典型曲解与有效教学促进分析--关于2014年“苏州数学卷”第29题在中学入学考试中的评分报告_二次函数论文

析典型错解，促有效教学——2014年中考数学苏州卷第29题阅卷报告，本文主要内容关键词为：苏州论文,年中论文,典型论文,数学论文,报告论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      笔者参加了2014年苏州中考数学第29题的阅卷工作，此题满分10分（三小问的分值分别为2分、5分和3分）.此题难度并不大，但大市平均得分仅为2.56分.这个数据让我们很震惊，不得不引起我们的高度重视，因为学生在答卷上暴露的问题正是我们教学效果的真实写照.除了这题所处的位置不占优势外，我们更应该关注考生出现的各种典型错解，剖析产生错解的原因，进而反思我们的教学，努力提高教学的有效性.

      一、试题呈现

      题目 如图1，二次函数

（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C（0，-3），点D在二次函数的图象上，CD//AB，连接AD.过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE.

      （1）用含m的代数式表示a.

      （2）求证：

为定值.

      （3）设该二次函数图象的顶点为F探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.

      

      二、典型错解分析及建议

      1.第（1）问的典型错解分析

      第（1）问大部分考生能做对，一部分考生看到此二次函数中含双参数，不敢下笔.还有一部分考生在计算上出现了失误，大致有以下几类.

      

      分析 这两种错解是由学生的丢三落四、粗心大意引起的过失.

      错解3 化简a(0-0-3

)，结果得出3a

=-3.

      分析 此错解因没弄清括号里的运算是整式的减法运算，按运算法则应从左往右算，误以为0无关紧要，所以忽略不看，括号里的符号“负负得正”.这是由学生慌张急躁引起的失误.

      以上三种错解都属于心理性错误，即指学生虽具备解决问题的必要的知识性技能，但由于顺序心理、滞留心理、潜在假设，以及看错题、丢三落四、粗心大意、慌张急躁等非智力因素引起的失误.

      错解4 代入并化简得到a

=1，继而得到诸如

之类的荒诞结论.

      分析 此错解是不等价变换，属于逻辑性错误.产生这类错误的原因有多种，可能是粗心造成的笔误，也可能是与求a的倒数发生混淆.

      

      分析 此错解属于知识性错误.产生这种错解的原因是概念不清，不知道“用含m的代数式表示a”这句话的意义是要写成“a=…”的形式，等号右边只能是关于m的代数式.结果恰好写反了.

      教学建议 首先，对于此小问不敢下笔的考生，要么是缺乏做压轴题的勇气，要么是缺乏数形结合的思想，不知道点在函数图象上等价于点的坐标满足该图象的函数解析式.针对这部分学生，在平时的教学中要多加鼓励，培养他们敢于动笔，敢去尝试解决压轴大题中的某一小题，不要全盘放弃.而我们在讲解这类压轴题时，要力争让学生能抓住问题的本质，做到会一题通一类.以此题为例，在审题时，表面看这个函数解析式是含双参数的，但结合过C（0，-3）就意味着a和m有关系，所以实质上是单参数函数.而得出a=

后，我们不妨代入二次函数解析式得

，观察这个解析式的特点，我们又有何发现呢？这时学生会发现令y=0，再十字相乘可求出抛物线与x轴的两个交点坐标（横坐标分别是-m和3m）.进一步，我们还可以引导学生去发现：当抛物线上的点横坐标是含m的单项式时，其纵坐标恰好是常数.经过这样的训练，想必下次再遇到双参数问题，学生就不会望而生畏了.只要我们在教学中能够充分挖掘教学素材，引导学生去观察、去思考，他们分析问题的能力、抓住问题本质的能力、面对压轴题的勇气一定会逐步提升.

      其次，对于运算出错的学生，我们一方面要加强概念教学，重视基础知识，提高学生的运算能力，纠正学生的知识性错误；另一方面，对于像粗心这样的非知识性错误，问题出在解题的不良习惯上.因此，我们在平时的教学中要重视解题细节的指导，重视学生良好学习习惯的培养，重视学生学科素养的提升.

      2.第（2）问的典型错解分析

      

      分析 此错解是虚假论证，属于逻辑性错误.事实上，△ADC与△EAB是不相似的，它们只有一组角对应相等，即∠ADC=∠EAB.怎样论证其他两组角不对应相等呢？事实上，利用对称性我们容易证明四边形ACDB是等腰梯形，从而∠ACD=∠BDC.虽有CD//AB，但因E，B，D三点不共线，所以∠BDC≠∠EBA，故∠ACD≠∠EBA.根据三角形内角和定理知第三组角也不相等.产生这种错解的原因是学生知道要证线段的比值是定值，可考虑证这组线段所在的三角形相似，进而将这组比值转化，并且他们先入为主地以为只要连接AC，EB，△ADC和△EAB就是现成的相似三角形.这对三角形从表面上看很像是相似的，于是学生在证第二组角相等时就放松警惕了，图中的折线EBD很容易被误当成线段了.在我们平时的教学中也不乏出现过类似误把折线当线段的错解，能够进行错题整理的同学想必不会再犯这样的错误.

      错解2 没有定量的计算，而是试图通过定性的分析说明

是定值.大体思路如下：因为m是常数，所以A，D是抛物线上的定点，AD，AE是定直线.又因为抛物线是确定的，从而E是定点，从而线段AD，AE的长是定值.

      分析 此错解属于知识性错误.根源在于对参数m的认识不清.m是常数，意味着m取定了某个值，它就不会改变；但是m究竟取什么值，这是不确定的，不同的常数m对应的二次函数是不同的，以上提到的所谓的定点、定直线、定抛物线其实都不确定，会随着m取值的不同而改变.出现这类错解的原因在于学生对含参数的函数的认识不够，如果在平时的教学中遇到含参数的函数，教师能去揭示该含参数的函数的本质，那么学生对它的认识会更清晰，也就不会犯这样的错误.就怕教师在讲的时候没有揭示问题的本质，那么学生也就只见树木不见森林了.

      教学建议 以上两种错解出现得相当频繁，这势必引起我们的高度重视.虽然这两种错解截然不同，但都反映了相当一部分学生在做几何证明题时很随意，抱着“差不多就行了”的心理，导致证明不严密，推理不合逻辑的错误.针对这一情况，我们不仅要在几何教学的起始阶段注重培养学生严密的推理能力，而且在教学中要适时地把握这样的案例，不妨把这些典型的错解呈现给学生，让他们去想一想、议一议、说一说，教师只要在一旁稍加引导和总结.这样达到的效果比教师开门见山讲授错因要好得多，也比教师纯粹教会他们这道题的正确解法要好得多.

      3.第（3）问的典型错解分析

      由于第（2）问没能正确解答，第（3）问势必受到“牵连”.大多数做了第（3）问且做错的考生都是因为第（2）问的定值求错了，在一个错误的前提下完成了第（3）问真是吃力不讨好，浪费了宝贵的时间和精力却很难得分.苏州中考压轴题层层递进的设计思路也再一次提醒我们要踏踏实实地走好每一步，努力做到“会就对”，不要让自己尝自己算错的恶果.

      三、试题正解

      1.第（1）问正解

      根据已知条件“二次函数

的图象与y轴交于点C（0，-3）”，只要将C（0，-3）代入函数解析式即得a，m的关系式，最后再写成用m表示a的形式：

.

      2.第（2）问正解

      分析 要求线段比值，一种想法是分别表示出这两条线段长，再求比值；另一种想法是构造相似三角形，将这组比值转化.

      

      3.第（3）问正解

      

      方法1 设G（x，0），由题意得二次函数图象顶点F（m，-4）.

      ①若GF是直角边，因为AE＞AD，所以AE为斜边，由勾股定理得

，即得

      

      所以G点的横坐标为-3m.

      ②若GF是斜边，由勾股定理得

，即得

      

      所以G点的横坐标为

      

      由（2）得

，故AD:GF:AE=3:4:5.所以，以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点的横坐标为-3m.

      分析 方法2是参考答案提供的方法，在笔者及周围同事所阅的两万多份答卷中无一例如此作答，笔者至今仍没有完全揣测出命题者是如何想到连接FC的.莫非他早就发现CF//AD，而点D（C），F，E的纵坐标的绝对值之比又恰好是3:4:5，如此一来，△ADM∽△GFH∽△AEN，且相似比是3:4:5，所以点G即为所求.

      四、试题引申

      通过第（3）问方法2，我们发现tan∠CGO=tan∠DAM=

，所以∠CGO=∠DAM，所以直线CF//AD.进一步我们发现图3中的特殊图形：平行四边形GCDA和梯形ACFD.于是还可以提出下列问题（以下几问中F均为该二次函数图象的顶点）.

      （4）探索：在x轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是等腰三角形？若存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；若不存在，请说明理由.

      （5）探索：在x轴上是否存在点G，使得以A，C，D，G为顶点的四边形是等腰梯形？是平行四边形？是菱形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由.

      （6）在抛物线上位于直线AD下方的部分是否存在点P，使得△ADP的面积为3m？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

      （7）点Q是抛物线上的动点，满足

，请直接写出点Q的横坐标的取值范围.

      解（4）由GF:AD:AE=3:3:5或GF:AD:AE=5:3:5，得点G横坐标为

      （5）当点G坐标为（3m，0）时，以A，C，D，G为顶点的四边形是等腰梯形；当点G坐标为（-3m，0）或（m，0）时，以A，C，D，G为顶点的四边形是平行四边形.

      当m=

且点G坐标为（

，0）时，以A，C，D，G为顶点的四边形是菱形.理由如下：

      ①若AD是平行四边形的一边，则如图3，连结FC并交x轴于点G（-3m，0），得平行四边形ADCG，此时CD=2m，AD=3

，CD≠DA，故不是菱形.

      ②若AD是平行四边形的一条对角线，则过D做AC的平行线交x轴于点G（m，0），得平行四边形ACDG，此时CD=2m，AC=

，当且仅当m=

时，AC=CD，故仅当m=

且点G坐标为（

，0）时，以A，C，D，G为顶点的四边形是菱形.

      （6）用

铅垂高×水平宽可计算得

=3m，再由CF//AD可知，点C和F就是符合要求的点，所以点P坐标为（0，-3）或（m，-4）.

      

      五、教学启示

      针对学生在中考中暴露的种种典型错解，反思我们的数学课堂教学，还存在许多地方值得改进.以下就提高教学的有效性提几点思考.

      1.明确自己的角色

      课标指出：学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程.这个时空对学生来说很重要.有了它，学生才有思维活动的开展，才有思维的碰撞.而这种开展与经历对学生思维能力的培养来说是不可或缺的.因此，我们在课堂教学中要呼唤：问题提出后让学生先想一想；疑问产生时让学生先议一议；例题出示后让学生先试一试.课堂的主体是学生，教师应做一个好的引导者，而应避免为了赶教学目标和任务，很多教学中本应由学生参与的环节由教师代劳了.教师应该做到把课堂还给学生的同时，在课外做足功课，精心备课.

      2.课堂教学践行“两归”

      为实现教学效益的最大化，课堂中我们还要努力做到“两回归”：让板书回归课堂，充分发挥传统教学的优势，千万不要电脑开启、黑板放弃；让板演回归课堂，使学生的思维过程得到展示和暴露，让学生的典型错解成为教学资源，充分挖掘它的教学价值

      3.课堂教学呼唤“三要”

      为确保给学生“时空”，在课堂教学中，针对满堂训练的现象，我们提倡题量要减下来；针对高强度满堂讲授的现象，我们提倡教学节奏要慢下来；针对高难度地进行思维训练现象，我们提倡要铺设“台阶”，层层递进.

      4.课堂教学做到“四精”

      课堂宝贵的45分钟，我们要做到“四精”：例题选取要经典，教师讲解要精炼，学生练习要精当，作业布置要精选.尤其是课后作业的布置，不能搞简单的机械重复的作业进行“题海战”，而是要不拘泥形式地依据学生实际，根据学生能力水平的高低，用心地设计一些不同层次、不同类型的作业.在布置基础题、中档题的基础上，再布置一些思考题.既让基础一般的同学有能力有信心完成作业，又能让学有余力的学生有更多的思考空间.

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