入数学教材.数列的极限采用“一尺之棰，日取其半，万世不竭”（《庄子·天下篇》）加以比喻.这是中华文明与西方数学的巧妙融合，至今成为经典.

      此后，我们又做了许多努力，陆续将中国古代数学的成就与西方数学相整合.例如，将十进位值制计数法、分数、小数、负数、方程、鸡兔同笼、算盘等一系列数学史知识纳入教材，取得了良好的成效.但是我们还可以进一步开发，将中华文明更深入地融入基础教育的数学教材中.例如：

      ●中国古代数学文明，长于计算和实际应用，以国家管理数学和算法体系的呈现为特征.

      ●面积计算的出入相补原理.

      ●《道德经》与自然数公理.

      ●古诗词意境与数学思想方法.

      后面我们还会进一步阐述.

      二、A版小学《数学》教材中“你知道吗”栏目内容一览

      

      

      

      以上共65项.其中涉及中国最早、最先使用的内容占21项，外国最早、最先使用的内容有15项，另外属于数学知识介绍的有20项，其他11项.（注：其中带下划线的内容分别计算了两次）

      从这一简单的统计数据可以看出，教材编写者的意图在于突出中国古代数学在算筹、算盘、货币、小数、分数、负数、圆周率等方面的成就，旨在弘扬中华数学文化，提升民族自豪感.同时也介绍早期的埃及数学，以及乘法、除法运算符号和大括号、中括号、小括号的最先使用者，目的是了解一些国外数学文化.除此之外，大量的则是数学名题、趣味数学的介绍，属于扩充知识的范围，兼及数学文化的阐述.

      三、从人类文明进步的高度看教材中数学文化的不足

      如前所述，数学文化的总目标是要帮助学生了解在人类文明发展中数学的作用.从这样的高度来看，上述教材中的数学文化内容就显得缺乏整体设计，视界比较狭隘.

      首先，从人类文明发展的历史来看，我们更需要介绍人类文明的全景及其相应的数学文明特征.在小学阶段，可以着重介绍古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国的数学文明.这就是说，我们不要简单地以“最早”或“第一个”那样的方式加以陈述.具体说来，可以有以下一些重点.

      ●传世的记载有数学知识的文献有古埃及纸草书（公元前1900年前后），古巴比伦泥版文书（公元前2000年以前），印度的树叶经卷（公元前8世纪一公元前2世纪），中国的竹简（公元前8世纪前后）.中国的竹简比较晚.

      ●埃及的尼罗河泛滥，造成土地测量的需求，因而产生几何学.中国《九章算术》的第一章是“方田”，也是土地面积的测量.精确丈量土地是国家税收的依据.中国古代数学堪称“国家管理数学”.

      ●人类数学文明的进步，要更多从社会发展的角度加以阐述，至于加减乘除运算符号是谁第一个使用不大重要.例如对于“1659年，瑞士人第一次用÷表示除法”，知道不知道实在无关大局，删去亦不可惜.

      其次，要全面、准确地介绍中国古代数学文明.现行教材中一再提出中国古代数学曾在世界上最早使用十进位值制计数法，最早使用负数，最早使用小数，甚至如祖冲之的圆周率结果领先世界几百年.这样给人的印象，似乎整个中国古代数学文明都是最早的.然而这是不对的.四大文明古国的数学文明中，古代中国的数学出现得比较晚，但是独立发展，有自己的特点，而且是世界上唯一能够传承到今天的数学文明.

      中国古代数学文明的优点是崇尚应用，尤其能用于管理国家.此外，中国古代数学长于计算，计算精确，所以能出现祖冲之那样的优异成果.但是，中国古代数学也有缺陷，如缺少演绎推理，尤其在几何学上落后于古希腊的欧几里得几何学.中国几何中只用平行、垂直，却连“角”的概念都没有，更谈不上角的度量、角的相等了.西方数学传入中国，是从徐光启、利玛窦翻译《几何原本》开始的.人们普遍认为，这是中国近代数学文明的开端.

      再次，要适当地介绍古希腊的理性数学文明.我们高兴地看到在上述A版教材五年级下册第22页介绍了“欧氏几何”：

      几何学是数学学科的一个重要分支，它源于土地测量等实际需要.古希腊数学家欧几里得被称为“几何之父”，他的著作《原本》在数学发展史上有着深远的影响.该书在17世纪初传入我国.

      这一介绍打破了我国小学数学不谈古希腊几何学的惯例.我觉得，数学文化的内容不求学生全懂，只要能帮助学生有所了解就行.我们不妨加进去一些话，多说几句，形成一个故事.

      古希腊数学家欧几里得的著作《几何原本》，从一组大家公认的基本事实（公理）出发，推演出一系列正确的定理.举例来说：我们可以根据“连接两点之间的各种线中以线段为最短”这样的公理，推出以下的论述是正确的：“三角形的两边之和大于第三边.”理由是，若三角形的一边是AB，那么AC+CB也是连接两点A和B的折线，根据上述公理，AC+CB＞AB.

      《几何原本》研究的这种几何学，中国古代数学中没有涉及.17世纪徐光启和利玛窦将它翻译成中文，这通常被看作是中国近代数学文明进步的开端.19世纪俄国数学家提出了一种新的几何学，和欧几里得的几何学不一样，叫作“非欧几何”.

      在小学数学中做这样的铺垫，可以为今后中学数学的理解打下良好的数学文化基础.

      四、以更广阔的视野，多角度地阐述数学文化

      如前所述，我们应当跳出“中国数学最早”的局限，全方位地阐述世界数学文明.以下是一些设想和建议，供教材编写者参考.

      1.中外数学文明的交流

      【案例1】上海外滩大钟上的数字是怎样记数的？

      现在世界上通用、中国最早使用的十进位值制计数法，采用源于古印度的阿拉伯数字.那么，今天还有没有用于“非位值制计数”的数字呢？有，在一些钟表上可以看到罗马数字.如上海外滩海关大楼上的大钟将10、11、12依次写成X、Ⅺ、Ⅻ.这种计数方法不是位值制计数法，用于计算时非常不方便，但是有艺术价值，所以被人们适当地采用.

      【案例2】中外度量衡制度的接轨.

      度量衡制度涉及人们的日常生活、经济交往和政令的统一.秦始皇统一六国之后，就大力推行统一的度量衡制度.我国传统语文中就有许多有关度量衡的词句，如“半斤八两”“升斗小民”“张飞使用丈八蛇矛”等.度量衡制度历朝历代都不相同.辛亥革命以来，我国的度量衡制度逐步和世界接轨.

      1929年，当时的国民政府颁布规定，使得中国的度量衡适应国际公制.1米=3市尺，1千克=2市斤.1993年开始，我国全面使用米（长度）、克（质量）、升（体积）等国际上大多数国家采用的公制单位.但是，世界上至今并未统一，如英、美各国仍在使用英尺、英里、加仑等非公制计量单位.

      关于“大数”的读法，我国还没有与国际接轨.在上述A版教材四年级上册第6页有如下评述：“生活中我们有时会看到三位一分节的大数.这与使用英语的国家（如英国、美国等）以三位分级读数的方法有关.”这样写是不够的.不妨作如下补充：

      我国传统上将大数以四位一节分段，即以“万”为一节.这和国际上通用的三位一节不同.但是，我国度量衡制度已经采用了千克、千米、毫升这样的体系，于是就会出现两种不同的合理的读法.例如：

      ●田径比赛中的一万米赛跑，也可以读作十千米赛跑.

      ●一辆卡车载重10吨，也可以读作载重一万千克.

      随着国际合作交流的日益扩大和深化，中国在度量衡制度、大数读法等数学文化方面，还会不断与国际接轨.

      2.数学思想方法的阐述

      【案例3】双杠是平行线吗？

      教材里在引入平行线概念时，总会有一幅双杠的照片配在旁边.因此，小学生普遍认为“双杠就是平行线”.这种观念一直带入初中，形成文化负担.在小学数学中，应该有一定的抽象意识.教材要在文化层面说明，双杠可以看作平行线的现实模型，但双杠不是平行线.几何学上的直线没有粗细、是无限长的，在头脑里抽象地呈现着.

      【案例4】土豆和圆柱的体积.

      小学数学在文化层面，应该对数学方法和物理学方法有所区别.土豆体积的测量，是用装满水的方形器皿，通过放入土豆使水溢出，然后用等量替换的方法，将土豆体积转化为长方体的体积计算.这是一种物理学方法.数学方法则是从单位正方体出发，将土豆切成更小的正方体方块，以块数之和近似地确定其体积，然后取极限获得体积.同样，圆柱的体积也可以用物理的方法求出来.但是圆柱的体积V还可以用数学方法求得，即用圆柱底面的圆半径r和高h表示为一个数学公式：

.物理学方法简单易行，但只能求得圆柱体积的数值；数学方法则进一步能给出一个计算公式，表达圆柱体的体积与底面圆半径和圆柱高度之间的相互关系.

      【案例5】精确与近似，楷书与草书.

      数学是一门十分严谨的科学，成为精确科学的典范.例如，圆周率π的计算，可以精确到小数点以后几百位、几千位、几万位.有时候，根据需要也可以使用近似数，采用估算方法.但是，精确计算是第一位的，估算要建立在精确计算的基础上.这正如学习书法，楷书是基础，行书和草书要建立在楷书的基础上.

      晚近以来，过分强调估算却又不讲精确度的做法，让人深感忧虑.

      3.更深入地反映中华文明中的数学内涵

      前曾提及，西方数学和中国传统文化之间的融合，还有许多工作要做.这里给出几个案例.

      【案例6】自然数的认识.

      在小学里认识亿以上的大数之后，要形成自然数的概念.自然数是从国外引进的，但是在中国古典文献《道德经》中有独到的阐述.教材里的数学文化栏目里，不妨这样写：

      中国老子的著作《道德经》说：道生一，一生二，二生三，三生万物.从数学上看，就可以将“道”看作0.由0生1，1生2，2生3，一个一个地生，不断地生，生到1万、1亿……好像“不尽长江滚滚来”，生生不息，没完没了，这就是自然数.

      这样的解说，小学生应该能懂.

      【案例7】认识算盘.

      认识算盘，是2011年版数学课程标准对中国古代数学传统的又一次回归.现行教材里都图文并茂地展示了中国算盘，并用来表示多位数.但是其中有一个共同的缺点，即没有说明算盘的优点.对于算盘为什么能成为一种计算工具，建议做一点说明，或写进教师教学用书里.

      ●2013年12月5日，联合国教科文组织宣布：将“中国珠算：运用算盘进行数学计算的知识与实践”列入人类非物质文化遗产名录.

      ●算盘是10根手指的延长和升华.儿童最初都用10根手指进行自然数的计算.后来10根手指不够用了，西方用“10根小棒一捆”“10颗小珠一串”之类的算具来帮忙.

      ●中国算盘的一个显著特征是用上珠表示5.这是一个伟大的创造，相当于用一个拳头代表5，它为自然数的组合、分拆、重构提供了丰富的直观背景.

      ●在西方计数器上，人眼难以区分8颗珠还是9颗珠叠在一起，但是一旦使用一个上珠代表5，就很容易区分了.

      

      ●珠算杜绝“计算器”式的黑箱.中国珠算是一种机械化的算法过程.

      【案例8】游牧民族的帐篷——蒙古包.

      在有关圆柱和圆锥的单元里，请列入我国许多少数民族使用的帐篷.它的基本形状是圆柱和圆锥的组合.

      作为多民族国家，我们的教材里反映少数民族的内容实在太少了.让我们更多地关注这一课题.

      【案例9】抽屉原理.

      现在的小学教材中列入了抽屉原理，这是一个进步.它是一个纯粹的存在性定理.在人文意境上，存在性定理最美的描述，莫过于贾岛的诗句：

      松下问童子，言师采药去.

      只在此山中，云深不知处.

      这首诗所体现的那种难以名状的确定性，简直就是为数学而作的.隐者在哪里？“云深不知处”.但是他确实“只在此山中”.这正是纯粹的“存在性”数学问题的意境.

      【案例10】对称与对联.

      数学里有对称，文学里有对仗，二者异曲同工.它们的共同点是：变中有不变，即通过运动变换到另一半之后，保留着一些不变的内容.

      轴对称图形，沿对称轴折叠过去，图形方向变了，但是线段的长短、角度的大小都没有变.

      一副对联，上联“明月松间照”，下联“清泉石上流”，字词都变了，但字数、词性、景象都维持着不变.如“明月”对“清泉”，形容词对形容词，名词对名词，都是自然景色.

      变中有不变，才是我们要探究的规律.

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