杨炳兴 岷江东路逸夫学校 四川 德阳 618000
【摘要】非负数有一条重要的性质：有限个非负数的和为0，则每一个非负数均为0。对于这条性质，单纯从数的角度看很好理解，但学生很容易遗忘，只能靠机械重复学习去掌握。非负数性质的题设实际上是一个多元方程，在方程的视角下，非负数的性质与多元方程有唯一解的情形对应起来。通过这种对应，将非负数的性质纳入到了方程知识体系当中。教学上，依据学生已有的方程知识基础，通过探究式、随机进入式的教学，能使学生比较容易地理解掌握非负数的性质。
【关键词】初中数学；非负数性质；方程的解；随机进入式教学
中图分类号：G688.2文献标识码：A文章编号：ISSN1001-2982 （2019）10-065-02
非负数是正数和零的统称。初中数学重点学习的非负数主要有三类：1.任意实数的绝对值|a|；2.任意实数的平方a2；3.任意非负实数的算木平方根(二次根式) (a≥0）。非负数常用的性质有两条：1.有限个非负数之和仍是非负数；2.有限个非负数的和为0，则每一个非负数均为0[1]。对于第一条性质，学生理解与运用的难度都不大，后文将不再探讨。对于第二条性质，表面看似乎也很好理解与运用，但实际上问题多多，除开学优生不论，一般学生往往到毕业时也只会依葫芦画瓢，远达不到理解掌握的程度。
一、教学中出现的问题
（一）学生遗忘快
以新人教版初中数学教材为例（下同），非负数的性质没有在教材中明确提出过，而各种教辅资料则在第一章就有相关的题目出现。学生初次接触非负数的性质，由于没有其他相关知识的干扰，因此依靠教师提示，再通过自己猜测验证，也能很快接受并运用于解题。但是，学生对非负数的这条性质非常容易遗忘，下次见到相应的题目很难与非负数联系起来，又需要给予提示才行，教学效率极其低下。
一般来说，孤立的、缺乏背景的知识点很容易遗忘。科学记数法就是一个典型的例子。不管教学时如何精心用力，一段时间后，许多学生面对问题时又是一脸的茫然无知。非负数在教材里是分散编排的，缺乏统筹安排的教学应是效率低下的主要原因。
（二）机械重复教学
非负数的性质有丰富的知识关联性，能很好地融入一些知识系统，只要教学时机恰当，方法合理，就能取得令人满意的效果。但是，受参考资料及优质课等的影响，非负数的性质作为拓展内容之一，通常在《有理数》一章就会过早呈现于课堂之上。时间过于提前，学生知识储备不足，教学时无从依凭，教师就只好把性质“硬灌”给学生了事。第一章之后，从第六章至第二十二章，有几节内容能跟非负数联系起来，可以再次进入这条性质的教学，但显然已丢失最佳时机，教师不愿给探究的时间，学生也丧失了探究的热情，其最终结果，就仍然是重复一遍性质，再机械地套用格式解题。
二、非负数性质的知识背景
（一）字母表示数
用字母表示数是认识上的巨大飞跃。学生很早就接触到用字母表示数，但真正能体会到代数本质的是《整式乘法》一章。非负数的概念有一个从数到式的转变，这个过程是相对漫长的。
（二）逻辑联结词“且”
非负数性质的运用中要用到逻辑联结词“且”。初中学生思维能力有限，对“且”、“或”的理解往往只停留在日常生活用词层面。即便在高中阶段，也有相当一部分学生理解上有些肤浅片面[2]。
（三）多元方程（组）的解
非负数性质的题设是一个特殊等式，若没有预先指明跟非负数有关，则最初的反应是把它看作方程的。实际上，最适宜的归类就应该是多元方程。学生至少要具备二元一次方程（组）的知识，才能谈得上对非负数性质进行探索研究。
三、非负数性质的教学
（一）恰当的切入时机
非负数性质呈现给学生的时间应该越晚越好。考虑到初中数学教学的现状，提早超前的风气泛滥，把非负数性质的教学安排在《二元一次方程组》一章要相对合理一些。在此之前，尽量回避，维持着那么一丝高深莫测的神秘气息。
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（二）非负数性质的探究
学生学完第8章后会误以为二元一次方程组只有一个解，补充学习另两种情形有助于方程知识体系的完善，对非负数性质的学习也有一定帮助。在此基础上，教师精心设计教学活动，多给学生探究的时间，让学生自主构建起知识间的联结纽带。
1.说一说：下列方程的解的情况
（1）x+y-1=2 （2）x+y-1=0 （3）x+y-1=-2
归纳：任何二元一次方程都有无数个解。
2.议一议：下列绝对值方程的解的情况
（1）|x|+|y-1|=2 （2）|x|+|y-1|=0 （3）|x|+|y-1|=-2
归纳：简单的绝对值方程的解有无穷、唯一和无解三种情形。
3.思考：下列二元二次方程的解的情况
（1）x2+(y-1)2=2 （2）x2+(y-1)2=0 （3）x2+(y-1)2=-2
归纳：简单的二元二次方程的解也有无穷、唯一和无解三种情形。
4.试一试：写出下列方程的解
（1）|x+5|+(y+13)2=0 （2）+(b-100)2=0
归纳：两个非负数的和为0，则每个非负数都为0。
5.思考：下列方程有唯一解吗？
（1）|x+9|-|y+9|=0 （2）x2+y2+1=0 （3）|x-1|+|y-2|+|z-3|=0
归纳：当一个方程可看作是“非负数的和为0”这样的等式时，它才可能有唯一解。
（三）非负数性质的运用
平时教学中涉及非负数性质的内容极少，生疏遗忘在所难免，要在恰当的时机有意识地再进入教学，从多次多角度的拓展运用中对知识加以巩固深化[3]。
在第十四章教学完因式分解之后，可将完全平方公式与非负数性质结合起来进行拓展训练；在第十六章《二次根式》中，完善学生对初中三类重要非负数的认识，归类整理非负数性质的运用题型，规范解题格式；在第二十一章《一元二次方程》的教学中，利用非负数性质让学生明白“且”与“或”的区别，强调它们在书写格式上的不用。
上述的三次随机进入式教学中，对逻辑联结词的理解是一个难点，应多加关注。设计一些对比练习题，可以取得较好的学习效果。比如，同样是x=1与x=2，在方程|x-1|+(x-2)2=0中必须用“且”联结，结果出现矛盾，方程无解；而在方程(x-1)(x-2)=0中该用“或”联结，方程有两个不相等的实数解。
四、结语
单纯从数的角度看，非负数的性质很好理解，这是许多参考资料将其列在第一章的原因。但是，缺乏内涵的孤立知识是最容易遗忘的，靠机械重复学习去掌握又有什么意义。非负数的性质有深刻的内涵和背景，在方程的视角下，非负数性质的题设相当于一个含绝对值、完全平方式及二次根式的特殊多元方程，这个方程的特别之处在于它恰有唯一解，放大到方程体系来看，与无穷解和无解两种情形一对照，这种唯一解就显得非常突出。把非负数的性质比作海上的冰山露出的那一角，让学生一看到它就能联想到水下巨大的冰山体量，这样强烈的对比效果会令人终身难忘。
数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，要尽可能把零散的知识置于整体知识的体系中，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解[4]。
参考文献
[1]谢妮娜.非负数的性质与应用[J].学周刊，2017(27):102-103.
[2]张月红.学习“逻辑联结词”问题例谈[J].中学教学参考，2015(14):16-16.
[3]张爽，范永强.建构主义基本思想及其课堂教学模式[J].通化师范学院学报，2013，34(5)：138-140.
[4]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准( 2011年版)[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
论文作者:杨炳兴
论文发表刊物:《中小学教育》2019年10月2期
论文发表时间:2019/11/27
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