精心架设探究路径，提升学生思维能力，本文主要内容关键词为：思维能力论文,路径论文,精心论文,学生论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
笔者曾经为全市高中数学老师开设了一节公开课，课题是“柱体、锥体和台体的体积”。历经一年，总感觉有很多话想说，现在一吐为快，希望能给同仁一些启发。
几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科，三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）要求学生了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。因此本节课对学生能力层次的要求并不高。日常生活中，人们通常采用直观感知、操作确认、思维辩证、度量计算等方式认识和探索几何图形及其性质。本节课的教学内容是在学生从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；以长方体为载体直观认识和理解了空间点、线、面的位置关系及学习了对某些结论进行论证之后，探讨如何对几何体进行定量分析。应当说，学生已经具备了一定的立体几何的研究方法与策略。试图通过本节课的教学，培养学生从直观图形入手发现问题、分析解决问题的能力，初步领悟几何学的内涵，提升学生的数学素养和理性思维的能力。
授课的对象是理科班学生，基本素质相对较好。因此在教学过程的设计理念上力求教师做好导演，搭建舞台，让学生主动参与，做好演员。使得学生能在这条精心设计的道路上顺畅地思考数学问题，积极而兴趣盎然地寻求数学问题的解决。我把整个过程分成三个阶段：问题初始阶段、问题探索阶段、问题升华
一、问题初始阶段
要研究不同几何体的体积，必须弄清不同几何体之间的变化关系。所以设置了这样一个问题：我们学过的棱柱、棱锥和棱台之间有什么样的关系？
笔者是基于这样的思考提出这些问题的：学生学习过的几何体主要有三类，即柱体、锥体和台体（当然球体也是一类，但与本节课内容关联不大），要研究体积问题特别是三类几何体的体积的内在联系，需弄清这三类几何体之间的变化关系，所以学生回答之后，设计一个动画来体现（如图1、图2、图3）。
很容易发现：当柱体等比收缩它的一个底面时，可以得到和它等底等高的台体，当该底面收缩为一个点时，则是与其等底等高的一个锥体了。反之亦然。学生自然会产生这样的感受：棱柱、棱锥、棱台的体积之间也一定存在某种关系吧！该问题也为下面的建构数学埋下伏笔。
研究体积当然得搞清楚体积为何物？体积——几何体占有空间部分的大小。学习数学要抓住数学本质。
二、问题探索阶段
给学生搭建一个学习活动的舞台，给学生架设一条思维探究的路径，教会学生思考。新课程理念更倡导教师主导与学生主体。发展以学生为主体的教学，就是教师为学生设计一个主动思维的舞台，创设主动建构的情境。教师应该具备真正的学生意识，按学生的思维来思考教学。教师要向学生提供的是学习资源、学习方法和学习氛围，而不只是提供主动获取知识的机会。
整节课试图以几个学生熟悉的，逐层递进的有价值问题为引领，展开学生的数学学习。通过对祖暅原理的研究，介绍祖国的悠久历史文化，激发学生爱祖国、爱数学的热情。丰富多彩的探究活动（直棱柱与斜棱柱的体积关系探讨、等底面积等高的圆锥和棱锥的体积问题以及台体体积推导），从不同角度吸引学生主动参与。数学课堂教学效果的评价不能只看是否热热闹闹，而应关注学生是否沉湎于对问题的思考与探究之中。
学生的思维是从问题开始的，设置有价值的问题很重要。当然这是老师的事情。数学课堂还应给学生提问题的机会，鼓励学生提出问题，教会学生寻找问题。
本节课设置了一个问题串，意在引导学生的学习。教学内容关于几何体的体积，教学内容较为直观，很容易陷入理性思维缺失的境地。所以问题的提出与探究尤为重要。教学中让学生主动思考，给足学生思维所需要的时间和空间，把展演的机会还给学生，让学生完成关键问题的概括活动，把发现的机会让给学生，培养学生的自信心。
在这个阶段，先后抛出三个问题：等底面积等高的柱体体积之间的关系——等底面积等高的两个锥体体积之间的关系——等底面积等高的柱体和锥体体积之间的关系。问题层层递进，步步深入。意在通过问题解决，寻求不同几何体体积之间的本质的、内在的联系，激发学生学习兴趣和热情。
1.探讨两个等底面积等高的柱体体积之间的关系
构造一个如图4的动画，两个长方体的底面相同，高相等，固定长方体的下底面EFGH，让其上底面
在同一平面内移动，得到不同形状的平行六面体EFGH-（如图4），思考：这些不同形状的平行六面体的体积相同吗？为什么？
图4
从学生对几何体体积的感性认识看，他们最关心的是几何体的形状改变了，体积会改变吗？即一个几何体的体积是否会随其形状的改变而改变？解决了这个问题则其他问题就都好解决了。（学生思考，给足时间，这是一个看似简单其实复杂而难以解释的问题）为使其上升到理论层面，引导学生看苏教版必修2课本第59页“祖暅原理”。如何理解“幂势既同，则积不容异”？能否举例说明？（这是阅读材料的内容，不是《标准》中需要学生掌握的内容，但是理解体积不能离开这个原理。结合实际，学生也是能够理解的，这是本节课思维的逻辑起点）
要学生弄清的是两个柱体在所有等高处的水平截面面积是否相等。
紧紧抓住两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。其他问题也就好解决了。
在老师的引导下，几个学生使用祖暅原理作出了很好的解释。（追问：如果是圆柱呢？结果是否相同）从而归纳出柱体的体积公式
。
此问题看似简单，但彻底解决了困惑学生的圆柱和棱柱的体积关系、侧棱（或母线）不与底面垂直的柱体体积问题，意义重大。看得出学生很兴奋，从小学开始的困惑现在似乎找着了一点感觉。
2.探讨两个底面积和高都相等的棱锥和圆锥的体积的关系
问题提出后，学生主动猜想，讨论热烈。（很多学生开始着手画图，寻求答案。这是老师想看到的，数学问题的探究往往遵循由感性到理性的生成的规律）
很快有的学生主动举手来阐述观点，虽稚嫩但却很自信。最好师生共同努力归纳出这样一个解决问题的思路。
（根据学生的回答，老师制作一个动画，演示其变化过程）首先把两个锥体面积相同（都为S）的底面放在平面α上；其次，我们可以用一个平行于α的平面β来截这两个锥体得到两个截面（如下页图5），设其面积为
，（思考：平面β在上下平移过程中截得的两个截面的面积
是否相等？）
最后，由祖暅原理问题得到解决，即这两个锥体的体积是相等的。
图5
其实解决这个问题的目的是想让学生体会到原来不同形状的几何体的体积之间也是会存在某种相等关系的。
这个问题的解决有利于学生进一步领会祖暅原理，也是为下个问题做好铺垫。
我们是否可以得到锥体的体积计算公式呢？（本质是通过学生已知的圆锥体积计算方法去处理棱锥问题，说明棱锥的体积也可以用这样的计算方法。归纳
）
3.探讨等底面积等高的柱体和锥体体积之间的关系
我们在小学的时候已经知道等底面积等高的圆柱和圆锥之间的体积关系，（自然地抛出问题）那么等底面积等高的棱柱是否也存在这样的关系呢？
适时点拨：(1)解决数学问题，猜想很重要。猜一猜是否仍然是3倍关系呢？（很多学生回答是）
(2)如何验证你的猜想，那就要寻求解决问题的路径。可以从简单的特例入手。（很多学生沉思，课堂有点沉闷。是好现象，只要认真思考就好。）终于有学生小声说：分割。并逐渐开始嘈杂起来。（教师鼓励下有学生开始发表自己的见解）
以三棱柱为例，做如图6的分割，由前面的讨论知道分割而成的三个小三棱锥的体积是相等的（为什么）。（教师做动画演示，同时每个位置发一个三棱柱的分割模型，强化学生的感知）
(3)思维拓展：刚才研究的只是三棱柱，那么四棱柱、五棱柱……是否也具有这样的关系特征呢？（把问题抛给学生，引发学生探究）学生们课后可以进一步研讨。
由此我们可以得到锥体的体积计算公式吗？（归纳）（可以引导学生思考其中的逻辑关系）
图6
三、问题升华阶段
能运用所学知识解决数学问题是学习数学的目的，所以把棱台的体积求法也推给学生处理。
1.推导台体体积公式
解决了柱体与锥体的体积问题，那么如何去计算圆台与棱台的体积呢？寻求台体与锥体的体积关系是关键，如何推导台体的体积？需要关注的量有哪些？（上下底面的面积和高，为什么呢）
推导由学生完成，训练学生的运算能力和逻辑推理能力，使学生的理性思维得到展示。形成学生的化归转化思想。其实已进入运用知识解决数学问题的阶段。
2.进一步研讨柱体、锥体、台体体积之间有何关系
（首尾呼应）回首三种几何体的形的关系，寻求其量（体积）之间的关系。让学生去归纳和总结。（可以看出体积的计算上也是存在某种内在联系的，充分让学生去体会，激发学生的探求欲望和科学探究的方法）要求学生仔细研究体积的计算公式，和前面的动画演示有什么关系？寻求快速记忆公式的方法。（讨论后归纳给出如图8的关系图）
柱体、锥体、台体体积公式的关系
图8
例题与练习题的处理在这里不再赘述。
3.思考和感想
(1)数学是感性思维和理性思维的完美融合。其实不论数学的哪个分支，都可以从形的角度去刻画数，用数去解释形。数和形伴随着数学发展的始终。“立体几何”的教学在注重空间位置关系及推理论证教学的同时，也应重视从数量关系去刻画几何元素的位置关系和大小关系。几何体的表面积和体积是很好的载体。
(2)充分挖掘教材，开发“冰山”水面以下的部分。是教教材，还是用教材教。关系到教师的教学现作为教材，更多体现的是“纲”，即学什么的问题，这是冰山露在水面以上的部分。而怎么学（适合教学内容的教法、学法等），学什么（如对知识的探究策略、知识的延伸拓展、解决问题的方法技能技巧等），培养什么样的学生（如学生情感、态度、价值观等）等则是在水面以下，需要老师去开发。比如数学思想方法的研讨与传授就是我们中国数学教学的独特风景。
本节教学内容很少，很多老师可能带着学生读读书，记住几个体积公式，举几个例子，再强化练习一下就过去了。这样做考试的效果肯定也不会差。但是通过研究发现，其内涵很丰富。为了让学生捞足“油水”，精心设计教学过程。从学生熟悉的体积计算公式入手，引导学生阅读祖暅原理，由直立的柱体到斜棱柱，通过研究去发掘数学本质——等底面积等高的圆锥和棱锥的体积是相等的，由圆柱与圆锥的体积关系去类比棱柱和棱锥的体积关系，最后引导学生去推导台体的体积。对问题的阐述先直观感知，再做理性的思考与研讨（课件制作也考虑图形变化时数据的变化情况），整体的课堂设计也本着这样的原则先研讨熟悉几何体的体积之间的关系，最后去结合图形推演台体的体积。整个课堂让学生充分领略数形结合、化归转化、合情推理的魅力。
(3)两点遗憾：一是反思教学过程，教师设计的成分大了些，导致本节课有学生被老师牵着鼻子走的感觉。学生整节课在研究的是老师设计好的问题，按部就班，有可能限制了学生的思维，所以这也是没有学生提出问题及新颖观点的根本原因；二是过多的探究活动占用了太多的时间，最后教学内容没有完成（如例题和练习的处理等）。所以对于一些简单的问题是否可以直接讲解，避免作秀嫌疑，值得商榷。