弹道导弹突防效能评估的马尔科夫模型*
齐长兴，毕义明，李 勇
（火箭军工程大学，西安 710025）
摘 要： 弹道导弹突防作战时面临着导弹防御系统多层拦截现状，突防每一层导弹防御系统时均可以看为独立过程，导弹突防状态具有随机性和无后效性等特点，导弹突防临近两层防御系统的过程近似为马尔科夫过程。将马尔科夫链转移概率引入突防多层导弹防御系统时导弹突防效能评估中，构建基于马尔科夫链的导弹突防效能评估模型，得到成功突防弹道导弹数量期望值及各随机状态的概率分布。分析结果表明，该方法简单易用，具有一定的应用价值。
关键词： 马尔科夫链，弹道导弹，突防效能，效能评估
0 引言
弹道导弹具有杀伤力巨大、突防能力强、难以防御等特点，是现代战争中能够发挥决定性作用的杀手锏武器。为了防御弹道导弹的威胁，美国、俄罗斯、以色列等军事强国都在积极研究和部署弹道导弹防御系统。其中，美国的弹道导弹防御系统（BMDS）是比较成熟的，已经形成了由中段拦截系统和末段拦截系统构成的多层弹道导弹防御体系［1-3］。
弹道导弹突防作战效能评估是当前研究的一个重要方向，通过突防效能评估可以有效支撑弹道导弹研制和改良。目前，国内外对导弹突防效能评估研究已经取得了较大的进展，见文献［4-14］。
弹道导弹攻防作战中，存在许多随机现象，导弹突防时的一些随机现象无法很好地表现出来。本文综合考虑弹道导弹突防作战时面临的弹道导弹防御系统多层拦截的现状，在进行上一层防御系统效能评估的基础上，再进行下一层的突防效能评估。导弹在突防每一层导弹防御系统时均为独立过程，同时弹道导弹突防时突防状态具有随机性和无后效性等特点，经过相邻两层防御系统间的突防过程近似为马尔科夫过程，可以用马尔科夫理论进行多层防御系统的突防效能评估［15］。本文将马尔科夫链转移概率引入突防多层弹道导弹防御系统时导弹突防效能评估中，构建基于马尔科夫链的导弹突防效能评估模型，用马尔科夫链描述弹道导弹突防多层防御系统的作战过程，突破一层防御系统后的状态之间用状态转移概率进行关联。通过实例进行验证，该方法既可以反映弹道导弹突防的突防概率和期望值，也可以反映不同状态的概率分布。
1 弹道导弹突防效能评估的马尔科夫链模型
分层防御是针对弹道导弹的飞行阶段特点，采用多层拦截模式，使弹道导弹在飞行过程中面临多重风险。对于多个独立的防御系统，构成的分层防御体系，能够通过多次拦截实现高的拦截效能。分层防御中的“层”指可以进行独立“观察-射击”的组成部分，每层有一枚或多枚拦截弹可拦截来袭目标。
为便于建模分析，在弹道导弹突防效能评估马尔科夫链模型中需要进行以下假设：
渭干河灌区经过节水改造后，灌溉用水利用率提高了20%以上，且灌区内超过95%耕地均能得到有效灌溉，经济效益和社会效益显著，得到了当地农民的强烈支持。节水改造工程是当前新疆地区很多灌区面临的共性问题之一，因此必须总结成功经验，结合项目特点，尽量降低投资，保持项目的经济性合理。
1）每个交战过程都是独立进行的；
2）每次拦截过程都是相互独立的；
3）在弹道导弹防御系统的每个层之间没有进行交互干涉；
4）支持子系统可以满足防御需求。
1.1 基本马尔科夫链模型
马尔科夫链模型［16］可以表示为一个二元组：
。
I是所有可能状态的集合，用Ii、Ij表示系统的状态；P是系统状态转移矩阵，对有限状态空间
，其一步状态转移概率矩阵如下：
多枚导弹突防导弹防御系统时，第i层防御系统的拦截矩阵为：
马尔科夫链的初始概率分布
为：
式中，
。
在状态空间有限的情况下，n步状态转移概率矩阵 P（n）为：
式中，
。
根据概率论可得，在n时刻绝对概率分布
为：
，仅由初始概率分布和转移概率确定。
1.2 单枚导弹突防多层防御系统马尔科夫链模型
在弹道导弹突防过程中，每一次的交战过程都可看作是一次伯努利试验，多个交战过程构成了一次突防，一个导弹防御层中所有的突防形成了一个马尔科夫转移矩阵，整个导弹突防过程是一个独立时间马尔科夫过程。
弹道导弹攻防模型中导弹的状态用导弹突防数量表示，马尔科夫攻防模型中所有来袭向量均为随机概率向量，用以表示数量或状态的概率分布，在进行模型求解时需要确定弹道导弹攻防对抗的初始状态向量。
以一枚导弹突防两层导弹防御体系为例，每一层防御系统仅一枚拦截弹对一个目标进行拦截，导弹突防马尔科夫过程如图1所示。
图1 简单多层防御马尔科夫链模型示意图
弹道导弹的状态用成功突防后的数量表示，对单个目标，其可能的状态分别为0、1，“0”表示不是威胁的状态，“1”表示目标存活状态（威胁），因此，其状态变换共有3种情况，分别是0→0，1→0，1→1，其中，1→0表示来袭目标被拦截，1→1表示来袭目标未被拦截。
状态转移概率由拦截弹的单枚毁伤概率pi决定，且单枚导弹的生存概率qi=1-pi。
r枚弹头中有j枚被识别为诱饵的概率为
：
导弹通过第一层的生存概率矩阵为s（1）：
。
通过第一层后的生存概率矩阵即为下一层的输入向量，
。
第i层的转移状态向量矩阵为：
。
导弹通过m层防御后的生存概率矩阵为：
。
1.3 多枚导弹突防多层防御系统马尔科夫链模型
多枚导弹突防导弹防御系统时，弹道导弹最大来袭数量为n枚，来袭导弹数为r时，通过i层导弹防御系统后有c枚成功突防的概率为prc，服从二项分布，其拦截矩阵为一个下三角矩型阵。
初始输入向量为：
表示来袭导弹为i枚时的概率i=（0，1，…，n）。n枚来袭导弹时，导弹数量向量N为
。
Assuming that the four observables obtained by Satellite B are,q1,and q2,the models for the pseudo-range observables can be given by
N为所有状态的数量，P中所有元素都是非负的，
，且
。
式中，
为拦截弹规则，即用于规定拦截一个目标时需要开火的次数，如一拦一时fd=1，二拦一时fd=2。
导弹通过多层防御后的生存概率矩阵为：
。
以上两种情况发生的概率为：
导弹通过第m层导弹防御系统时，期望突防数量为：
。
1.4 诱饵掩护下，导弹突防效能分析
多枚导弹突防导弹防御系统时，弹道导弹最大来袭数量为n枚，来袭导弹数为r时，包含j个诱饵时，通过i层导弹防御系统后有c枚成功突防的概率为prc，服从二项分布，其拦截矩阵为一个下三角矩型阵。
弹道导弹突防过程中往往会伴随着诱饵等假目标，如导弹防御系统不能准确识别目标的真假，将会提高导弹的突防成功率。在导弹防御系统进行目标识别时，共有4种情况：弹头被准确识别为弹头；弹头被识别为诱饵；诱饵被识别为弹头；诱饵被识别为诱饵。
工程造价最终结论的得出是一个关于金钱的数字，在这个经济高度发达的时代，经济利益对人们的影响虽然不是完全但也是巨大的。因此，工程造价的计算、估计所依据的信息数据的范围一定要是最为广泛和全面的，要确保将所有可能的影响因素都考虑到位。在大数据之下的计算机技术和系统对于数据信息的所有可能性的计算已经达到目前最高水准。因此，对于工程造价而言这无疑是一个福音。计算的越多，工程造价的层次和完整性就越发突出。
在诱饵掩护作用下，导弹突防矩阵应综合考虑弹头被识别为诱饵的矩阵Dww，和转移概率矩阵Aw，考虑到诱饵作用和识别误差影响。r枚弹头中成功突防c枚的概率prc依赖于两个独立事件。
山东省济宁市鱼台县王庙镇棉花种植面积有5万多亩，郝集村的刘磊今年种植了不少亩棉花，为了准确把握棉花各生育期生长特点及需肥规律，验证云天化复合肥在棉花种植中所展现的效果是否能满足植物生长所需的营养，待试验结束后对照试验用肥量、用肥成本、用肥肥效、棉花产量等综合因素下，云天化复合肥同其他厂家的肥料的优缺对照，云天化工作人员选择了刘磊家的棉花作为对照试验的样本，想通过田间试验，总结出一套适合棉花生长全程营养解决方案，为云天化复合肥做好技术服务指导，提高云天化复合肥的影响力。
事件1：r枚弹头中有j枚被识别为诱饵，因而未被导弹防御系统拦截，能够成功突防；
在烤烟栽培中，要严格控制氮肥施用量，不可因缺氮而加剧对烤烟的伤害，从而严重影响正常的生理代谢，使产量和品质降低；也不可过量施用氮肥，使与土壤中的其他养分比例失调。在赣州信丰烟区试验条件下，施纯氮135 kg/hm2时，自育烤烟新品种GZ66的生长发育较好，上中等烟比例、产量、产值及均价最高，烟叶化学成分协调，可以满足优质烟叶生产的要求；自育烤烟新品种GZ90在施纯氮135 kg/hm2时，生长发育较好，产值最高，烟叶化学成分协调，在施纯氮120 kg/hm2时均价和上中等烟比例最好。综合来看，自育烤烟新品种GZ66和GZ90的最佳施纯氮量为135 kg/hm2。
常规组与实验组分别应用传统护理措施与心理护理级健康教育。传统护理措施以临床检查、健康宣教以及医嘱执行为主。实验组在常规组基础上应用心理护理及健康教育，具体措施如下：
事件2：被拦截的弹头中，有c-j枚弹头成功突防。
[4]百度百科“瑞士”词条，https://baike.baidu.com/item/%E7%91%9E%E5%A3%AB/131482？fr=aladdin
按正常工作条件选择电气设备时，需要考虑电气设备的安装环境条件以及相关电气设备要求。包括电气装置所处位置、环境温度、防火防爆等要求，此外，还包括电气装置对电流、电压等方面的要求，最后还需对其进行短路校验。
初始输入状态向量
，表示仅有一个威胁目标（弹头或导弹），第一层防御系统的转移状态向量矩阵为：
。
式中，pwd为弹头识别为诱饵的概率，pww为弹头被识别为弹头的概率。
1.3 统计学处理 采用SPSS17.0软件进行统计分析。计量资料经检验呈正态分布，以表示，两两比较采用t检验。绘制血浆Hsp90α受试者工作特征(receiver operating characteristic，ROC)曲线，以评价血浆Hsp90α在肺癌临床诊断中的效能，以P<0.05为差异有统计学意义。
其中，fd为射击准则。则r枚弹头中成功突防c枚的概率prc为：
被拦截的弹头中，有c-j枚弹头成功突防的概率为
：
多枚导弹突防导弹防御系统时，第i层防御系统的拦截矩阵为：
式中，
。
要改进造林方法，应把减少人工造林、促进人工林自然更新和重视森林自然更新三项任务结合起来，拓宽造林渠道。在退耕还林过程中，存在着许多认知误区，如：天然林不如人工林，阔叶林不如针叶林等。这些误差导致单向造林、阔叶林物种减少、采伐后相应树种数量减少、不均匀甚至稀少的情况。也就是说，树种的结构是不合理的。因此，人工造林、人员促进森林自然更新与自然更新的有机结合，可以补充树种，有利于生物多样性和生态平衡；鼓励多样化造林，合理规划森林资源。鼓励企业投资林业建设，加大扶持力度，提高天然林生产力；此外，还要对职工进行技术知识指导，调整林木结构，积极改变造林方式，造林方法应创新和更新。
2 弹道导弹突防效能评估案例分析
本文以弹道导弹突防双层弹道导弹防御系统为例，采用建立的模型进行弹道导弹突防效能评估，为了便于计算进行一下假设：每次拦截时，拦截策略为每枚拦截弹拦截一枚来袭导弹（弹头），不存在拦截弹数量不足的问题。
LED光质对‘黄皱叶’玉簪的增殖具有显著影响。其中,3R7B条件下的增殖效果最好,7R3B增殖效果最差。这一结果与Kwon等[15-17]学者的研究结论较为一致。另外,本试验结果表明,在同样光质的情况下,高强度的光照与低强度光照相比,明显有利于组培苗的增殖。其原因可能是‘黄皱叶’玉簪属于黄绿色叶系,而黄色、绿色叶片的玉簪对光照敏感,在光照50%以上的条件下生物量积累较多[18]。由此可知,‘黄皱叶’玉簪的增殖适宜生长在光照充足的条件下,适当的强光条件能促使组培苗增殖分化。
作者简介：李蓉，女，山东聊城人，烟台大学，外国语学院韩国语教研室，教师，讲师，本科学历，研究方向：韩国语言文化。
案例1：突防弹头10枚，诱饵0，弹头准确识别概率1，第1层单发拦截概率0.8，第2层单发拦截概率0.8，射击准则1拦1。成功突防的弹头的概率分布如表1所示。
案例2：突防弹头10枚，诱饵10，弹头准确识别概率0.9，弹头识别为诱饵概率0.1，诱饵识别为弹头的概率0.1，第1层单发拦截概率0.8，第2层单发拦截概率0.8，射击准则1拦1，成功突防的弹头概率分布如表2所示。
案例3：不同来袭弹头数时，至少一枚成功突防（无诱饵干扰）。
突防弹头n枚，诱饵0，弹头准确识别概率1，各层单发拦截概率0.8，射击准则1拦1，至少一枚成功突防的概率分布如表3所示，突防弹头期望值如表4所示。
案例4：不同来袭弹头数时，至少一枚成功突防（有诱饵干扰）。
取1号试样混匀，按照GB/T5509－2008方法依次进行测定仪分离和分离板分离，准确称取回收的金属物为0.0048g。用同样的方法，2号试样回收的金属物为0.0032g，3号试样回收的金属物为0.0035g。
突防弹头n枚，诱饵10，弹头准确识别概率0.9，各层单发拦截概率0.8，射击准则1拦1，至少一枚成功突防的概率分布如表5所示，突防弹头期望值如表6所示。
弹头通过导弹防御系统后突防成功的弹头分布概率对比图见下页图2～图4所示。
表1 成功突防的弹头概率分布
表2 成功突防的弹头概率分布
表3 至少一枚成功突防的概率
表4 多枚来袭弹头时成功突防弹头期望值
表5 至少一枚成功突防的概率
表6 多枚来袭弹头时成功突防弹头期望值
图2 成功突防的弹头概率分布图
至少一枚弹头成功突防的概率对比图：
图3 成功突防的弹头概率分布图
图4 突防弹头期望值
在案例1和案例2中，当进攻弹头经过弹道导弹防御系统双层防御后，弹头突防概率迅速降低，弹道导弹突防多层防御时面临严峻的威胁。在考虑诱饵干扰作用后，进攻弹头全部被拦截的概率降低，且突防概率分布曲线整体向右移动，弹头突防效能整体提升，与实际情况相符。
案例3和案例4中，当进攻弹头数量变化时，对至少有一枚弹头成功突防的概率和平均突防弹头数（期望值）进行对比分析，随着弹头数量的增加，至少一枚弹头成功突防的概率增加，且有诱饵干扰的作用下突防概率和期望值均高于无诱饵干扰时，突防效果更好，说明通过进行诱饵干扰可以提高弹道导弹的突防成功率。
3 结论
弹道导弹的自身性能是影响其突防能力的主要因素，此外，进攻导弹的突防战术运用，弹道导弹防御系统的拦截能力、拦截策略等对弹道导弹突防效能有明显的影响。
本文通过建立弹道导弹突防多层弹道导弹防御系统的马尔科夫模型，进行弹道导弹突防效能评估，通过分析表明，该模型应用简单，可以有效地对突防多层弹道导弹防御系统的导弹突防效能进行评估，为弹道导弹突防作战决策提供理论支持。但是模型构建时，对一些因素进行了简化，下一步还需要对模型进行进一步地完善，综合考虑各方面的因素影响。
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Using Markov Model to Evaluate Penetration Effectiveness of Ballistic Missile
QI Chang-xing，BI Yi-ming，LI Yong
（The Rocket Engineering University，Xi’an 710025，China）
Abstract： While ballistic missile penetrates ballistic missile defence system （BMDs），it is face with multi-layered defence，and the penetration process of ballistic missile is independent in each defence layer.The penetration state is characteristic of randomness and non-after effect property.The penetration process between adjacent defence layer is markov process，this paper put markov transition probability into ballistic missile penetration effectiveness evaluation，constructs penetration effectiveness evaluation model based on discrete markov chain，and gains the expected value and the probability distribution of successfully penetrated missile.The research result shows that the method is easy to use and the model is effective.
Key words： markov chain，ballistic missile，penetration effectiveness，effectiveness evaluation
中图分类号： TJ761.3
文献标识码： A
DOI： 10.3969/j.issn.1002-0640.2019.02.015
引用格式： 齐长兴，毕义明，李勇.弹道导弹突防效能评估的马尔科夫模型［J］.火力与指挥控制，2019，44（2）：71-75.
文章编号： 1002-0640（2019）02-0071-05
收稿日期： 2018-02-16
修回日期： 2018-04-13
*基金项目： 国家社会科学基金（16GJ003-144）；军队“十三五”装备预研基金资助项目（304050302）
作者简介： 齐长兴（1985- ），男，山东茌平人，博士研究生。研究方向：作战效能评估。
毕义明，男，教授，博士生导师。
Citation format： QI C X，BI Y M，LI Y.Using markov model to evaluate penetration effectiveness of ballistic missile［J］.Fire Control&Command Control，2019，44（2）：71-75.