李雅
中国飞行试验研究院 ，陕西西安710089
摘要：针对传统威布尔参数估计方法对于初值要求较高且精度不高的问题，提出了非线性最小二乘法参数估计算法。首先介绍三参数威布尔分布的函数形式；然后阐述了非线性最小二乘法的基本原理；最后采用某机构液压锁寿命数据作为算例验证本文方法，算例表明基于最小二乘法的威布尔分布参数估计精度较高，具有一定的工程应用价值。
关键字： 威布尔分布 非线性最小二乘法 参数估计
前言
瑞典科学家W.Weibull根据两参数威布尔分布构建了而三参数威布尔（Weibull）分布。在估计三参数Weibull分布参数时，现在最常用的方法包括图解法、极大似然法、最小二乘法、线性回归估计法等[3]。其中，图解法操作简单，但估计值精度不高；后三种解析法在样本量较大时，其估计效果较好，但在当拟合的函数为非线性函数时，估计精度将大为下降，从而使得这三种算法面对非线性函数拟合时失去应用价值。为此本文引进非线性最小二乘算法。
非线性最小二乘算法非常适合解决非线性函数的参数估计问题。非线性最小二乘法通过特定的变换方法，将非线性问题转换为线性问题；再得到线性函数估计值后，再根据转换关系式将其转换为非线性函数的估计值。
以某机构液压锁寿命为算例，结果表明非线性最小二乘法参数估计精度较高，具有一定的工程应用价值。
1威布尔分布简介
三参数Weibull分布是一种比较完善的分布，在拟合随机数据方面十分灵活，适应性很强。因此，三参数Weibull分布能更准确地描述疲劳寿命的概率分布，而且，在可靠性研究领域中的几种常用分布，如指数分布、瑞利分布等都可看作是三参数Weibull分布的特例。
若随机变量X服从三参数威布尔分布，则其概率密度函数为：
其中，为Gamma函数。
2 非线性最小二乘法
当模型中拟合参数与被拟合数据之间呈现为非线性函数关系时，就形成非线性拟合。非线性拟合较难处理，有时甚至连解的存在性和唯一性都难以确定。
有些非线性拟合，在通过对拟合参数或/和原始数据的适当函数变换后，能使“变换后拟合参数”与“变换后原始数据”之间的关系呈现为线性形式；则称这种非线性拟合是“非本质的非线性”；而这种变换处理方式称为“伪线性化”。
由于线性拟合方法简单、可靠、快捷。因此，应尽量将非线性问题“伪线性化”处理。
将式（4）可靠度函数“伪线性化”处理后，得
(5)
对式（5），令
则式（4）变形为Y=AZ+B，即为“伪线性方程”。最小二乘法求解三参数威布尔分布的具体步骤如下：
1）由于在Z中值未知，故首先对循环赋值。假设为样本的顺序样本。
2）假设已取定某一值，令，可以得一列。
3） 根据中位秩定理估计样本可靠度（存活率），工程中常用的中位秩公式为，。
4）根据公式得到一列值。
5）对两列数据及运用最小二乘法，根据Y=AZ+B进行一次拟合，求得系数A和B，然后按（7）式烦求。
6）在遍历所有满足条件的值后，找出满足的参数组，此时即为所求威布尔分布的3个参数的最小二乘估计值。
4 算例分析
本文以某机构液压锁为对象，设液压锁有36个寿命数据，并结合可靠度公式对可靠度进行分析整理，结果如下表所示：
图1估计结果及原始数据对比图
5 结论
本文针对三参数weibull分布参数估计的特点，提出了采用非线性最小二乘法计算weibull参数的方法。通过算例分析表明，采用非线性最小二乘法计算的三参数weibull分布精度较好，具有一定的工程价值。
参考文献
[1] Weibull W.A statistics distribution function of wide applicability [J]. Journal of Applied Microelectron, Relab, 1951, 28(4): 613-617.
[2]蒋仁言. 威布尔模型族——特性、参数估计及应用[M]. 北京:科学出版社,1998.
姓名：李雅（1982.11--）；性别：女，籍贯：陕西省杨陵人，学历：本科，毕业于西北工业大学；现有职称：工程师；研究方向：可靠性评估；
论文作者:李雅
论文发表刊物:《科技新时代》2019年2期
论文发表时间:2019/4/11
标签：参数论文; 乘法论文; 小二论文; 布尔论文; 函数论文; 估计值论文; 精度论文; 《科技新时代》2019年2期论文;