三角形的“五心”，本文主要内容关键词为：角形论文,五心论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
三角形的“五心”，即重心、垂心、外心、内心和旁心，它们的性质是：
(1)三角形的重心（三条中线的交点）到各顶点的距离是它到对边中点距离的两倍。
(2)三角形的垂心与三角形的两个顶点所构成的新三角形的垂心（三条高所在的直线的交点）是原三角形的另一顶点。
(3)三角形的外心（三边的垂直平分线的交点）到三角形三个顶点的距离相等。
(4)三角形的内心（三个内角的角平分线的交点）到三角形三边的距离相等。
(5)三角形的旁心（一内角平分线的延长线和另外两顶点处的外角平分线交点）到三角形三边所在直线的距离相等。
例1 如图1，三条火车道
两两相交于A、B、C三点。现在要确定一个货场位置，使货场到三条火车道的距离相等，则货场位置有()种选择。
图1
(A)1.
(B)2.
(C)3.
(D)4.
解 因为三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以内心的位置符合要求；因为三角形的旁心到三角形三边所在直线的距离相等，所以旁心的位置也符合要求。一个内心和三个旁心，共有四种选择。故选(D)。
注 (1)三角形的内心和旁心到三角形三边所在直线的距离都相等；(2)三角形有三个旁心。
例2 如图2，已知AB=AC=AD，若∠DAC=m∠BAC，那么∠DBC=______∠BDC。
图2
解 以A为圆心，AB为半径作圆。
因为 ∠DAC=2∠DBC，
∠BAC=2∠BDC，
又因为∠DAC=m∠BAC，
所以∠DBC=m∠BDC。
注 如果从一个端点引出的几条线段相等，则以此端点为圆心，其中一条线段的长为半径作辅助圆，有时可使问题变简单。
例3 如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，且
，CE交AD于点F。求证：AF=DF。
图3
分析 此题一般用平行线分线段成比例定理的推论来证明，但由已知，AD是中线等条件特征，使我们容易想到三角形重心定理。
解 如图3，延长CA到点M，使AM=CA，连接BM，延长CE交BM于点N。
因为MA=CA，，
所以E是△BCM的重心。
于是MN=BN。
因为BD=CD，MA=CA，
所以AD∥MB。
于是F是CN的中点。
所以
故AF=DF。
注 (1)三角形的一个顶点与重心的连线必过对边中点；
(2)知重心，作中线；知线段三等分点，造重心；
(3)在三角形中，中线性质、中位线定理、重心定理及平行线分线段成比例定理四位一体，互为补充。
例4 图4，已知在△ABC中，O是外心，H是垂心，OM⊥BC于点M。求证：
。
图4
分析 由于O是直径的中点，M是BC中点，又由结论，可联想到从中位线入手，再进行转换。
解作直径BE，连接AE、CE，
则∠BAE=∠BCE=90°，
即AE⊥AB。
又因为H是垂心，所以CF⊥AB。
于是AE∥CF。同理AD∥CE。
所以四边形AHCE是平行四边形。
所以CE=AH。
因为OM是△BCE的中位线，
所以
。
注 (1)知圆心添直径是与圆相关的题目中常用的一种辅助线；
(2)已知垂心，则可构造出很多相似直角三角形，便于角的转换；
(3)此题若连接AM，交OH于点G，则可证得G是△ABC的重心，于是可得：任意一个三角形的垂心、重心和外心三点共线，且重心分垂心和外心的连线段为2∶1。这条线称为欧拉线。
例5 设O是等边△ABC所在平面上一点，且使得△OAB、△OBC、△OCA都是等腰三角形，问：满足以上条件的O点共有几个？
分析 这是一道构造图形的操作题。我们不能只考虑使△OAB为等腰三角形而忽略了△OBC、△OCA也是等腰三角形。另外，△OAB为等腰三角形并不仅局限于OA=OB，还有AO=AB，BO=BA等情形。
解 (1)如图5，若O点在△ABC内，则O为△ABC的外心；
图5
图6
(2)若O点在△ABC外，如图6，7，8以点A作为等腰△OAB顶角的顶点的三角形有3种，点B、点C亦如此。所以，满足条件的O点共有3×3+1=10个。
图7
图8
注 (1)本例的解决用了分类讨论这一数学思想方法。分类时，要做到不重不漏，按同一标准进行；
(2)等边三角形的内心、外心、重心、垂心四心合一；
(3)要使△OAB、△OBC、△OCA都是等腰三角形，则点O必在等边△ABC的对称轴上。
小结：
1.“五心”的位置作用
(1)三角形的一个顶点与重心的连线必过对边中点。
(2)三角形的一个顶点与垂心的连线必垂直于对边。
(3)外心与三角形一边中点的连线必垂直该边；过外心且垂直于三角形一边的直线必平分该边。
(4)三角形的一个顶点与内心的连线必平分以该点为角顶点的内角。
(5)三角形的一个顶点与旁心的连线必平分以该点为角顶点的内角或外角。
2.特殊的等量关系
(1)等边三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为1∶2。
(2)直角三角形的内切圆半径等于周长的一半与斜边的差，
(3)三角形被三条中线所分割成的六个部分面积相等。
(4)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等。
(5)设三角形的一个内角为x，则由其余两角的内角平分线所构成的角是
。
(6)设三角形的一个内角为x，则由其余两角的外角平分线所构成的角是。
3.特殊的位置关系
(1)任意一个三角形的垂心、重心和外心三点共线，且重心分垂心和外心的连线段为2∶1。这条线称为欧拉线，
(2)等腰三角形的内心、外心、重心、垂心四心共线。
(3)等边三角形的内心、外心、重心、垂心，中心五心合一（即一点五心）。
4.几种辅助线添法
(1)知外心，添直径；知内心，作垂线段。
(2)知重心，作中线；知线段三等分点，造重心。
练习
1.在△ABC中，∠A=50°，I是内心，则∠BIC等于______。
2.三角形的三边长为3，4，5，其内切圆半径为______。
3.在斜三角形ABC中，∠A=55°，H是垂心，则∠BHC等于______。
4.△ABC中，BD、CE是两条中线，BD=4，CE=6，且BD⊥CE，则△ABC的面积是______。
5.如图9，在△ABC中，BC=5，P是内心，PD∥AB交BC于D，PE∥AC交BC于E，则△PDE的周长是______。
图9
图10
6.已知AD、BE、CF是锐角△ABC的三条高，垂心为H，则图10中直角三角形的个数为______。
7.等腰三角形底边上的高等于18厘米，腰上的中线等于15厘米，则该等腰三角形的面积等于______。
8.如图11，E是△ABC的旁心，∠BEC=35°，则∠A=______。
图11
9.求证：正三角形内任意一点到三边距离的和为定值。
10.已知EF是正方形ABCD两边AB、BC的中点，AF、CE交于点G。若正方形的面积等于1，求四边形AGCD的面积。
11.已知I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆于E。求证：EB=EI=EC。
12.已知斜三角形ABC中，H为垂心，BH=AC，求∠ABC的度数。
答案
1.115°。 2.1。 3.55°或125°。 4.16。
5.5。 6.12。 7.144平方厘米。 8.70°。
9.用“面积法”，距离之和等于正三角形的高。
10.连接AC，用重心性质，2/3。
11.连接BI，证∠EBI=∠EIB。
12.分锐角三角形和钝角三角形两种情形讨论，45°或135°。