多维高频时间序列的波动持续性质研究，本文主要内容关键词为：多维论文,序列论文,性质论文,时间论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：F224.0 文献标识码：A
一、波动建模
ARCH类、SV类等低频波动模型是把波动当作潜在的、不可观测的变量。对高频数据而言，通过“已实现”波动理论，把波动转换成一个可观测的时间序列，这样就可以用常规的标准时间序列方法对高额时间序列进行建模。
首先构定“已实现”协方差阵，把所有时刻t到时刻t+h的时段都等分成n个小时间段（h表示时间跨度，通常取h为1天），在每个小时间段上的N维变量收益率矩阵为r(t+jh/n,h/n)=logp(t+ jh/n)-logp(t+(j-1)h/n),(j=1，…，n)这样从时刻t到时刻t+h上的N维变量收益率矩阵为：
“已实现”协方差阵（Realized Covariance Matrix，简称RCMt）定义为：
因此利用上述定义的“已实现”协方差阵，就可以建立相应的向量波动模型。为了使用方便，称之为“已实现”波动向量自回归（Realized Volatility-Vector Autoregnssive Model，简记RV-VAR(p)）模型，具体模型如下：
其中
为N维列向量，常表示收益率；
的条件期望；
表示一个N×1维向量随机过程；
表示从过去直到t-1时刻的所有已知信息集，
为N×N维“已实现”协方差阵，而且是关于可测的。这里vech（·）称为半向量算子，表示把矩阵下三角依列累积而成的N(N+1)/2×1维向量。A为N(N+1)/2维方阵；W为N(N+1)/2维向量，是条件方差（协方差）方程中的截距项；A(L)为p阶滞后算子多项式；
是N(N+1)/2×1维白噪声过程，且与不相关。为了保证“已实现”协方差阵的正定性，必须满足以下条件：一是N维向量之间是线性独立的，二是N＜ h/△（△为抽样时间间隔）。
RV-VAR(p)模型中，
都是可观测时间变量，RV-VAR模型的建模不像多元GARCH模型建模那样困难，因此参数估计是非常容易的，只需用GLS之类的传统方法即可。与ARCH类模型相仿，可以对波动的单整性、长记忆性以及变结构等建立相应的RV-VAR模型。
从上面的论述可以看出，基于高频时间序列的RV-VAR模型和基于低频时间序列的多元GARCH模型虽然都可以用来研究多变量时间序列的波动及波动之间的相互影响，但是，这两种研究方法存在以下两点不同：
(1)“已实现”协方差阵和多元GARCH模型虽然都可以度量每日的波动率，但是，多元GARCH模型只是利用了日间数据，而“已实现”协方差阵是基于高频时间序列计算的，它充分地利用日内的信息。这说明“已实现”协方差阵更充分地利用了金融市场上的信息；
(2)多元GARCH模型把波动率和相关系数作为隐性变量，不能直接观测，需要首先进行模型的参数估计，然后才能得到波动率和相关系数的值。“已实现”协方差阵却不同，它把波动率和相关系数当作显性变量，不需要进行估计参数就可以直接计算当期的波动率和相关系数的值。
二、条件方差的持续性与协同持续性定义及相关性质
（一）持续性与协同持续性定义
关于向量过程的持续性，Bollerslev和Engle结出相应的定义，该定义基于条件二阶矩的向量随机过程[3]：
定义1和定义2是一个关于持续、协同持续的一般性定义，有明显的经济含义，对二阶矩（方差、协方差）信息作了全面的综合。但是它们未与具体的模型相联系，也未特别涉及在持续性研究中甚为重要的模型单位根情况，因此应用起来有很多不便之处，正因为如此该定义提出以来并没有得到广泛的应用。另一方面，有关高频金融时间序列的持续性和协同持续性定义在文献中至今没有给出，下面我们基于RV-VAR(p)模型给出相应的定义。
定义3 称随机过程
关于条件方差是波动持续的，如果RV-VAR模型的系数矩阵多项式存在单位根。
定义4 称RV-VAR模型是协同持续的，如果RV-VAR模型的系数矩阵多项式存在一个单位根，并且存在一个向量
是一个平稳过程。
其中vec（·）表示向量算子将N×N维矩阵按照列的顺序依次排成一列组成一个
维向量，a称为协同持续向量。从这个定义可以看出协同持续向量可能不仅仅是一个，设为r≥1个，这样协同持续向量就构成了一个秩为r的N×r矩阵。
（二）RV-VAR模型持续与协同持续的性质
关于RV-VAR模型持续和协同持续的性质有如下的定理：
定理1 由(2)式定义的RV-VAR过程对关于条件方差是波动非持续的，当且仅当其特征方程
的根在单位圆内，其中I为单位矩阵，der[·]为行列式运算。
定理2 由(2)式定义的RV-VAR过程关于协方差平稳的，当且仅当由(2)式定义的RV-VAR过程关于条件方差波动非持续。
由定理1和定理2可以看出，波动非持续、的协方差平稳和方程(4)根在单位圆内具有内在的一致性，这为我们研究高频波动持续性质提供了更广泛的方法和途径。
定义2和4给出了两个协同持续定义，这两个协同持续定义是从不同角度给出的。定义2是从多维时间序列均值模型的长相依定义扩展出多维波动过程的波动持续定义，并在此基础上给出波动过程协同持续的定义，由
可知，定义2反映了变量线性组合后
的波动情况，涉及了所有的二阶矩，对系统提供的二阶矩信息作了全面的综合。定义4同样反映了变量线性组合后
的波动情况，考虑RV-VAR过程的持续性问题，是从单位报的角度来理解RV-VAR过程的持续性，从而给出了RV-VAR过程的协同持续定义。这两个协同持续定义都描述了波动过程各分量之间存在一种长期的线性均衡关系。下面以定理的形式说明上面提到的两种协同持续定义之间的关系。
定理3 如果由(2)式定义的RV-VAR过程具有定义4中所定义的协同持续的关系，则必有定义 2中所定义的协同持续的关系。
由定理3可以得出定义2所研究的范围已经包含了定义4，定义4所给出的协同持续定义可以看作定义2的一种特殊情况，即高频金融时间序列下线性协同持续的表现形式。定义1、定义2有明显的经济含义，协方差矩阵
表示变量m与n之间的协方差，它不仅受到变量m与n之间残差乘积
的历史序列的影响，还要受其他变量的残差乘积以及其他变量的方差、协方差影响。因此，定义1、定义2对二阶矩（方差、协方差）信息作了全面的综合。但是定义1、定义2形式上对实际问题的波动持续性研究很不方便，并且它没有特别涉及我们所关心的单位根问题。定义4是从单位根的角度给出的协同持续定义，这样可以将有关的单位根理论直接应用于高频波动持续性的讨论，并使得我们可以将协整理论和方法应用到波动的协同持续的研究成为可能。
（三）非线性协同持续定义
定义2和定义4两个协同持续的定义都是通过线性组合的方法来消除向量的持续性，但是，金融市场本质上是一个非线性系统，诸如混沌、分叉与分形等都是金融市场的非线性本质特征。对金融市场多变量来说，有时用线性组合的方法并不能消除或削弱波动的持续性，也就是说这些多变量之间不存在线性协同持续，但是不等于它们不具有协同持续关系，或许它们之间存在着非线性协同持续的关系可以来消除或削弱彼动的持续性。鉴于此，下面给出非线性协同持续的定义。
定义5 令模型(2)中的向量
如果RV-VAR模型的系数多项式矩阵存在一个单位根，且存在一个非线性函数f（·），使得非线性函数列
是平稳的，则称RV-VAR模型是非线性协同持续的，称非性线函数f（·）为非线性协同持续函数。其中 M=N(N+1)/2，其他符号含义同前。
定义6 对于高频金融时间序列向量
如果是关于条件方差波动持续的，且存在非线性函数f（·）使得
的“已实现”波动列
是平稳的，则称各分量之间是非线性协同持续的，称非线性函数f（·）循非线性协同持续函数。
上述概念的验证主要通过单位根来检验。定义2和定义4从线性协同持续的角度描述了波动各分量之间存在的长期线性均衡关系，而定义5和定义6则从非线性协同持续的角度描述了波动各分量之间存在的长期非线性均衡关系，那么它们之间具有什么样的内在联系？下面将以定理的形式说明它们之间的关系。
定理4 如果定义5中的函数f（·）关于自变量具有线性性质，则定义5中的非线性协同持续关系就简化为定义4中的线性协同持续关系。
定理5 如果定义6中的函数f（·）关于自变量具有线性性质，则定义6中的非线性协同持续关系就简化为定义2中的线性协同持续关系。
由定理5和定理6可以看出在线性组合情况下，定义5和定义6都反映线性组合后的波动情况。所以，非线性协同持续的定义是线性协同持续概念的推广，线性协同持续是非线性协同持续的特殊情况。金融市场本质上是非线性的，协同持续从线性扩展到非线性，是对金融市场本质认识的更加深化。
三、协同持续在金融风险规避策略中的意义
协同持续是一个非常重要的概念，从理论上来说它是协整(Co-integrated)概念的扩展。协整概念反映的是时间序列一阶矩意义下的长期均衡关系，而协同持续则反映的是时间序列二阶矩（方差、协方差）意义下的长期均衡关系，也即方差本身的协整关系，二者都反映了时间序列的某种线性或非线性均衡关系，从这个意义上讲，协同持续概念是协整概念的扩展。从实际金融分析来看，它告诉我们对于具有风险持续影响的金融过程，在一定条件下可以通过组合配置的方式消除或削弱风险的持续影响，并指出如何进行相应的组合配置来规进持续风险的影响。因此，我们可以认为对协同持续的研究是极具前景的研究领域。
在Markowitz组合投资模型中多种证券收益的方差和协方差均为常数，所解的规划问题得到组合投资比例和相应的风险均不涉及风险持续性影响。由于建立了方差持续性和协同持续性的概念及判别方法，投资者为避免由于风险持续性带来的投资风险，就需要在不同的资产之间作出选择，剔出那些方差表现出持续性的相关资产，以达到规避风险的目的。但在多种投资存在协同持续的条件下，协方差的持续性在长期投资下将会消失或削弱，此时投资者所关心的是如何在多种资产之间寻求这种协同持续关系。由此，对长期投资者规避风险来说，存在持续性和协同持续条件下，将会采取不同的投资策略。
建立在风险持续性和协同持续性基础上的组合投资理论，将会改变静态处理投资风险的Markowitz组合投资理论。它将从风险的持续影响和规避的角度重新审视长期投资问题，从动态角度研究多因素风险的预测和规避风险，这一点在动态投资组合理论与实践中具有重要意义。
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