基于数学研究的一般方法设计教学——以一堂“数系的扩充与复数的引入”课为例，本文主要内容关键词为：复数论文,为例论文,数学论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
笔者近期有幸参加涂荣豹教授组织的中学数学课堂教学研究活动，观看了三堂不同的“数系的扩充与复数的引入”课的教学录像.涂老师在《中国数学教育的继承和发展》报告中提到教学应始终贯彻这样的教学思想：“教——学什么”，“教——怎么学”.教学生学什么？学数学研究的一般方法：提出问题；学寻找解决问题的方法；学建构新概念、新方法等.教学生怎么学？在运用数学研究一般方法的过程中学习数学研究的一般方法.基于这样的理念，对中学数学教师设计教学会有什么启示和帮助呢？笔者以一堂“数系的扩充与复数的引入”课为例，阐述如何基于数学研究的一般方法设计教学.
一、教学设计
1.创设情境，提出问题
问题1：大家都知道数学语言是世界的通用语言，数学语言最基本的文字是什么？（生：数字！）数学正是起源于对数的研究.在对数的研究中，意大利数学家卡当遇到了一道让人头疼的问题.即将10分成两部分，使两者的乘积等于40，这两部分分别是多少？
问题2：这个无实数解是不是就说明了这个方程始终无解呢？（生：不是！）那也就是说这个方程的解如果有的话无法用实数来表示.那么怎么办呢？
2.设立线索，寻找方法
观察数系发展历程的图片并思考以下问题.
思考：（1）以往学习中有没有遇见过类似的问题？
（2）如果遇见过，解决了什么问题？怎样解决的？
（3）解决的过程有什么规律（共同的特点）？
（4）这些规律对解决当前的问题有什么借鉴作用？
师生活动：教师带领学生观察图片，探讨图片反映的客观实际与数学的某次发展的联系.进一步提出实际上数学的发展往往还有它自身内部的一些矛盾，这些矛盾主要体现在运算上.
问题3：从运算的角度来看一看数字是怎样发展的？每一次扩充之前什么运算能进行？什么运算不能进行？解决方法是什么？解决后达到目的没有？
师生活动：自然数集减法运算不够用，引进负数（整数集），减法运算得以实施；整数集除法运算不够用引进分数（有理数集），除法运算得以实施；正数开方运算不够用，引进无理数（实数集），正数开方运算得以实施.
3.引入新数，建构概念
问题4：总结一下每一次数系的扩充，发现有什么规律呢？
师生活动：原数集存在某运算不能进行的问题，于是引进新数，使运算能进行.教师进一步趁热打铁，追问每一次扩充原数集和新数集的关系？如果新运算解决了，原有的运算却不能了，行不行？原有的运算及其性质在新数集仍然保持.在教师的引导下学生自然得出原数集包含于新数集，原有的运算及其性质在新数集仍然保持的结论.
问题5：这些规律对解决当前的问题有什么借鉴作用？
问题11：由这三个等式，你能得出什么结论？两个复数什么情况下相等？从等号左右两边的复数相等，你能得出什么结论？要使两个复数相等需要满足什么条件？
师生活动：对于一个复数的分析通常是对它的实部和虚部进行讨论的.一个复数可以用有序实数对a、b来表示，反之，如果有了一个有序数对a、b，也可以唯一的表示一个复数，因此复数就是用实数a、b来进行刻画的.如果两个复数的实部与虚部分别相等的话，那么就说这两个复数是相等的.
问题12：例3 已知（x+y）+（x－2y）i=（2x－5）+（2x+y）i，求实数x，y的值.
二、教学感悟
1.教学生学提出问题
导入新课必须提出一个问题，然后去想办法解决它.那就需要建立适当的情境引出问题，本教学设计中问题1实际是话题情境，不能算是一个问′题，问题2的“怎么办”才真正形成问题，提出课题.怎样才能更自然地引出一个新问题是教师需要研究和打磨的.怎么想到要学“复数引入”的呢？实数集不够用了！那么，怎么想到实数集不够用了这个问题的呢？负数不能开平方.那么又怎么想到负数不能开平方这个问题的呢？由卡当问题出现
！那么这堂课又是怎么想到“卡当问题”的呢？这就需要教师创造性地教了，本设计中问题1不同的教师可以通过不同的话题情境引出问题2.在笔者观看的三个教学录像中有一位老师就在课的开始通过话题情境引出卡当问题，也让学生尝试如何解决，但遗憾的是，得出结论该问题不能实数表示后，教师就匆忙让学生回顾以前是否也有过这种情况并向学生展示图片，这样的设计并没有形成问题.学生就会对一堂课的目标不明确，只能任由老师“牵着鼻子走”，亦步亦趋，丧失了学习的热情和探究的主动性.
2.教学生学寻找方法
卢梭说：“问题不在于告诉他一个真理，而在于教他怎样去发现真理.”寻找解决问题的方法也是一样，实数集不够用了，显然教师不能直接告诉学生把它扩充为复数集.怎样想到把实数集扩充为复数集呢？这正是学生必须亲历的探究过程！本设计是教师展示思考题，引领学生思考，驱动课堂教学.这些问题实际是提供探究的线索，学生循着线索，自己去独立思考，发现结论，达到目标.必要时教师才给予学生一定的方法论意义的启发性提示语，如人类解决新问题最本原的方法是什么？有没有遇到过类似的问题呢？这也体现了教师主导、学生主体的教学理念.
3.教学生学建构概念
教师对教材内容之间的内在关系要有清晰的认识，讲解数系的扩充正是为复数的引入服务的.因此，在和学生探讨完数系的扩充规则后，教师应及时将之与当前要解决的问题联系起来.提出、
不能实数表示后，马上提出问题：刚才得到的扩充规则对解决这个问题有何启发？对解决当前问题有什么意义？能不能利用这个规则？你打算怎样利用？然后让学生去思考讨论提出方案.教师如此一番启发，学生提出猜想：添加虚数单位i，将实数集扩充为复数集.验证猜想得到：①实数集是复数集的子集；②解决负数开方运算问题，所有的负数开方都可以用复数表示；③保持原有的运算和性质.
当然建构完新概念复数后就是用适当的符号表示了，并且对复数相等定义进行探究，这里就不再赘述.