数学活动经验的积累与运用，本文主要内容关键词为：数学论文,经验论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
以往关于数学活动经验的研究有两个主要特征：一是注重数学活动经验理论层面的研究；二是注重数学活动经验积累的研究，这些研究是非常必要的.当数学活动经验进入数学课程标准并被广大教师认同和接受以后，不仅要在理论层面上弥补教师的认识盲点，更要在实践层面上回应教师的操作挑战.另外，已有的研究基本上是探讨数学活动经验积累的问题，对数学活动经验运用的研究很少，如史宁中认为经验的积累是个体创新的基本条件之一，经验的积累与知识的掌握、思维的训练一起构成了创新能力的基础[1].数学教师更加关注以下问题：数学活动经验能否在学生后继数学知识学习中发挥积极作用？这一问题的本质就是数学活动经验的运用. 因此，数学活动经验研究应该做出两个转变：第一，积极关注数学活动经验实践层面的问题，即教师应做怎样的努力才能使学生能够获得数学活动经验，这样就能使悬置的理论找到实践的锚点，使理论不再只是写在纸上的文字符号；使美好的理念找到操作的抓手，使理念不再只是挂在嘴上的空洞口号.第二，积极关注数学活动经验运用的问题，在数学活动经验“从哪里来”的基础上探究数学活动经验“往哪里去”.本文在明确数学活动经验的核心是数学思维活动经验的基础上，以函数性质的概念学习为例，在实践层面和运用取向的结合点上探讨数学活动经验积累和运用的问题. 一、数学活动经验的核心是数学思维活动经验 研究数学活动经验首先必须明确什么是数学活动.当前，研究者对数学活动的认识与理解存在着一定程度的差异，可谓仁者见仁、智者见智[2].由于认识存在差异，加上分类标准不一，数学活动分类多样、数学活动名称庞杂就不可避免.也就是说，研究者实际上是在相同的概念名称下探讨不同的研究问题.当然，从不同的角度研究数学活动，有助于人们对数学活动的深入认识和深刻理解.其实，数学活动分类多样、名称庞杂，主要原因在于数学活动本身的复杂性.因此，对数学活动的分类不宜过细.史宁中提供了一种二分法，即将数学活动分为操作活动和数学思维活动[3].很多研究者提到的数学活动都可以归属到上述两类活动之中. 有研究者将操作活动和数学思维活动置于同等重要的地位，甚至在一定程度上凸显了以下认识：操作活动比数学思维活动更重要.这也许是因为操作活动是可见的，能够直接观察，比较容易把握，而数学思维活动则相反，所以就下意识地将研究的目光转向了可见部分. 在数学学习过程中，确实存在很多的操作活动.例如：针对实物的操作，给学生一个纸做的等腰三角形，要求学生发现等腰三角形的性质，学生对三角形剪一剪、撕一撕、折一折、拼一拼的活动，用量角器测量角度大小的活动，用刻度尺测量线段长度的活动.又如：针对数学符号或者数学公式的操作，给学生呈现一个具体的方程，要求学生找出方程的解，学生在草稿纸上进行的演算、推导等操作活动.无论是针对实物的操作，还是针对数学符号的操作，这些操作活动都不是一种盲目的“试误”活动，而是受到思维的引导和支配的活动，个体在操作之前就要思考，在操作过程中也要思考，在操作之后还要思考. 数学学习中的操作活动与数学思维活动是无法分离的，操作活动虽然是一种外显的活动，但这只是一种表象，这种外显的活动必然受到个体内部思维的引导和支配.也就是说，个体内部的数学思维活动决定着外部的操作活动.个体怎么想的，就是怎么做的；个体怎么做的，就能知道他是怎么想的.例如：我们所看到的学生在解方程时每一步的书写都是学生对方程变形思考的结果.又如：在学生开始学习几何证明时，我们总是要求学生在结论后面的括号内注明理由，其实质是将学生操作活动（写出结论）后面的数学思维活动外显出来，即是以注明理由的方式显化学生操作活动背后的数学思考.关于操作活动与数学思维活动的不可分离性，Theodossios Zachariades等人也做过类似的论述：“当学生在完成一个特定的任务时，操作是可以观察的，但操作的认知基础——图式是无法看见的，但是可以从学生的操作活动推知出来.在这个意义上讲，动作和思维是紧密相关的，操作可以看成图式的反映”[4].基于上述分析，我们认为数学活动的核心应是数学思维活动，数学活动经验的核心应是数学思维活动经验. 二、数学活动经验积累与运用的基本过程 从已有数学活动经验的研究看，很多都是研究关注数学活动经验的积累，却很少有研究关注数学活动经验的运用.从数学活动经验积累的角度看，如同数学知识的掌握、数学技能的习得一样，“数学基本活动经验的积累是一个长期的过程.数学活动经验要靠积累，积累需要一个过程，不能指望一两次活动就能完成”[5].“因此，应当把活动经验的积累看作是一个长远的目标，持续不断地组织学生参与数学探究的过程，逐步形成数学活动经验”[6].数学活动经验积累是一个从“模糊经验”到“清晰经验”的过程，从“较少经验”到“丰富经验”的过程，这个过程也需要借助数学活动经验的运用来实现.从数学活动经验价值的角度看，数学活动经验应该在学生发现和建构新知识的过程中发挥积极作用，数学活动经验只有通过运用才能显现它的威力和价值.数学活动经验怎么积累、怎么运用？这二者之间又是什么样的关系？笔者以函数性质的概念学习为例，描述和刻画数学活动经验积累与运用的基本过程. 函数的性质是函数知识的一个重要内容.在高中阶段，主要研究函数的单调性、奇偶性和周期性；在大学阶段，要进一步研究函数的有界性和凹凸性.其中，函数的单调性是第一个引入的概念.很多教师在函数单调性的教学时，快速引入函数单调性的概念，匆忙进入函数单调性的判断，并将学习的重点放在怎样判断函数在给定区间上的单调性上，然后基于若干具体例子提炼函数单调性的判断步骤，最后用精练的语言进行概括，以方便学生记忆和运用. 其实，函数单调性的判断方法是由函数单调性的概念得来的，学生只有理解了概念，才能更好地掌握判断方法，因此应将函数单调性的概念的形成过程作为学习的重点.也就是说，学生应该经历抽象概括函数的单调性概念的数学活动，这个活动的核心是为函数图象上升或下降的几何直观特征“寻找”抽象简洁的代数刻画.这个“寻找”过程必须让学生亲身经历，亲自参与.在这个过程中，学生可能会犯错误，会走弯路，会花费一定的时间，会耗费一定的精力.关键的是，这个过程要有学生认知的投入、思维的参与，哪怕这个过程一路走得跌跌撞撞.学生只有在参与和经历了这个“寻找”过程，才能得到思维的训练，才能提炼、形成函数单调性的概念，产生建构新的数学概念的喜悦感，积累抽象函数单调性概念的数学活动经验——怎么寻找函数图象几何特征的抽象简洁的代数刻画. 数学活动经验初次积累以后，并非将其束之高阁，一方面要充分发挥它在学习新知识方面的积极作用，另一方面还要在相同的、类似的数学活动中再次积累，直至形成深刻的、丰富的数学活动经验.以函数单调性的概念学习为例，在函数单调性的概念学习的过程中积累数学活动经验，这种经验能否在函数其他性质的概念学习过程中发挥积极作用，这种经验能否再次积累，为此我们对函数性质的概念做统一的分析（下页表1）. 由表1知，所有函数性质概念的学习活动本质是相同的，都是用抽象的代数式去刻画函数图象的几何特征.在明确所有函数性质、概念的学习活动本质是相同的基础上，就可以互为所用、相互促进的方式同时实现数学活动经验的积累与运用，基本过程如下页图1所示.
通过图1可以看出：第一，数学活动经验的积累和运用是融为一体的，积累数学活动经验就是为了运用数学活动经验，就是要运用这些数学活动经验去引导和促进学生“再发现”“再创造”新知识.在运用数学活动经验“再发现”“再创造”新知识的过程中，学生又能再次积累数学活动经验，这样经验就会逐渐丰富起来.在数学学习过程中，数学活动经验既有自己积累的轨迹，也有自己运用的路径，这个过程既不是盲目地积累，也不能停留于积累，而要让积累的数学活动经验在新知识学习过程中发挥积极的、重要的作用，正是在数学活动经验积累与运用互为所用、两相促进的过程中，数学活动经验在不断地充实和丰富. 第二，学生在参与和经历数学活动的过程中，能够直接获得一些数学活动经验，但是这些经验一开始会处于懵懂、模糊的状态，有必要对所经历的数学活动通过回顾、反思等内在的思考，将其内化为合乎逻辑的经验，实现“感性经验”向“理性经验”的转型，实现“个性经验”向“科学经验”的升级，并在新的情境中进行证实并加以运用，在证实和运用中再次积累数学活动经验，并与先前积累的数学活动经验自动地对接与融合，在不断循环往复的过程中多次实现经验的充实和深化.科尔比关于经验学习理论有类似的观点，即处于理想状态的经验至少要经过具体经验、反思性观察、抽象概括和主动实践四个阶段的循环过程才能完成”[7].因此，数学活动经验积累不是一次性就完成了，而是在积累与运用的多次反复过程中，逐渐从“模糊—稀少”走向了“清晰—丰富”的状态. 第三，在数学活动经验积累和运用的过程中，数学活动经验会越来越丰富，数学活动经验的运用会越来越自如.更为重要的是，随着时间不断地向前变化，数学活动经验的积累与运用将会悄然换位.也就是说，随着时间的推移，数学活动经验积累的意味越来越浅，会逐渐淡出学生认知的中心，它不再是学习的主要目标；数学活动经验运用的味道越来越浓，会逐渐成为学生思维的焦点，进而成为发现和建构新知识的基本方式，这个过程可用图2直观表示.
三、数学活动经验积累与运用的教学挑战 数学活动经验积累与运用的主要方式就是让学生亲身经历数学活动的过程，所以教师要为学生设计一系列的数学活动.“数学活动经验是在活动中产生的，因此使学生获得数学活动经验的核心是要提供一个好的活动”[8].我国数学课程改革的一个基本理念是：“有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者”[9].教师设计数学活动、学生参与数学活动是落实数学课程改革这一理念的主要方式.为此，教师必须要从“学”向“教”转变，从“教学设计”向“学习设计”转变，从“教程设计”向“学程设计”转变.下面从学情分析、教材分析、目标设计、学程设计四个方面分析教师在数学活动设计中面临的挑战. 1.学情分析 在教学设计理论中，学情分析是重要的一个环节.在学程设计中，学情分析这一环节更加重要.学习过程主要是学生的数学活动在时间和空间上的起承转合，数学活动必须让学生亲自参与、亲身经历，其基本前提是对学生基本学习状态的全面把握，尤其是对学生数学活动经验情况的准确了解.但是，“在大多数教师的备课中，对学情的分析只停留在对学生数学客观性知识和技能掌握情况的分析上，停留在学生的一般心理特征分析上，新知识学习时，见不到从数学角度对学生的原有认知结构中的数学活动经验进行分析与联结.数学学习的类似性使得储存在学生头脑中的数学活动经验具有很强的迁移性和认同性，这些带有个人认知特征的经验在学习新知识时没有受到重视.在各种说课比赛中，教师对学情的分析也是这样”[10].可见，在教学实践中，学情分析环节对学生数学活动经验的分析做得很不够. 在以数学活动经验积累和运用作为学习目标之一的学习过程设计中，教师在学情分析环节应做到以下三点：第一，必须将学生数学活动经验分析纳入学情分析的范围，将其提升至与数学知识、数学技能、数学学习心理特征分析同等重要的地位；第二，教师应掌握学情分析的策略和方法，特别是学生数学活动经验分析的策略和方法；第三，教师应能运用数学活动经验分析的策略和方法，结合新知识的学习要求，梳理和明晰学生所具有的数学活动经验，这样才能在学生现有数学活动经验的基础上，合理制订新的学习目标，有效设计新的数学活动. 2.教材分析 数学教学活动以数学教材为主要载体，因此教材分析是学程设计的关键环节.分析教材一般可以按全书、领域、章节、课时等不同的层次进行，通常采取从宏观到微观的由大到小的视野，从粗糙到精致的渐渐入微的思路，从整体到局部逐步深入的方法.教材分析内容非常丰富，如教材编写意图和特点、知识结构及其深度和广度、知识整体定位、各个部分教材特点、知识有关价值、教材目标要求、教材重点和教材难点等.在以往教学设计中，教材分析有两个基本特征：一是局限于知识层面的分析；二是服务于教学过程的设计. 在以数学活动经验积累和运用作为学习目标之一的学习过程设计中，仅做上述分析是不够的，不仅要分析教材中数学知识层面的内容，更要以犀利的眼光揭示数学知识可能蕴涵的数学活动；不仅要考虑教师教学活动的安排，更要关注学生学习活动的设计. 以前有一个比较流行的提法，将“冰冷的美丽”恢复为“火热的思考”，这实际上是针对数学教师提出来的.但对学生来说，数学是不是“美丽”、数学是不是“冰冷的美丽”不是最重要的.重要的是，学生要有“思考”的机会，特别要有“火热的思考”的机会.这个机会需要教师创造和提供，教师应通过教材内容的分析，化“知识”为“活动”，让“静”能“动”起来.因此，教师应将教材上逻辑化、关联性的数学知识转化为序列化、结构化的数学活动，这样既为学习目标的制订找到了重要依据，又为学习过程的设计准备了核心组件. 3.目标制订 学习目标对教师的教学决策有重要的导向作用，“学校里的学习活动是典型的目标导向行为……就教师的作用而言，目标使教师有机会说明教师希望通过教学让学生学会什么并满怀希望地以此组织教学.”[11]，制订学习目标学习过程设计的主要环节，它对学习过程的构思和设计、对数学活动的链接和组织有重要的影响.但从已有的研究成果和实践进展看，学习目标的制订还存在不少认识和技术问题需要进一步研究解决.制订科学合理而又切实可行的学习目标，应对政策（课程标准、学科教学指导意见、教材及其配套的参考书、考试说明）、学情（个人背景、已有知识基础、学段关联知识要求）和实践（长期积累的教学经验、具体教学实践尝试）等多重依据进行研究，打通政策要求、学情基础与教学实践的联系[12]. 在以数学活动经验积累和运用作为学习目标之一的学习过程设计中，教师应在分析学生已有数学活动经验的基础上，同时结合教材分析环节对数学知识可能蕴涵的数学活动的明晰和显化，确定数学活动经验积累的具体的、可行的目标，包括首次积累全新的数学活动经验的目标和再次积累原有的数学活动经验的目标.数学活动经验积累作为学习目标之一正式确立以后，既充实和完善了知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观三维目标体系的内容，使教学目标真正形成了三者并行的基本态势，也体现和落实了基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验的课程总目标的要求，使课程总目标切实走向结果与过程并重的二维结构. 4.学程设计 学习目标一旦确定下来，就应考虑这些目标如何有效实施，这就进入了学习过程设计的环节.学习过程设计的核心任务是拼装和组合在教材分析环节所确定的数学活动，即从学生学习的角度考虑数学活动在时间和空间上的承启和对接.教师此时所要做的就是为学生设计一系列对接而不脱节断档、具有新意而不简单重复的数学活动，具体就是“为实现学习目标而设计一系列有逻辑关系的主要教学环节——它们是为达到学生的学习目标而开展的一系列‘教’与‘学’的任务，可能是教师呈现的问题情境，可能是针对不同层次目标的系列例题和练习题，甚至可能是要求学生独立完成的系列任务（如课内外作业）等”[13].以上是从教师的角度提出的教学活动，其实教师的每一个教学活动都对学生学习提出了要求，都对应着学生的数学思维活动.教师呈现问题情境，学生就要基于问题情境启动思考；教师提供系列例题和练习题，学生就要寻求解决问题的策略和方法；教师布置独立完成的系列任务，学生就要通过独立思考完成这些任务.只有教师基于教材上的数学知识设计条理化、结构化的数学活动，并在数学教学过程中渐次展现，学生才能经历前后联动、逻辑关联的数学活动，真正经历“冰冷的美丽”之后“火热的思考”的过程. 在以数学活动经验积累和运用作为学习目标之一的学习过程设计中，依据数学活动经验积累与运用不同的侧重点，大致可将学习过程设计分为两类，一类是以数学活动经验积累为目标（包括以数学活动经验积累为主）的学程设计，另一类是以数学活动经验运用为目的（包括以数学活动经验运用为主）的学习过程设计.在后者学习过程设计中，必须要充分运用学生已有的数学活动经验促进新知识的“再发现”和“再创造”，以往学习过程设计总是认为学生在开展新知识学习的数学活动时，数学活动经验总是从零开始，导致学习活动设计不必要的重复，在学习过程中过多浪费时间，更为可惜的是学生错失了认知挑战的机会.
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