从重视运算技能到倡导数学的思考——浅谈小学数学“数与代数”教学目标的演变过程，本文主要内容关键词为：代数论文,浅谈论文,教学目标论文,小学数学论文,重视论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数的认识与数的运算是小学数学的重要组成部分，也是历次《大纲》都十分重视的内容。因为儿童认识数学是从认数和计算开始的，数的认识与数的运算是学习数学的最基本知识，所以学生只有掌握了数的认识与运算的知识，才能进一步学习其他方面的内容。因此，重视数的认识与运算已成为我国小学数学教学的传统。本文将着重分析《大纲》及《标准》“数与代数”教学目标的特点和演变过程，让广大教师更好地理解新课程、新教材。
一、《大纲》“数与代数”的内容特点
在小学数学教学中，“数与代数”方面的内容主要包括：整数、小数、分数的认识及四则运算；计量单位的认识与简单计算、应用题以及简易方程等。计算的形式包括口算、笔算、估算等。同时，在一些几何知识与应用题的解答过程中，也涉及了大量的四则混合计算。这些计算内容交叉安排在小学的各年级中：在一年级至四年级的教材中，主要以整数四则计算为主；在五年级的教材中，主要以小数四则计算为主；在六年级的教材中，主要以分数、百分数四则计算为主。这些内容在历次的《大纲》中都占有十分重要的位置。
1.重视计算能力的“双基”
自上世纪60年代提出重视数学的基础知识和基本技能后，我国的小学数学教学一直保留着这一优良传统，特别是在计算与应用题方面显得尤其突出。从《大纲》的各年级教学内容中可以体会加强“双基”具体的、明确的教学要求。
以2000年的《大纲》为例，口算的要求是：一年级要熟练地口算一位数的加法和相应的减法，比较熟练地口算两位数加、减整十数和两位数加、减一位数。二年级要会口算整百、整千数的加、减法和几百几十加、减整百或整十的数，熟记全部乘法口诀，能够熟练地用口诀求积、求商。三年级要会口算一位数乘、除两位数（积在100以内），会口算乘数、除数是整十数的乘、除法。四年级会口算整万数的加、减法，会口算乘数、除数是整百数的乘、除法。也就是说，同样的口算内容，在不同的年级中有着不同的要求。一年级一位数的加、减法是运算的基础，所以要求是“熟练”。而二、三年级的整百、整千、整万的口算，则要求学生“会”。
同样，加、减、乘、除的四则运算与四则混合运算在不同年级也有不同的要求。这些要求规定了本年级必须达到的目标。为此，教师在组织课堂教学时，就会围绕这些要求，开展各种形式的练习与训练，经过各单元的层层把关，学生的运算技能可以达到十分熟练的程度。
2.重视计算知识之间的逻辑体系
数的认识与运算作为人类社会活动经验的概括、抽象，在其产生、形成的过程中，就存在着密切的逻辑关系，经过几千年学校教育的逐步完善，这种逻辑体系已经十分严密。
(1)计算内容呈现螺旋式递进的排列
螺旋式递进是指按学生的年龄特点，对数学知识进行逐步渗透、逐步拓展，它的长处是由浅入深、由易到难、循序渐进。这种编排方式，对教师的教学来说，能很好地完成知识的传授；对学生的学习来说，能较好地完成知识的接受。
例如，2000年《大纲》一年级教学内容有：20以内数的认识，100以内数的认识。二年级的教学内容有：万以内数的读法和写法。四年级的教学内容有：亿以内数的读法和写法等。而数的计算内容则围绕着这条主线展开。因此，整个小学阶段整数的认识与运算内容被划分为几个阶段的知识，逐步螺旋式地推进，随着数的认识范围的扩大，数的运算也逐渐复杂。另外，每个阶段又各自有突出重点。如“20以内数的认识”的重点是建立20以内数的概念，学好一位数加法和减法的口算。“100以内数的认识”的重点是学好一、二位数加、减二位数，表内乘法和相应的除法，初步掌握口算和笔算加、减法。“万以内数的认识”的重点是学习笔算加、减法和乘数、除数是一位、二位数的乘法、除法。“亿以内数的认识”的重点是学习乘数、除数是二、三位数的乘、除法，以及对整数四则运算的意义、法则和运算定律等进行初步的概括和整理。“亿以上数的认识”的重点是学习自然数和整数的概念。
(2)计算内容之间注重逻辑性
对数学学科的内容来说，它的内在知识的逻辑联系是层层相连、缺一不可的。前一阶段的知识是后面学习的基础，而后面的学习又是前面学习的发展。
如2000年《大纲》在数的认识方面，一年级的“20以内数的认识”中，安排了“数数，数的组成、顺序、大小比较、读法和写法”；在“100以内数的认识”中，又安排了“数数，个位、十位，数的顺序、大小比较、读法和写法”；在二年级的“万以内数的认识”中，又安排了“数数，百位、千位、万位，数的读法、写法和大小比较”。当然，这三个阶段的“数数”“数的读法、写法”“大小比较”的内容又是不同的。但没有前一阶段的基础，就没有后一阶段的发展，而后一阶段的发展又巩固了前一阶段的基础。这种内在逻辑性，使学生有多次机会接触同一个概念，不断有新的认识。
应该说，数学的这一逻辑性的特点，既是数学学科原有的特征，又是我们在处理数学学科的特征中形成的传统小学数学教学的强项。但我们也应该看到，由于数学课程注重逻辑性，强调惟一性，因此，在课堂教学过程中对学生的思维品质的形成也会产生一定的负面影响，特别是对培养学生的创造性思维会有一定的影响。当一门学科经过专家、学者的专门整理，成为最经济地继承学科知识的学习框架时，它就转化为一种难以完全按照学生求知欲的发展规律以及认知水平的发展规律来思考的课程策略。在课堂教学中，教材的内容规定了学生思考的方向，规定了他们必须接受的结果，学生很难按照自己观察到的方式去解释社会生活与自然现象，这样就把学生本身的生活和认识世界的过程割裂了。
3.重视应用题教学的体系
应用题历来是我国小学数学教学的一个重要内容，在整个数学教材中占相当大的比例。应用题的出现是为了加强数学与实际的联系，然后经过广大教师的创造性教学，逐步演变为培养学生数学逻辑思维，提高解决实际问题能力的载体。当然，这些成果的获得与《大纲》应用题内容的安排与要求是分不开的。
在历次《大纲》的应用题内容的安排方面，从一年级到六年级都有着完整的内容体系与教学要求。以2000年《大纲》为例，虽然应用题的教学内容已进行了较大幅度的降低要求处理，但从应用题的教学内容上看，仍保留着完整的训练体系。学生从学习形象的图表应用题，到抽象的文字应用题，从学习一步计算的应用题，到多步计算的应用题，从学习整数应用题，到学习分数、百分数应用题。这一完整的文字性应用题体系，构成了一个完整的应用题思维训练体系。
但是，随着时代的发展，人们逐步开始认识到：在传统教学中，应用题的选择与呈现方式、应用题的教学方法，都存在一些值得研究和解决的问题。如应用题是否需要过多和过细的分类，学生是否需要学过多的解题模式等。又如，将文字性的应用题作为一种联系实际的体裁，能否真正帮助学生提高应用意识。同时，教学实践表明，学生在学习文字叙述的应用题中表现出很大的差异，许多数学后进生就是在学习文字应用题时产生的。因此，2000年《大纲》在教学内容的确定和安排中增加了这样一段：应用题选材要注意联系学生生活实际，呈现形式多样化，除文字叙述外，还可以用表格、图画、对话等方式，适当安排一些有多余条件或开放式的问题。用算术方法解“反叙”应用题只作为思考题。这是针对当时应用题教学中存在的问题，以及学生学习应用题时遇到的主要障碍提出来的，也是改革应用题教学的一个具体措施。在《标准》的研制中，应用题改革的力度更大，以提高学生的数学应用意识与提高解决实际问题的能力为主要特点。
二、《标准》“数与代数”的内容特点
《标准》对“数与代数”部分的改革除了保留我国传统计算教学中的精华外，还引进了大量现代数学教学的思想，主要体现在：重视对数的意义的理解，培养学生的数感和符号感；淡化过分“形式化”和记忆的要求，重视在具体情境中去体验、理解有关知识；注重过程，提倡在学习过程中学生的自主活动，培养学生发现规律、探求模式的能力；注重应用，加强对学生数学应用意识和解决实际问题能力的培养；提倡使用计算器，降低对运算复杂性和速度的要求，注重估算等。这些改革将进一步促进学生运用数的能力的提高，并使计算教学逐步从单一的计算技能训练转变为数学的思考，即注重对学生的数感、算法多样化、现实问题的解决以及对数的规律与模式的探求。
1.注重对学生数感的培养
《标准》认为，小学生数感的主要表现是：理解数的意义；能用多种方法表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数表达和交流信息；能为解决问题选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。这些对数感的具体描述，为教材的编写、教学的实施提供了具体的、可操作的依据。
(1)重视理解数的意义
为将培养学生的数感的要求落实到具体的目标内容中，《标准》在第一学段提出：结合现实素材感受大数的意义，并能进行估计。能结合具体情境初步理解分数的意义，能认、读、写小数和简单的分数。结合具体情境，体会四则运算的意义。能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程。在第二学段又提出：在具体的情境中，认、读、写亿以内的数，了解十进制计数法，会用万、亿为单位表示大数。在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示一些日常生活中的问题。结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计。能结合现实素材理解运算顺序，并进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步）。在具体情境中会用字母表示数。
《标准》为阐明具体的目标内容，又用案例的形式进一步说明培养数感的内容。例如，“1200张纸大约有多厚？1200名学生大约能组成多少个班级？1200步大约有多长？”“估计一张报纸一个版面的字数。如将报纸的一个版面折成若干等份，通过其中一份的字数来估计整个版面的字数。”“一个正常人心跳100万次大约需要多长时间？100万小时相当于多少年？100万张纸有多厚？”从这些具体的目标内容与案例中，说明学生数的概念的形成是可以与现实意义结合起来的，学生也能从这些现实的问题中理解数的实际意义。
(2)重视数的相对大小关系的认识
在具体的情境中把握数的相对大小关系，不仅是理解数的概念的需要，同时也会加深学生对数的实际意义的理解。《标准》在第一学段提出，认识符号＜、＝、＞的含义，能够用符号和词语来描述万以内数的大小。在第二学段又提出：会比较小数、分数和百分数的大小。为说明上述目标，《标准》在案例中进一步阐述：“对于50、98、38、10、51这些数，请用大一些、小一些、大得多、小得多等语言描述它们之间的大小关系；并用‘＞’或‘＜’表示它们的大小关系。”用词语描述数的大小之间的关系，是过去历次大纲中所没有的。学生通过对“大一些”“小一些”“大得多”“小得多”等描述性词语的理解，可以进一步感受数的相对大小之间的关系。
(3)重视数的表达与交流信息能力的培养
让学生学会用数表达和交流信息既能使学生体会到学习数学的价值，又是数感的具体表现。为把这一目标落实到具体的内容中，《标准》在多条目标中提出了用数表达与交流信息的要求。
例如，在第一学段中提出：能运用数表示日常生活中的一些事物，并进行交流，经历与他人交流各自算法的过程。在第二学段又提出了：进一步体会数在日常生活中的作用，会运用数表示事物，并能进行交流，能找出生活中成正比例和成反比例量的实例，并进行交流。这些目标要求学生观察身边的事物，有哪些是用数字描述的？有哪些可以用数或数数来描述？为让广大教师正确理解上述目标，《标准》在案例中又加以说明：你是否喜欢数学？如果用5、4、3、2、1分别代表从最喜欢到最不喜欢之间的5种程度，你选哪个数？说明理由。如果小明选择2，说明什么？如果小立比较喜欢数学，他最可能选几？”这些目标的提出，让学生在学习的开始，能感受到数学就在身边。从实际的教学效果分析，这种数的表达与交流的方法，对学生形成数的概念是有很大帮助的。
(4)重视运算结果的合理性解释
学生在解决问题的过程中选择适当的算法，对运算结果的合理性作出解释，也是形成数感的具体表现。学习数学的目的在于解决问题，运算是解决问题的工具，学生遇到具体问题时首先要想到用什么方法解决这个问题，选择什么算法解决，然后再算出结果。同样一个问题可以用不同的方法解决，同样一个算式，也可以有不同的计算方法。因此，对于学生的这些不同的解决方法、计算方法让学生自己来进行解释，对学生形成适应自己的学习风格有很大的益处。
例如，《标准》在第一学段中提出了：能结合具体情境进行估算，并解释估算的过程，能灵活运用不同的方法解决生活中的简单问题，并能对结果的合理性进行判断。这些目标要求学生不仅会解决实际情境中的问题，还要会对自己解决问题的方法与结果作出正确的解释与判断。
2.注重算法多样化的体验
算法多样化是不同的学生理解数学的表现，也是问题解决策略多样化的一种重要的思想，它是培养学生创新意识的基础。《标准》认为：由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的，教师应尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化。
根据这一理念，新教材已经开始运用多种算法的思想，而且这一思想渗透必然为学生学习方式的改变创造条件。下列为“十几减几的退位减法”的教材比较：
“十几减几退位减法”不同教材编写对比表
义务教育教科书
义务教育课程标准实验教科
（人民教育出版社数学
书（北京师范大学出版社编著，《数
室编著，《数学第二册》，
学一年级上册》，2002年版第78
1993年版第1页）页）
教材创设一个小动物买铅
教材安排数实物的
笔的情境：有15支铅笔，卖出9
图案。有9个苹果，加上
支，还剩多少支？解决这一问题，教
2个是几个？有11个苹
材安排了四种思考的方法：
果，拿去2个是几个？
①—根一根地减，1、2、3、4……
同时，对应地出示
②把15分成10和5，10-9=
两个算式：
1，1+5=6；
9+2=11
③把9分成5和4，15-5=10，10-
11-9=2
4=6；
想：9加2得11，
④也可以这样做：9+6=15，15-
11减9得2。
9=6。
每种解法都配上图示。
多年来，课堂教学在讲解“十几减几的退位减法”时，常规的讲解方法是：在做减法时，想到加法。而且要求全体学生在回答做减法的思考过程时，都要用这套统一的格式回答问题。而实验教材根据《标准》的算法多样化的目标，遵照学生认识差异性的特点，倡导学生按照自己的思维特点，允许学生各种算法的存在。其实，不同学生学习数学的思维过程是不同的，每个人在具体运算中思考的角度也不同，允许学生有多样化的算法，也就是尊重学生的主体地位。当然，教材安排的同一问题不同的算法，并不倡导学生去掌握每一种算法，更不能认为解决这些问题就只有这几种算法，而是通过这些算法的展示，说明在解决问题时，存在着各种不同的算法。所以，在实际的教学中，对于学生中出现的不同的算法，不要急于评价，而应引导学生通过互相交流、比较出各种算法的特点，并选择适合自己的算法。
3.注重现实性问题的解决
应用题是以往《大纲》“数与代数”的主要内容，是培养学生思维能力的重要载体，也是小学生学习数学的难点与重点。但在学生学习应用题中，很大一部分应用题的内容远离学生的生活，为解应用题，教师不得不采用程式化的例题教学模式，似乎教学应用题的目的就是为了解答习题。然而，一旦学生接触到生活中的实际问题，则又显得无从着手。为真正提高学生解决实际问题的能力，《标准》对应用题内容作了较大的调整。
(1)应用题内容背景的现实性
《标准》在第一学段中提出能灵活运用不同的方法解决生活中的简单问题，并能对结果的合理性进行判断，结合生活实际，解决与常见的量有关的简单问题。在第二学段中又提出在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系，会解决有关小数、分数和百分数的简单实际问题。这几条目标阐述了应用题教学的内容应该是生活实际的、常见的简单实际问题。这里不仅指内容的现实性，而且是学生生活环境中可能发生的、具有现实意义的背景。
根据以上的理念，《标准》提出要灵活运用不同的方法解决生活中的简单问题，并能对结果的合理性进行判断。这就要求我们在日常的教学中，多为学生提供一些开放性的问题，让他们养成灵活的思维习惯。如，每条船限乘4人，17人需要租几条船？你认为怎样分配才合适？这道题目的内容是学生非常熟悉的租船活动，而且内容也很有趣，对于怎样去解决这个问题，学生一定会积极地参与。生活中这类问题较多，如果在教学中能选择一些这样典型的现实问题，让学生尝试解决，这对提高学生的实际能力是有帮助的。
(2)应用问题探索的现实性
《标准》提出探索简单的数学规律的要求。这里所说的“探求规律”是便于学生进行探索和思考的题材，让他们在熟悉的环境中，寻找解决问题的策略，从而发现事物之间的一些规律。
例如，北师大版新编三年级上册教材中的“搭配中的学问”。教材提供了星期一、三、五的三张菜单，每张菜单上均有几个荤菜与素菜，如果按照一荤一素的方式搭配，可以有几种不同的配菜方法？对于这一问题的解决，学生可以根据自己的经验，逐步探索搭配的方法，最后找到搭配的规律。又如三年级下册“购物中的数学”这一单元中，教材安排了一个旅游处购买门票的情境：旅游门票儿童每张15元，成人每张30元。现有46人，其中儿童36名，他们一共要花多少钱？这是学生十分熟悉的题材，他们在解决这一问题中，可以根据不同的角度，寻找不同的解决办法。
4.注重发现规律、探求模式能力的培养
数学是关于模式的科学，数与代数中有大量的规律、公式和算法。学生只有经过自己的探索，才能不仅知其然，而且知其所以然，才能真正获得知识，懂得公式的意义，掌握公式的应用。而且通过探求若干公式的活动，可以提高探索能力，也有利于掌握数与代数的运算和规律。《标准》在“数与代数”的内容目标中，把“探索规律”作为内容结构的一个重要方面来安排，这在历次的《大纲》中还是第一次。
《标准》在第一学段中提出：“发现给定的事物中隐含的简单规律。”在案例中又举例说明，在下列横线上填上合适的数字或图形，并说明理由。
①1,1,2,1,1,2,＿＿,＿＿,＿＿
②
＿＿＿＿＿＿
第①题是简单的数的排列，其特点是三个数为一个周期在不断地重复，即每个周期为“1,1,2”。
第②题的图形排列中，第一个图是由1个小正方形组成，第二个图形是由3个小正方形组成，第三个图形是由6个小正方形组成。所以，第四个图形应是10个小正方形组成。当然，这个规律的发现，也应是在学生的讨论中，让他们自己来发现。
《标准》在第二学段中提出：探求给定事物中隐含的规律或变化趋势。这一条目标与第一学段的目标相比，要求有了明显的提高。第一学段是发现给定事物中隐含的简单规律。这一目标主要是让学生在感受中体会到事物中的简单规律。而本目标则是“探求规律”，也就是说，学生要通过运用不同的方法，自己来寻找给定事物的规律。同时，本目标又提出了“探求变化趋势”的要求，这是让学生自己在探求规律中，掌握给定事物的变化趋势。本目标的内容是函数思想的铺垫，在现实世界中，数的变化是多样的，但变化的内容——变量和变量之间的关系是有一定规律的。实施本目标的目的是让学生从常量的世界中进入变量的世界，并尝试用数的方法描述和表示变化着的现实世界。
例如：“联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室。你知道第16个气球是什么颜色吗？”解决这个问题有多种方法。可以用画直观图的方法来发现这个规律，也可以用字母表示的方法来寻找规律等。对此，教师的引导应放在方法的指导上。通过方法的指导，让学生掌握探索规律的钥匙。上述这些实例说明，经常能在数学教学中开展这些活动，学生就能发现数学中的规律，但对学生来说，经过多次的练习可以掌握探求数学规律的方法，而这一点比他们发现探求数学规律的结果更为重要。