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一、课题背景
应杭州师范学院信息技术整合培训班的邀请，需要上一堂体现信息技术与学科整合理 念的课，当时手上正好有一份学生做的练习卷，其中有道题我觉得很有探究的意义。
附图
生1：△AOB的面积应该有最大值，周长应该有最小值，线段AB的长应该有最小值。
生2：△AOB的面积最大值不存在，应该有最小值。
师：还有问题需补充吗?
生3：上面两同学的问题不完全对，因为当直线转到圆的左下方时，面积、周长、长度 均无最值可言，只有当直线在圆的右上方转动时，上述问题才有意义，故应加条件：设 点A(a，0)，B(0，b)，a＞r，b＞r。
师：你考虑问题很全面，要表扬。还有哪位要补充?
生4：还可以求｜OA｜ + ｜OB｜的最小值。
师：还有吗?如果暂时没有的话，我们来看上述问题是否存在?值不值得我们作深入的 研究。
(打开动画课件探索并测试上述各问题数据)
(1)△AOB的面积有无最值?最大还是最小?
(2)△AOB的周长有无最值?最大还是最小?
(3)线段AB的长有无最值?最大还是最小?
(4)｜OA｜ + ｜OB｜有最大还是最小值?
附图
师：通过电脑动态验证，上述我们猜想的问题(1)—(4)均正确，即△AOB的面积有最小 值，周长有最小值，线段AB的长有最小值，｜OA｜ + ｜OB｜有最小值。那么还需要严 格证明吗?当然要!下面请分组讨论证明，并把你们的证明过程到台前展示给大家看(用 实物投影仪)。
几分钟后，各组分别派代表在实物投影仪上展示了他们的证明过程，归纳后基本如下 ：
附图
说明 问题(1)—(4)是解析几何、不等式与实际问题相结合的一个很典型的问题，由 于借助了《几何画板》的动态功能，使整个变化过程一目了然，既激发了学生的数学兴 趣又训练了基本功。在学生自感问题圆满解决的高亢情绪下继续发问。
师：在直线运动的过程中，我们能否探究一些特殊点的轨迹问题?
生5：可以探求AB中点P的轨迹。
师：好的，先请大家在本子上探索，并画出简图，说明曲线类型，最好能说出相关的 几何特征。(分组讨论，成果展示)
组1：中点轨迹是以坐标轴为渐近线的双曲线。
组2：中点轨迹是双曲线，但不是以坐标轴为渐近线，而是以过圆心的两条与坐标轴平 行的直线为渐近线。
师：看来大家对这个问题既有共同的观点也有一定的分歧。我们先请电脑帮助作出评 判，然后再设法证明。(动画展示如下)
(5)线段AB中点的轨迹如何?能求吗?
附图
师：太厉害了!(鼓掌)为加深同学们对这个问题的认识，我们用电脑验证两位同学的结 论(图4)。(课后请各自再证明一遍)
同学们表现很好，提出了不少很有创建性的问题，下面请继续观察：把矩形沿对角线C P剖开并沿直角边翻开，得直角三角形CEF。请关注：(1)三角形的面积特征，(2)三角形 斜边EF与轨迹的位置关系。(动画展示)
附图
在大家迷惘之时，打开动画，描出轨迹(图9)，并分别转动直线OA，OB，让学生看到在 任意给定位置，只要△OAB面积为常数，AB中点P的轨迹一定是双曲线(这里《几何画板 》的动态功能是谁也替代不了的，也充分体现了信息技术整合到学科中的优点)。为巩 固这一知识点，下面设置了一道使OA，OB关于x轴对称的具体问题：
附图
师：从上面的解法我们知道了面积为定值时，中点轨迹确实是双曲线。那么反过来呢 ，对任意的双曲线上任一点作切线与渐近线相交，切点是不是交点的中点?切线与渐近 线围成图形的面积是否为常数?过切点作渐近线的平行线所围平行四边形(原来的矩形现 在为平行四边形了)的面积是否为常数?
下面我们就“平行四边形面积是否为常数”展开讨论。(师生集体讨论，并归纳解题过 程)
附图
师：面积不仅是常数，而且是一个很美的结果，且与前述结论相吻合。
上面这一系列问题我们一气呵成，到此似乎该是一个完美的结局了，但是还没有，还 远远没有!这还仅仅是一个开始，我们为什么不把问题拓展开去呢?
3.第三层次——拓展提问：让圆推广到椭圆到双曲线，退化圆到点
如果我们把圆拓展到椭圆、双曲线，上述哪些性质还能延续，哪些性质有所变化?是值 得我们探讨与研究的。
拓展问题用动画展示、解析现象，让同学课外研究。
附图
让圆推广到椭圆
切线AB中点轨迹仍是双曲线，椭圆长短轴所在直线仍为轨迹的渐近线；四边形CNPM面 积仍是常数(图13)；
附图
三、设计意图
随着现代信息技术的不断发展，把信息资源与信息技术应用于教学越来越引起人们的 重视，尤其是数学教学。因此，怎样把信息技术与数学课程有效地整合起来，以充分发 挥现代信息技术在数学教学中的作用，使数学教学能以一种崭新的面貌出现在我们的面 前，本课是基于这样一个理念的一种尝试。希望通过本课的实践能找到一种较适合于信 息技术与数学课程整合的教学方法，建立一个有利于信息技术与数学课程整合的教学平 台，以供大家讨论。
本课取材力求自然，在学生的练习中发掘课题，以朴实清新的面目出现在学生面前。 同时，各种动态变化又与生活贴近，一方面不使学生感到教学内容的唐突或脱离实际， 另一方面，让学生感到生活中、练习中、教材中有很丰富的创新材料。
在进程的安排上采用由点到面、由浅入深的三个层次：
第一层次，从学生的练习题出发进行展开，由于前四个问题学生在平时的作业中有所 涉及而在此看到的却是动态变化的全过程，让学生既感亲切又觉新鲜，有利于激活学生 的思维，调节课堂氛围，为确保本课顺利实施作好铺垫。
第二层次的设置其目的是希望学生学会提问题，同时，在发现问题后能以严密科学的 逻辑推理加以论证，培养学生科学认真的治学态度。
第三层次，为培养学生提出问题的思想方法，这里借助本课题的特点为学生做了示范 ，设置了对圆向两个方向变化。一方面，向纵深变化由圆到椭圆，再到双曲线，另一方 面，由圆退化到点。而且让学生观察在变化过程中，线段中点轨迹有何变化。同时，对 产生的现象进行科学的分析，是本质改变还是现象变化，再一次让学生实实在在地感受 到了“点”与“圆”的可统一性。如果说以前我们把“点”看成“圆”学生有些迷惑的 话，那么今天的真实所见将消除一切顾虑。
这一层次的另一目的，也是希望通过本课的努力探索，能挖掘本问题更深层次的规律 ，看到变化中的不变性，再次感受数学内在结构的统一性(内在美)和外显轨迹的舒展流 畅，同时也科学地认识到，事物变化的客观规律，量变达到一定的程度必将发生质的飞 跃到质变，揭示了矛盾体的对立和统一，培养学生用辩证唯物主义的观点分析问题。
四、课后感受与反思
通过本课的教学及前一阶段的“整合”实践，谈几点感受。
首先，信息技术整合于课程教学必须立足于教学的基本目标：培养和提高学生的综合 信息素养。但应不仅仅限于技术层面上的操作，更重要的是要促进学科的教学质量，提 高学习效果和效率。信息技术整合于学科教学对激发学生的学习兴趣及开发学生的智力 潜能无疑有很大的帮助，但它只能对学习起帮助与促进的作用，不能代替我们的逻辑推 理，否则对教学将带来不利的影响。
1.课程的最终服务对象是学生，所以“整合”应根据学生的需求选择和应用信息技术 ，应创造条件让学生利用信息技术开展学习。同时，信息技术整合于教学不应止于教师 在教学中应用信息技术，而应积极创造条件，帮助学生逐步学会根据学习需要评价和选 用合适的IT工具，有效地获取信息、加工和处理信息、表达和交流信息，并能利用信息 解决学习问题，帮助学生实现学习目标，获得全面发展。所以我们选择易学好用的数学 工具《几何画板》，让学生能自主根据教材相关内容探索研究数学，尤其是解析几何一 章的动态轨迹问题，《几何画板》能起到很大的帮助作用。
2.应用信息技术应重视学生的个别差异和丰富体验，追求综合化、多样化的信息技术 应用方式。
(1)确定信息技术应用方式时，应分析学生的个别差异和不同生活学习经验，充分利用 信息技术的优势为不同认知水平、不同认知风格、不同发展需要的学生创设个别化的学 习环境，提供个性化的学习工具(认知工具、思维工具)和切合学生需要的交流合作工具 。
(2)创设“教师—学生—信息技术—教学资源有机融合的学习环境”。在充分发挥IT作 为效能工具、交流工具、研究工具、问题解决工具和决策工具帮助实现知识技能学习目 标的同时，引导学生与教师及信息技术之间产生多种多样的良性互动，使学生获得丰富 的体验和富有个性的全面发展。在必要时我们让学生自己动手做动画课件，验证自己的 猜想，借助动态功能引发思维，大胆创新。
3.应找准信息技术与新课程教学整合的结合点。课程改革为教师的教学实施提出了新 的要求，也提供了巨大的创新空间，包括：学习活动的设计和组织的实施，学习资源的 搜集、组织和呈现。所以帮助学习，选择学习手段、学习技术等新型的教学方式，应该 是信息技术与新课程学科教学的最主要结合点。本课从一道习题入手进行全面的展开， 由于借用了信息技术使教学内容变得丰富多彩。
4.选择或设计教学策略、设计教学和学习活动时，应追求信息技术应用与教学方式变 革的内在结合和相互促进。应有机组合各种IT手段和信息化资源，努力支持学生开展自 主学习、主动探究、问题解决、交流协作等，积极探索和创造适合于信息技术条件下的 新型教学方式，实现信息技术应用与教学方式变革的内在契合和相互促进。本课我们采 用类比猜想、动画探索、讨论协作、严格论证相结合的教学方式，避免了利用信息技术 进行“机械电灌”或利用信息技术而削弱学生的逻辑能力的教学方式。
5.适度调整学生的学习兴趣。兴趣只是学习的开端，在兴趣引导下开展的思考、研究 和实践活动才是教师应关注的核心，要透过兴趣的表现形式，思考学生兴趣指向的是不 是我们期望学生开展的学习主题。本课在不断变换动态画面时，由于轨迹的美丽多姿， 学生极度兴奋，我们及时提出了让学生深度思考的问题：为什么当圆变成椭圆、双曲线 ，甚至“点”时，线段AB的中点轨迹始终是双曲线，其本质问题在何处?促使学生冷静 思考、严格论证。我们知道，信息技术≠情境创设≠兴趣激发，创设情境只是激发学生 兴趣的手段之一，既非惟一手段，更非目标。
我们的实验是初步的，面临的问题和困难也很多。
从理论层面上，当前首先需要更加深入地研究信息技术在数学教学中的作用，以及如 何更合理、有效地应用信息技术。信息技术作为一种认知工具“整合”于数学教学，我 们期望它在促进学生理解数学本质、培养学生的创新精神与实践能力、团队精神、解决 问题的能力、交流能力等方面发挥更大的作用。那么，教师、学生、信息技术三者如何 才能在数学课堂上更有效地互动?信息技术到底是如何影响教师的教学方式的?信息技术 又是如何影响学生的数学学习方式和学习效果的?信息技术如何才能与好的教学法融合 一体，为达成数学教学目标提供一个有力的认知工具?等等。
从实践层面看，如何进一步提高学校领导对信息技术的认识水平，使他们加大对试验 工作的支持力度；如何发挥不同信息技术(如手持技术、计算机、网络等)的各自优势， 使学生在数学学习中实现随时随地使用技术；如何解决数学课堂中使用信息技术与考试 评价(高考)中不能使用信息技术的矛盾?教师的教学行为方式、习惯与“整合”的高要 求之间的矛盾等。
对于上述问题我们将在以后的实践中不断摸索，努力寻求与“整合”相匹配的教学方 法，以最大限度地发挥信息技术在教学中的作用，提高教学质量。