李雅
中国飞行试验研究院 ,陕西西安710089
摘要:针对传统威布尔参数估计方法对于初值要求较高且精度不高的问题,提出了非线性最小二乘法参数估计算法。首先介绍三参数威布尔分布的函数形式;然后阐述了非线性最小二乘法的基本原理;最后采用某机构液压锁寿命数据作为算例验证本文方法,算例表明基于最小二乘法的威布尔分布参数估计精度较高,具有一定的工程应用价值。
关键字: 威布尔分布 非线性最小二乘法 参数估计
前言
瑞典科学家W.Weibull根据两参数威布尔分布构建了而三参数威布尔(Weibull)分布。在估计三参数Weibull分布参数时,现在最常用的方法包括图解法、极大似然法、最小二乘法、线性回归估计法等[3]。其中,图解法操作简单,但估计值精度不高;后三种解析法在样本量较大时,其估计效果较好,但在当拟合的函数为非线性函数时,估计精度将大为下降,从而使得这三种算法面对非线性函数拟合时失去应用价值。为此本文引进非线性最小二乘算法。
非线性最小二乘算法非常适合解决非线性函数的参数估计问题。非线性最小二乘法通过特定的变换方法,将非线性问题转换为线性问题;再得到线性函数估计值后,再根据转换关系式将其转换为非线性函数的估计值。
以某机构液压锁寿命为算例,结果表明非线性最小二乘法参数估计精度较高,具有一定的工程应用价值。
1威布尔分布简介
三参数Weibull分布是一种比较完善的分布,在拟合随机数据方面十分灵活,适应性很强。因此,三参数Weibull分布能更准确地描述疲劳寿命的概率分布,而且,在可靠性研究领域中的几种常用分布,如指数分布、瑞利分布等都可看作是三参数Weibull分布的特例。
若随机变量X服从三参数威布尔分布,则其概率密度函数为:
其中,为Gamma函数。
2 非线性最小二乘法
当模型中拟合参数与被拟合数据之间呈现为非线性函数关系时,就形成非线性拟合。非线性拟合较难处理,有时甚至连解的存在性和唯一性都难以确定。
有些非线性拟合,在通过对拟合参数或/和原始数据的适当函数变换后,能使“变换后拟合参数”与“变换后原始数据”之间的关系呈现为线性形式;则称这种非线性拟合是“非本质的非线性”;而这种变换处理方式称为“伪线性化”。
由于线性拟合方法简单、可靠、快捷。因此,应尽量将非线性问题“伪线性化”处理。
将式(4)可靠度函数“伪线性化”处理后,得
(5)
对式(5),令
则式(4)变形为Y=AZ+B,即为“伪线性方程”。最小二乘法求解三参数威布尔分布的具体步骤如下:
1)由于在Z中值未知,故首先对循环赋值。假设为样本的顺序样本。
2)假设已取定某一值,令,可以得一列。
3) 根据中位秩定理估计样本可靠度(存活率),工程中常用的中位秩公式为,。
4)根据公式得到一列值。
5)对两列数据及运用最小二乘法,根据Y=AZ+B进行一次拟合,求得系数A和B,然后按(7)式烦求。
6)在遍历所有满足条件的值后,找出满足的参数组,此时即为所求威布尔分布的3个参数的最小二乘估计值。
4 算例分析
本文以某机构液压锁为对象,设液压锁有36个寿命数据,并结合可靠度公式对可靠度进行分析整理,结果如下表所示:
图1估计结果及原始数据对比图
5 结论
本文针对三参数weibull分布参数估计的特点,提出了采用非线性最小二乘法计算weibull参数的方法。通过算例分析表明,采用非线性最小二乘法计算的三参数weibull分布精度较好,具有一定的工程价值。
参考文献
[1] Weibull W.A statistics distribution function of wide applicability [J]. Journal of Applied Microelectron, Relab, 1951, 28(4): 613-617.
[2]蒋仁言. 威布尔模型族——特性、参数估计及应用[M]. 北京:科学出版社,1998.
姓名:李雅(1982.11--);性别:女,籍贯:陕西省杨陵人,学历:本科,毕业于西北工业大学;现有职称:工程师;研究方向:可靠性评估;
论文作者:李雅
论文发表刊物:《科技新时代》2019年2期
论文发表时间:2019/4/11
标签:参数论文; 乘法论文; 小二论文; 布尔论文; 函数论文; 估计值论文; 精度论文; 《科技新时代》2019年2期论文;