运用等分点巧解一类几何题，本文主要内容关键词为：分点论文,几何论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
所谓“等分点”，就是能把一条线段等分成若干份的点。在不少较复杂的，难度稍大的几何思考题、竞赛题中，已知或隐含着等分点的条件，这些几何题若用一般常规的方法解答，有的无从下手，有的则不易求解。然而，如果能运用等分点及相关几何知识，便能简捷，迅速地求得解答。现略举数例说明如下：
例1 在正方形内有一点P，将P和边AD、BC的三等分点及边AB、 CD的二等分点，如图1那样连接起来。 求阴影部分的面积与正方形面积的比。
分析与解答 将P点分别与各等分点连接，因为
例2 如图2，已知正方形ABCD的边长为9厘米，E、F、H、G 顺次为四边的三等分点，求空白部分的面积比阴影部分的面积多多少平方厘米？
分析与解答 此题若根据条件分别求出阴影部分及空白部分的面积，然后求两者之差，虽然可以得解，但计算比较麻烦。若将正方形ABCD两组对边相应的三等分点分别连接起来（见图2中虚线）， 则正方形ABCD被等分成9个小正方形。不难看出， 除中间的小正方形（虚线部分）外，四个阴影直角三角形与四个空白直角三角形的面积正好相等，从而求得：
空白部分的面积比阴影部分的面积多的部分，就是图2 中间一个小正方形的面积，即
（9／3）[2]＝9（平方厘米）。
例3 平行四边形ABCD中，E、F为AB边的三等分点，G为AC边上的三等分点（AC＝3GC），三角形GEF的面积是6平方厘米， 求平行四边形的面积。
分析与解答 连接BG，因为E、F为AB的三等分点，所以S[,①]＝S[,②]＝S[,③]，而已知三角形GEF的面积（即S[,②]）是6平方厘米，故S[,三角形ABC]＝6×3＝18（平方厘米），又因AC＝3GC，取AG的中点H，连接BH，则可知S[,△ABG]是平行四边形面积的一半（即S[,△ABC]）的2／3，从而可求得：
S[,三角形ABC]＝18÷2／3＝27（平方厘米），
则S[,平行四边形]＝27×2＝54（平方厘米）。
例4 如图4，已知图中每个小方格的面积都为3平方厘米， 求阴影部分的面积。
分析与解答 解题时可先将小方格的面积缩小3倍， 则小方格的边长为1厘米。然后用一般方法求出缩小3倍后的阴影部分面积， 再扩大3倍便得解。但这种解法比较复杂，若能连接DF、DE，则通过等积变形得：
再利用D、A、G均为等分点，从而不难得出：
S[,阴]＝S[,三角形DEF]＝S[,长方形AGEF]，
即，S[,阴]＝3×6＝18（平方厘米）。
以上四例中等分点都为已知，解题时，只要充分运用等分点进行分解、转化，就能又对又快地探索出解题的捷径。
例5 图5中长方形长与宽的比是3∶2，AC＝1／2CD，DE＝EF，阴影部分的面积是28平方厘米。求长方形面积。
分析与解答 解题时若试图根据条件直接求长方形的长与宽，再求长方形面积是徒劳的。而利用题中间接等分点的条件，添等分点G， 连接BG、BD，则就不难得出下面的解题思路：
例6 如图6，BO＝2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，那么，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？
分析与解答 此题若按常规方法是难以得解的。但如能根据条件“BO＝2DO”，找出等分点E，连接CE、AE，解题思路就明朗了，由“等底等高的三角形面积相等”的性质，可得：
以上两例均含有两线段间的倍比关系，利用这种关系可以找出有关等分点，再通过分解或转换便易于寻找出解题途径。
例7 有一个平行四边形，第一次组成四个小平行四边形， 面积大小见图7；第2次又把这个平行四边形切成四个小平行四边形，见图8， 求S[,1]，S[,2]，S[,3]。
分析与解答 根据图7左列两个小平行四边形的面积分别为4、8，可找出左右一组对边的三等分点，将图7均分成三行（见图7中虚线），则由第一行中4→12，可知8→12×2，从而可得S[,1]＝24。原平行四边形面积为（4+8+24＝）48。再根据图8 左列两个小平行四边形的面积分别为9、12，可找出左右一组对边的的七等分点，将图8均分成七行（见图8中虚线）。而S[,2]+S[,3]为（48－（9+12）＝）27。这样就可由S[,2]占27的3／7，求得S[,2]＝27×3／7＝11 4／7，S[,3]＝27－11 4／7＝15 3／7。
例8 图9是由边长为1米的正方形和一个梯形拼成的。 梯形的上底长1 1／3米，A为上底的中点，B为下底的中点，线段AB恰好是梯形的高，长为0.5米，CD长为1／3米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米。
分析与解答 此题中阴影部分由几个简单图形组成，若分别求它们的面积后再求和比较麻烦。解题时，若能根据题中“正方形边长1 米”、“梯形的上底长1 1／3米”、“CD长为1／3米”及中点等条件的特点，找出FG上四等分点和EG上的三等分点，并如图9中用虚线连接， 则可将阴影部分平均分成八个底是1／3米，高是0.5米的三角形，从而求得：
S[,阴]＝1／2×1／3×0.5×8＝2／3（平方米）。
以上两例中的等分点隐含在题目里，要根据图形及数据的特点，挖掘和找出等分点，用等分法解答就能化难为易，化繁为简。