张世谦 甘肃省定西市安定区中华路中学 甘肃 定西 743000
【摘要】数形结合是中学数学中基本而又重要的思想方法之一,它将数学问题中的数学关系与空间形式结合起来进行思维,从而使逻辑思维与形象思维完美地统一起来.其解题思想直观,优美而准确.下面就针对其思想的运用作一些介绍.
【关键词】数形结合思想;形象思维;数量关系
中图分类号：G688.2文献标识码：A文章编号：ISSN1001-2982 （2019）10-398-02
引言
所谓数形结合思想,就是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系,既分析其代数含义,又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来,并充分利用这种 ＂结合＂寻找解题途径,使问题得到解决。数形结合是一种重要的数学思想方法,其应用主要是借助形的直观性来阐明数之间的联系,其次是借助于数的的精确性来阐明形的某些属性。数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,关键问题是代数问题与图形之间的互相转化。
１把握内涵 创设数形转换条件
利用数形结合解题的关键是建立数形对应,把握好“数形转化”,将复杂问题简单化、明朗化,抽象问题形象化、具体化,从而达到解决问题的目的。
例1 当时,求证:。
解析 直接证明有困难,稍作变形,情况如何?将两边取对数,即证。由于,于是改写成,再变形,上式即为。
图1
表达式让我们联想到斜率公式。若设,考虑到,作出函数图象,其中。易知,于是有。
注 有些几何图形,并不是一眼就能从题设条件中看透的。在逐步的变化过程中,本质才能暴露出来同时,“数”到“形”的转化,又必须具备敏锐的观察力和丰富的联想类比的能力。表达式要与斜率公式挂钩,其中架设了桥梁。由转化为几何图形还要有一次创造性的飞跃,“执果索因”的分析过程,是解决本题的“金钥匙”。
2 发掘外延 提高数形转换能力
有些题型表面反映不出数形结合的可能,但经过恒等变换,深挖各种隐蔽条件,拓宽思路,由＂数＂索“形”,由“形”变“数”,就可别树一帜,另辟蹊径,提高形数转换的能力。
例2 已知 。
求证: ,并确定等号成立的条件。
分析 由观察可得:
,。
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图3
故 以为两直角边,又以为两直角边可转换为两个直角三角形。而且与分别为三角形ABD与三角形ADC的面积的两倍。
于是
。
当且仅当 时,即 时,等号成立。
3 构造模型 培养数形转换思维
在数学教学中,可根据“数”到“形”的转化让学生自己学会构造几何模型来直观描述一些数学问题。这样不仅可以发展学生的形象思维能力,而且通过数形结合可达到锻炼学生思维能力的创造性目的。
例3 解不等式。
解 原不等式为
令
则 图6
作此函数图象,求出图象与的交点为,从图象可知,当或 时,。
故 原不等式的解为或。
4类比联想选择适当的模型进行匹配
联想是由一种信息情景思维到另一种信息情景的心理现象,在认识活动中起着桥梁作用。由命题的条件与结论,类比联想到形态相似的数学模型,恰当、合理地选配与原问题相关的几何图形,从而使原问题巧妙的获得解答。
例4求 的值。
分析 类比联想直角三角形中的锐角三角函数。选直角为模型匹配,如图8所示:其中
为上一点,
则 。
在 中,由正弦定理知。
故 ,所以 。
从以上例子可以看出,数形结合不仅是一种重要的数学思想方法,而且也是一种重要的解题方法。代数研究的对象主要是数,几何研究的主要是形,而两者却有着非常密切的关系。把抽象的代数问题模拟成具体的、直观的几何问题,那么,我们便可以根据图形的性质来解决它。
参考文献
[1]史宁中.中学数学课程与教学中的函数及其思想[J].课程,教材.教法，2007（4）36-40.
[2]郑毓信.“数学思想”面面观[J].中学数学教学参考：中旬，2012（10）:8-10.
作者简介
张世谦 男，汉族，1968年生，籍贯甘肃省定西市安定区，高级教师，本科学历，研究方向主要是中学数学教学和班主任管理工作。
论文作者:张世谦
论文发表刊物:《中小学教育》2019年10月3期
论文发表时间:2019/12/9
标签：思想论文; 数学论文; 角形论文; 直角论文; 直观论文; 定西市论文; 代数论文; 《中小学教育》2019年10月3期论文;