思维提升：本真数学教学的课堂价值取向——函数的恒成立与存在性问题研究教学实录与反思，本文主要内容关键词为：本真论文,函数论文,性问题论文,价值取向论文,数学教学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、基本情况
2013年10月，笔者以“本真课堂范式的研究”为主题，面向课题组区域成员和启东市数学教师上了一堂高三“函数的恒成立与存在性问题”的研究课.
授课对象 学生来自四星级高中普通班，基础较好，有一定的推理能力及研究能力，能在教师的引领下自主探究和思维建构.
学习目标 （1）理解有关恒成立与存在性问题成立的充要条件，掌握解决此类问题的基本技能；（2）体验函数思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想，提高分析和解决问题的能力.
教学重点 理解恒成立与存在性问题的实质.
教学难点 利用函数的性质，通过转化，化归至最值问题或值域问题，以此来处理恒成立与存在性问题.
二、设计理念
审视现实的数学课堂，基于功利性的需要和认识的偏差，课堂中去数学化现象十分普遍，快速度、大容量、高难度的训练让学生不能慢中求悟、悟中求道，更不能从题目中提炼出有价值的问题并加以思考和探究，所以数学学习往往带给师生艰辛、苦涩、失败的感觉.
本真数学教学倡导教学的自然合理、朴实无华，提倡通过学习主体性的构建，通过观察、分析和探究进而实现思维的提升.本节课力求追寻数学教学的本原意蕴，不求特别新颖的问题情景，通过在课堂上设计题根问题，然后就此问题进行“联”“串”“变”，通过层层问题的设置，点燃学生的思维火花，循序渐进地发展学生的数学素养，最终达到对问题本质的理解和掌握.
函数的恒成立与存在性问题，是学生在复习函数和导数后的一个专题，是函数性质的综合应用，涉及一次函数、二次函数等函数的图象、性质，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，所以本节课将从一次函数出发，然后逐步串发到二次函数、三次函数，用相近的思想方法去解决同一类问题.
三、教学实录
1.自然串发，本真梳理
师：在研究函数问题时，我们经常会遇到恒成立与存在性问题，谁能告诉我解决这类问题的方法？
生：好像可以转化为极值问题来解决.
生：好像可以通过分离参数来解决.
师：很好.用上述两种方法能不能解决所有的这一类问题？今天这一节课，我们一起来研究这一类问题的解法，我们从一次函数和二次函数开始梳理.（出示课前要求学生研究的题目）
问题1 已知函数
，对任意x∈[1，2]恒有f（x）＞0，求实数a的取值范围.
师：课前各个小组都进行了研究，下面大家把研究的成果共享一下.
甲组边实物投影展示边讲解：根据单调性，对a进行分类讨论，当a=0时，显然，恒成立，当a＞0时，考虑f（2）＞0，当a＜0时，考虑f（1）＞0，结果为a＜
.
生：这么做好像有点烦.我认为同时考虑
，即可.
师：为什么？
生：本题的实质是考虑
＞0，而一次函数在闭区间上的图象是一条线段，最小值必然从两端点处取得，所以只需考虑两端点处的函数值为正即可.
师：对吗？
生众：对.
师：如果题目改为“恒有f（x）＜0”，我们又将怎么办？
师：看来同学们对一次函数的恒成立问题已经有所掌握，只要结合图象考虑两端点的函数值.那么，对于二次函数我们又将如何处理.（出示课前的研究题，将问题1改编的问题2）
师：可行吗？
生众：可行.
师：两种方法都是将恒成立问题转化为函数的极值问题来解决，那能不能用同样的方法来解决第（2）问.
师：通过上面两个问题的解答，我们能否总结出一些结论来.
生：老师，我有更简单的方法.由f（x）的图象是开口向上的抛物线，只要考虑f（1）＞0或f（2）＞0即可.（多数同学一开始有些迷惑，一会儿便恍然大悟）
师：这是从方程有根的角度得来的，但这只能解决开口向上的抛物线的存在性.我们是否为这位同学的精彩思路鼓掌？（学生们鼓掌）
师：开口向下的抛物线，用这种方法可以解决f（x）＜0的存在性问题，此问题留给课后思考.
2.借石攻玉，本真探究
师：一次函数和二次函数我们做了研究，能否用同样的方法来解决三次函数问题呢？
学生小组进行讨论，教师巡视并指出部分同学的问题.
丁组结合实物投影讲解：
师：丁组的同学们做得很好.但我刚才在巡视的过程中发现部分同学对用导数求极值还不太熟练，希望大家要多加训练.
师：这道题和前面两道题的解法一样，都是通过最值来解决恒成立问题为了进一步加深对三次函数的理解，同学们是否对其进行一下变式？
生：变式1 已知函数
，存在x∈[1，2]，有f（x）＞0，其中a＞0，求实数a的取值范围.
师：同学们自己都会变式了，那么我们就来解一下.
生：（笑，然后埋头做题，很快有人报出了答案）a＜
.
师：还有更多的变式吗？
（学生沉默，个别同学摇头）
师：刚才大家都集中在一个函数的研究，有时，我们可以把视野放远一些，我们可以研究两个函数，解决他们的存在性和恒成立问题.
生（恍然大悟）：见过这类题.
师：我给同学们来一个变式，大家看看怎么样？
师：大家看一下题目，两问之间有什么不同？
生：第（1）问中的x值是相同的，第（2）问中的x值不一样.
师：好，大家看出了不同，那么对求解有无影响？和前面讲的内容有无联系？
生：第（1）问我们可以转化为一个函数来研究，如令h（x）=f（x）-g（x），下面研究h（x）＞0恒成立即可.
师：这种方法是可以的.我们往往把其中的一个函数移项，构造一个新的函数，然后利用求导求函数的最值来解决.那第（2）问呢？
生：我不太确定，由于x值的不同，是否单独研究两个函数？
师：大家帮他一下.
生众：正确.
师：小组一起来把这个问题解决了.
（同学们以小组为单位进行求解）
师：这个问题的定位是任意性问题，如果变为存在性问题，我们应该又多了一种变式，关于本题的解答及有关的变式请以小论文的形式上交.
3.联中见源，本真反馈
师：刚才和同学们一起研究了恒成立与存在性问题，大家对此有了新的认识，下面通过自我编题，一起来回顾一下本节需要我们掌握的东西.
问题4 请根据题意自我编写题目，并进行解答！（在空格______处填写“任意”或“存在”）
（2）在（1）的情况下，求实数a的取值范围.
学生以小组为单位进行编题解题，并伴有讨论.教师巡查，并不时参与讨论.
师：各个小组都进行了自我编题.我看了一下，总共有四种情况，哪组出来说一下.
师：这四种情况实质就是我们本节课研究的主要内容.
师：最后再请大家对这四种情况整理一下思路和解法.
4.全课小结，布置作业（略）
四、回顾与反思
1.本真数学教学的追求
“本真数学教学”的含义就是尊重客观，适应规律，以人为本，教人求真.这里的“本”指的是本质的“本”，根本的“本”，本源的“本”，指的是客观实际，指的是人，是指以学生的发展为本；这里的“真”指的是真实，即规律，指的是课堂教学的真实.
数学的育人本分，是培养学生的思维习惯，发展理性精神.从这一点上来讲，数学是一个慢中求悟、自然生成、不断探索的过程.所以，本真数学教学力求平淡地、简约地、扎实地、轻松地教数学，以学生已有的知识为起点，朴素地追问数学问题，自然地逼近数学本质，以此从获得知识到拥有智慧.
本节课没有花哨的教学手段，没有空泛的教学活动，只有教师关键处的点拨，师生间思维的相互交流，整节课充满了对学生研究习惯的关注.本节课中，由一次函数到二次函数，再到三次函数的研究，从简单数学模型的开始串发，无不体现了对学生的尊重，然而目标清晰，始终不离恒成立和存在性两种模型的问题解决，这种课堂才是数学应有的课堂，这样的思考才是体现了数学本质的思考，这样的思维才会是有价值的提升.
2.本真数学教学的手段
数学教学就是思维活动的教学，数学思维的形成源自对有关知识内容的整合，源自由彼及此，由此及类的拓展，源自在形与质的异同的识别中反思，采用最合适的手段让学生理解、把握数学概念的最核心内容.
本真数学教学遵循最近发展区理论，倡导从学生已有或熟知的内容出发，组织学生自主探索、合作讨论，交流展示，让学生在探究活动中领悟数学变换的魅力，发展推理能力和运算能力.经验告诉我们，经常性的发现和创造会极大地提升学生学习数学的信心和兴趣，同时也会使得学生的创造性思维得到长足的发展.
本节课中，问题的串发是一个熟悉的一次函数模型，当以此为基础而构造的二次函数、三次函数和两个三次函数呈现于眼前的时候，学生直观看到了其中的变与不变，正因为这些变与不变，吸引了学生探究的更大热情，在问题3的变式2中，两种完全不同的知识结构也会让学生最大限度地防止解题中的误区，而当开放式的问题4得以求解的时候，本节课的教学目标也得到了最大可能地完成.这种基于熟悉模型的“串”“联”“变”是开放的思维形式和收敛的思维形式完美结合的典范，也是本真数学教学的必用手段.
3.本真数学教学的价值
数学学习需要积极的思维活动及对结果的正确验证，这会对学生的学习产生积极影响.没有思维就没有数学，学生的思维活动是课堂的灵魂，思维的深度是在师生思想的交锋中不断加强的，思维有交锋、有深度，课堂才有活力和灵气，也只有在判断真假、你争我论中理性精神才能得以发展，能力才能得以提升，兴趣才能得以提高.本真数学教学采用的习题串可以发挥习题的功能，促进技能性思维定势的正迁移，提高教学的有效性.采用的借石攻玉可以使学生获得对概念的多角度理解，进而建立新概念与已有概念的本质联系；采用的联中见源，可以展示知识的发展和形成的过程，从而理解知识的来龙去脉，形成知识网络，加深对问题本质的理解.
返璞归真，贴近学生实际，尊重学生的认知基础，这是让学生获得体验、产生学习数学积极情感的重要途径.只有学生对学习数学有积极情感，才会主动探索，积极思考.本真数学教学采用在具体的问题解决中，不断进行或猜测、或实验、或类比、或归纳、或联想、或检测的多种手段，从而拓展了思维的宽度，也会让学生建立起有效的数学解题模型，为后续学习增添动力.
教师课堂上所做的一切，最终都得由学生自己去实施.不管教师课堂上讲了多少，讲得多巧，如果学生不能面对具体问题，教学是无效的.本真数学教学遵循课堂教学的过程，是让学生掌握知识的过程，更是帮助学生解决问题、掌握解决问题的思路与方法的过程，所以教师的作用是在关键处引发学生提出新的问题，只有“问题不止，思考不断”，这样的课才能教给学生一生有用的数学，才能为学生奠定一生有用的学习研究习惯.
总之，思维的提升是数学课堂教学的价值，为此需要数学教学回归本真，愿这样的思考为数学教学带来别样的精彩.