在过程中熔炼和析离方法——以梯形问题为例，本文主要内容关键词为：梯形论文,为例论文,过程中论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“过程与方法”作为三维目标之一，其价值不言而喻.《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律.它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法.”如此，教师就应该引导学生从知识的形成和发展的过程中熔炼、析离出数学思想方法，促进学生尽快实现由学会到会学的转变.
现实的教学实践表明，学生做几何题时，不是一看就会，就是一看就懵，虽然也存有由懵到会的中间地带，但往往是瞎猜乱碰的结果，难以从已有的学习经验平滑地过渡到会做的境地.一看就会，不是源于题目难度太低，就是源于大量训练；而一看就懵则是无法切入题目，难以顺利起步的表现.这就需要教师在日常教学工作中，通过对做题过程的深度反思总结，帮助学生逐渐形成经验，验证经验，提升经验，促进学生选对切入点的能力.
一、追问：帮助学生形成学习经验
课堂教学，贵在追问.追问能引导学生对所回答的问题进行思考，促使学生想一想解决问题的出发点，理清楚解决问题的思路.但是，在日常教学中，众多的教师更注重对原始问题的设计与处置.当学生的回答正确时，赞美一句：“很好，坐下！”当学生的回答错误时，要么不评价，找别的学生继续回答，要么说“对吗？”之类的话语，暗示学生“已经出错了”，甚至有的教师在举行不同类型的公开课、比赛课时，对学生回答的对错进行设计，事先告知学生回答时要怎么怎么样，弄虚作假，愚弄学生.对学生回答正确与否，都不进行追问，导致学生思维浅表化.实际上，追问对学生的学习有重要的促进作用.不论学生回答正确，还是回答错误，作为教师，都应该追问一句：“你当时是怎么想的？”通过学生对当时想法的追忆，暴露其思维过程，体察其思维方法的正确与否，其价值比单纯的得到答案不知要高出多少.这也是人们经常所说的“得到答案并不重要，重要的是如何得到答案”这句话的道理所在.因此，“智者问得巧”之巧，不仅包括如何设计问题，也应该包括对学生回答问题之后的追问.
案例1 如图1，在直角梯形ABCD中，AB//DC，AD⊥CD，AB=1，AD=2，CD=4，则BC的长是（
）
过B点作AD的平行线交DC于点E显然，BE⊥DC.因此四边形ABED为矩形，对应边相等，据此推知BE=2，EC=3，根据勾股定理计算出BC长为
.
当学生计算出结果后，教师要追问“这样作辅助线是如何想到的？”以此逼迫学生思考作辅助线的依据：在一个直角梯形中，作一条辅助线构造出矩形，就可以找到很多相等的量，将已知条件集中.同时，构造出含有所求线段的新的直角三角形，目的是运用勾股定理求得.同时，继续追问“所作辅助线与梯形原有线段有什么关系？”让学生从多个角度思考所作辅助线：既是原有梯形的高，也可以看作是边AD的平行线，还是平移AD边的结果.既为学生形成经验奠定基础，也为后续的析离方法埋下伏笔.
通过这样的追问和思考，学生不难发现，解决此题的切入点就是作辅助线，目的是将分散的三条边进行集中.关键是通过B点作AD的平行线（当然也可以理解为平移AD至BE，还可以说是过B点作梯形的高）.至此，学生就会形成做这个题目的经验：选取恰当点作辅助线.
二、尝试：指导学生验证经验
学生获得新的学习经验后，都有跃跃欲试的冲动，教师要选择难度、梯度合适的题目，让学生去尝试，以充分利用学生的情感状态，进一步激发学生学习热情，强化和丰富学生的学习经验.
所谓强化，是指学生能把已有的经验运用到新的问题解决过程中.其时，新的问题与原有的问题之间跨度不是很大，学生容易通过联想，使新问题与原有问题之间建立有效联系，把原有经验有效迁移到新的问题情境中，这也是用原有经验同化新问题的过程.
所谓丰富，是指学生原有的经验与新的问题之间有一定跨度，不能依靠原有的经验一步到位解决问题，需要将原有经验放到更复杂的背景中考虑，致使经验迁移的过程有点曲折.但是，即便如此，新问题的解决也与原有经验有一定联系，并非风马牛不相及.当学生解决了这个新的问题后，经验就得到了丰富.这也是原有经验顺应新问题的过程.
案例2 如图2，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=8，BC=17，∠C=70°，∠B=55°，求CD的长.
过D点作DE//AB，交BC于点E因为DE//AB，不难得出两个结论：AD=BE；∠DEC=55°.而∠C=70°，通过计算可得∠EDC=55°，推出EC=DC.由于BC=17，AD=8，所以得DC=17-8=9.
此题与案例1相近，解决此题的关键也是作辅助线，只是要考虑到这个梯形与案例1中的直角梯形有点不同，再通过构造矩形已不可能，但考虑到本题所给角的度数比较多，就容易联想到通过作平行线，构造更多相等的角，然后再想下一步的办法.过D点作DE//AB后，就会构造出平行四边形，一是得出AD=BE；二是通过联想∠C=70°，计算出∠EDC=55°，进而得到结论.同时，还能将尽量多的条件集中到一个三角形中.这样，解决案例1所形成的经验得到强化.问题解决后同样要让学生分析解决问题的切入点.“所作辅助线与梯形原有线段有什么关系？”并让学生从多个角度思考所作辅助线.既可以说是AB的平行线，也可以理解为将AB平移得到的.
案例3 如图3，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD于点O，AD=3，BD=12，BC=10，求AC的长.
过A点作AE//DB交CB的延长线于点E.得出三条结论：∠CAE=90°；AD=EB；BD=AE.推出EC=EB+BC=3+10=13，由此可据Rt△EAC用勾股定理求得AC长.同样的道理，也可过D作DF//AC交BC的延长线于点F，也可求出BD的长.
显然，这个题目与前两个题目相比，略有变化.前两个题目都是从梯形某一个边着眼作辅助线，所作辅助线也都在梯形之内，而这个问题的解决需要从梯形的对角线着手作辅助线，所作辅助线也跑到梯形外面了.这样作辅助线的办法与学生原有的经验产生了一定的冲突，发生了一定的变化.因此，在学生得到结论后，教师要让学生继续思考：这个题目与前两个题目比较有什么新的变化？做此题的关键是什么？做完此题后又有什么新的收获？学生在真实体验做题过程的基础上，思考这些问题，其经验就会得到丰富.作辅助线仍然是解决问题的关键，但更为关键的是如何寻找到作辅助线的切入点，即实现由内到外的突破.所作辅助线既可以看作对角线BD的平行线，也可以视为平移的结果.
三、概括：帮助学生提升经验
有了解决以上问题的体验后，学生的经验大为丰富.当然，教师也可以让学生再做几个需要作辅助线才能解决的梯形问题.当学生经验比较丰富，且对经验有了自己独特的体验后，教师需要及时启发学生做好举三反一的工作——概括.没有概括，这些经验都是一条一条的、成散乱状态存在的.经过概括，就可以将其融合、凝练，达成有序思维.否则，只能是经验碎片.
具体概括步骤如下：
①让学生观察思维这些辅助线的共同特点.在这几个案例中，所作辅助线，不论是平行，还是垂直，都可以当成梯形中原有线段的平移.这样，所作辅助线与梯形原有线段就建立了有效联系.
②让学生从平移的角度，观察梯形固有的线段，猜想这些线段还能沿着哪些线段平移？平移后会出现什么新情况？
③让学生观察思考梯形尚未表现出来的固有线段还有哪些？比如梯形的高、角平分线、对角线等，它们能否发生平移？平移后会出现什么新情况？
④让学生思考梯形中所有线段除了能发生平移，是否还可以发生其他变化？比如，能否发生增长、缩短、旋转等情况？会出现什么新情况？
⑤让学生思考除了梯形中各个线段的变化以外，是否存在其他要素的变化？比如角的扩大、缩小等.
⑥将上述思考进行熔炼：所有的变化，都是梯形固有元素边、角、线（这里的“线”特指“对角线、高、角平分线”等）的变化，变化的种类主要有平移、旋转、增减.在熔炼的基础上进一步析离：这些变化，万变不离其宗——都是化归思想的具体表现.这就为以后解决相关问题奠定了方法基础.当然，在具体作辅助线的过程中，还要从所求结论与条件之间的“距离”考虑，选择最佳路径.
⑦让学生对所做题目（不仅是前面的几个案例，也应该包括已经学过、做过的其他题目）进行逐一甄别，聚类分析，找到出现几率最大的几种作辅助线的方法，为将来解决未曾谋面的题目建立良好的路径选择次序.
⑧学生以后再遇到梯形问题，特别是复杂的梯形问题时，要主动尝试应用以上策略，不断验证、强化、丰富和拓展自己的经验.
⑨将上述经验运用到其他几何问题的解决过程中，找到异同点，逐步形成自己的学习智慧.
以上步骤的实施要结合对一类具体题目的解决进行，不可能也没有必要一次完成.要逐渐渗透，循序渐进，依托一类题目的解决，在一个学习循环中完成即可.
当由梯形问题推广开来，就会发现，解决所有几何问题，都是依托对其基本元素的变换（线的平移、旋转、增减；角的增大、减小等），运用严密的逻辑推理，得到结论的过程.因此，考虑所求结论，联系已知条件，变换边角线等基本元素就成为解决几何问题的起点.在此基础上，寻找到恰当的辅助线，就成为解决复杂几何问题的切入点.
综合以上分析，审视众多教学现场，就不难理解学生一看就懵的原因.那就是在众多教学实践中，教师仍然将得到正确答案视为唯一，只要答案正确，就万事大吉，教学过程缺少追问，缺乏验证，缺失概括.在这样的过程中，学生只能关注学什么，难以顾及怎么学.长此以往，学习就只能依靠题海战术而记忆大量的结论，当遇到简单的或者是多次演练过的题目，一看就会；当遇到没有做过的题目，一看就懵.所以，当教师把学生会学放到首要位置，并据此创造性设计和实施教学时，学生才能有机会实现会学的目的.唯有这样的教学才能充分发挥教师作为专业工作者的专业智慧.