福建省福清第三中学 350300
摘 要：本文从安振平老师的26个不等式文中提出第3个不等式进行求证推广，将具体的证明过程进行了具体的分析，以能够在今后的教学中作为同仁的借鉴。
关键词：不等式 优美 证明 推广
安振平老师在文中提出了26个优美不等式，引起了众多不等式爱好者的广泛关注。本文拟对第三个优美不等式做一些研讨。
不等式（3）： 设a，b，c∈R+求证：
+ + ≥a+b+c ①
利用权方和不等式，华中师范大学的杨春波与程汉波两位老师在其博客（http://blog.sina.com.cn/ccnu0907）上贴出了式①的一个证明，此处笔者拟给出式①的推广。
推广：设a，b，c∈R+，n∈N+，n≥2，则
+ + ≥an-1+bn-1+cn-1②
证明：当n=2，即式①已证成立。当n=3，由柯西不等式得（∑a b2-bc+c2）∑ ≥（a2+b2+c2）2，
∑ =∑ a· a（b2-bc+c2）≥
∑a·∑a（b2-bc+c2），
则∑ ≥ ≥，从而只需证明 ≥a2+b2+c2，
等价于证明（a2+b2+c2）2-∑a·∑a（b2-bc+c2）≥0，等价于∑a2（a-b）（a-c）≥0，由Schur不等式[（设a，b，c≥0，r∈R，则∑ar（a-b）（a-c）≥0）]得其成立。
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当n≥4，式②∑[ · ]≥1。记f（x）= （x＞0），可求f″（x）= x-5/2＞0，由Jensen不等式得∑[ · ]
=∑[·f（a-2（b2-bc+c2））]
≥f（∑ ）=f（ ），
则只需证明f（ ）≥1，
即证f（ ）≥f（1），注意到f（x）关于x在其定义域内单调递减,则只需证≤1,或证∑an-1+∑an-3≥∑an-3（b2+c2） ③
由Schur不等式得∑an-3（a-b）（a-c）≥0，展开得∑an-1+∑an-3bc≥∑an-2（b+c），则要证式③，只需证明∑an-2（b+c）≥∑an-3（b2+c2） ④
当n=4，式④等价于∑a（a-b）（a-c）≥0，显然成立。当n≥5，由式④的对称性，不妨设a≥b≥c。记g（a）=∑an-2（b+c）-∑an-3（b2+c2），
则g`（a）=（n-2）an-3（b+c）+bn-2+cn-2-（n-3）an-4（b2+c2）-2a（bn-3+cn-3）
=（n-3）an-4（ab+ac-b2-c2）+（an-3b+bn-2-2abn-3）+（an-3c+cn-2-2acn-3）
≥0+2（ an-3bn-1-abn-3）+2（ an-3cn-1-acn-3）≥0，
从而g（a）≥g（b）=2（bn-2c+cn-2b-bn-3c2-cn-3b2）=2bc（bn-4-cn-4）（b-c）≥0，式④成立。
综上，式②成立。
参考文献
[1]安振平 二十六个优美不等式[J].中学数学教学参考（上），2010，（1-2），136，143。
[2]姚勇 陈胜利 用Schur分拆方法证明不等式竞赛题[J].中等数学，2007，（12），6-10。
论文作者:黄建德
论文发表刊物:《中小学教育》2018年第316期
论文发表时间:2018/4/20
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