IBDP数学课程与高中数学课程的比较与启示_数学论文

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      国际文凭组织（International Baccalaureate Organization，简称IBO）是在联合国教科文组织注册的国际非盈利性教育组织，它是由IB培养目标引领的，关注学生全人发展的教育组织.IBO创立的目的是开创一种全球认可的统一的课程体系和标准，在六任IBO总执行官的领导下，历经四十多年的发展和完善，目前有来自146个国家的3，631所学校经过严格的认证成为IBO成员学校，有超过1116000名3～19岁的学生正在接受国际文凭课程的教育.

      目前国际文凭组织共开设有四个国际教育项目，分别对应我国的小学、初中、普通高中和职业高中.其中普通高中项目称为大学预科项目（IBDP），它是一种被全世界一百多个国家和地区数千所大学广泛认可的国际教育项目.IBDP课程凭借其丰富的课程设置、先进的教育理念和高素质“全人”教育的目标成为国内众多开设国际课程的公办高中的首选.

      一、IBDP数学课程

      IBDP数学学科组课程是普通高中教育项目中重要的课程，从培养目标、内容、评价等方面形成了完备课程标准.

      （一）IBDP数学课程基本目标

      所有数学学科组的课程目标是使学生能够：

      ●享受数学，并培养欣赏数学的优雅和力量；

      ●培养对数学本质和原理的理解；

      ●在各种情况下都有信心清晰地用数学语言进行交流；

      ●发展逻辑性、批判性和创造性思维以及解决问题的耐心和毅力；

      ●运用和完善抽象概括能力；

      ●在不同情况、知识领域和未来发展中运用数学技能；

      ●欣赏数学和科技的发展是如何相互影响的；

      ●欣赏在数学问题中产生的道德、社会、伦理问题；

      ●欣赏多元文化和历史的视角所带来的国际化全球化的数学视野；

      ●欣赏数学对其他学科所做的贡献和数学是知识论（TOK）课程中的一个独特的知识领域.

      （二）四门数学学科组课程的内容

      目前，根据IBO最新发布的针对2014年开始的考试课程标准，数学学科组共开设有四门不同水平层次的课程，其中两门高水平（HL）课程，两门标准水平（SL）课程，它们分别是：

      数学学习标准水平（Mathematical Studies SL）：强调应用数学，最大的部分是统计技术，是专为学生提供多样化的数学背景和能力的，它为学生提供学习一些重要的数学概念和技术的机会，帮助学生应用数学来解决一些实际问题，以提高他们的逻辑性和批判性思维.学生选修这门课程是准备将来从事社会科学、人文、语言和艺术方面的职业.

      数学标准水平（Mathematics SL）：本课程适合那些已经具备了一些基本的数学概念和知识并能正确运用一些简单的数学技术的学生.选择这门课程的学生希望有一个良好的数学背景在大学学习化学、经济学、心理学和商业管理类的专业.

      数学高水平（Mathematics HL）：本课程适合具有良好的数学背景，对数学有兴趣，具备一定的数学分析和应用技术能力的学生.大部分学生打算在今后大学学习诸如物理、工程和技术类的专业.也有些学生选择这门课程是因为对数学有强烈的兴趣，享受数学问题所带来的挑战.

      拓展数学高水平（Further Mathematics HL）：这门课程是提供给那些已经选择了数学高水平但希望能更深入地学习数学的学生.它迎合了那部分对数学有极强的兴趣，具有强大的数学背景，具有很高的数学分析能力和应用技术水平的学生的特殊需求.本课程专门让这部分学生了解各种深入的数学分支（例如微积分Ⅱ，概率论与数理统计、数论、群论、离散数学、拓扑学等），体会到它们的实际应用.选择这门课程的大部分学生都希望在大学学习数学专业.

      （三）IBDP数学课程教学内容和课时安排

      数学高水平（HL）：总学时240小时，其中包含10小时的数学探究（内部评价），具体每个章节的安排见表1.

      

      数学标准水平（SL）：总学时150小时，其中包含10小时的数学探究（内部评价），具体每个章节的安排见右表2.

      （四）IBDP数学考试评价与评分标准

      数学高水平（HL）的评价体系如右表3.

      数学标准水平（SL）的评价体系如右表4.

      

      

      

      数学HL和SL的考试评价中卷二都需要用到图形计算器，需要学生熟练掌握使用图形计算器绘制函数图象、计算函数零点交点、极大极小值、求解复杂方程（组）和不等式、计算描述性统计数据和求解概率分布问题、计算定积分的数值、计算三角函数值等能力.数学HL和数学SL的考试总时长分别是5小时和3小时，可见数学SL相对于数学HL来讲学习内容较少，学习压力较小.

      IBDP数学考试的外部评价采用全球统一笔试的形式，类似我国的高考，由经过IBO任命的命题小组命题，出题考官是具有多年出题经验的大学数学教授，他们的出题方向能与大学课程较好地衔接，出题内容紧扣大纲要求，难度适中，没有刁钻的难题.试卷交给有资质的第三方专业机构印刷并严格保密，在规定的时间内保密封存后交DHL寄送给全球注册考试的IBDP成员学校的协调员，由协调员放进保险箱保管，考试当日由监考老师在所有考生面前开封.在一套严格的考试和监考制度的保障下，考试结束后考卷由协调员统一打包寄给IBO英国总部，总部交付专门的技术公司负责扫描输入电脑.此时，主考官团队会进行阅卷标准的讨论，召开统一制定的会议.随后电脑派位给全球的考官根据统一的阅卷标准进行网上阅卷，并由系统自动进行阅卷质量抽测，不合格的考官将会被取消阅卷资格.经过阅卷后系统将会根据相应百分比得出考生的外部评价分数.

      在此之前，每年的四月初注册五月份考试的学校就要在IBO网站上输入教师给出的内部评价分数并将系统抽查到的学生样本作业寄送IBO给考官评阅.数学HL和SL新大纲对于内部评价有明确的一致的评价标准，总分20分，共有五个评分指标：数学交流、数学写作表达、个人努力程度、反思、数学知识掌握和运用程度.

      2014版数学（HL/SL）新大纲剔除了原先的使用科学技术（图形计算器、电脑软件等）的程度这一评价指标，体现出了回归数学本位，以评价数学能力为本的评价方式.新增加了学生的努力程度这一指标，体现了以学生发展为本的教学本源，避免了评价时只看课题报告的呈现好坏而忽略了学生作为学习主体的努力程度.

      二、IBDP数学课程与我国普通高中数学课程比较之差异

      （一）教学目标的比较

      我国普通高中数学课程的教学目标是培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的应用意识和创新意识，提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力，进一步发展学生的数学实践能力，努力培养学生的数学思维能力.激发学生学习数学的兴趣，使学生树立学习数学的信心，形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，认识数学的科学价值和人文价值.[1]普通高中数学课程的目标注重培养学生各方面的数学能力，对于解决问题的能力和数学思维的能力尤为重视.

      IBDP数学课程目标强调让学生享受数学，欣赏数学之美，培养学生在多元文化环境下的国际视野.IBDP数学课程的主要教学目标是培养学生对数学本质和原理的理解，让学生享受数学，欣赏数学的优雅和力量，让学生在各种情况下都有信心清晰地用数学语言进行交流，发展学生的逻辑性、批判性和创造性思维以及解决问题的耐心和毅力，重视在数学问题中产生的道德、社会、伦理问题，形成多元文化和历史的视角所带来的国际化全球化的数学视野.[2]

      由此可见，两种课程在培养学生数学能力方面的目标基本一致.

      （二）教学内容的比较

      普通高中数学标准中规定的教学内容包括文理公共内容、文科拓展内容和理科拓展内容，下表以理科数学大纲为例：[3]

      

      IBDP数学HL大纲包含的教学内容（以选修微积分为例）如下表：

      

      IBDP数学HL教学内容与普通高中理科数学教学内容相比差异如下：

      1.IBDP数学HL规定的课时数略少于普通高中课程.普通高中理科数学大纲规定的教学课时数是278节，三年总计安排的数学课时数约454节，其中包含用于复习的课时.IBDP数学HL大纲规定的课时数是240小时，折合成40分钟一节课是360节，比普通高中少了94节.

      2.IBDP数学HL的教学内容覆盖面比普通高中理科数学更广一些.IBDP数学HL把国内大学课程微积分作为一个举足轻重的部分纳入了IBDP大学预科课程，在考试评价中微积分的内容占到了40%左右，这样也使IBDP数学HL课程能与大学课程较好地进行衔接.IBDP数学HL课程中有关概率分布的内容更加广泛，包含了国内大学课程的离散分布、连续分布、泊松分布、二项式分布等内容.IBDP数学HL的复数部分的内容也更广一些，包含了复数的三角式以及De Moivre定理.IBDP数学HL的空间向量部分还包括了三个平面的关系以及结合矩阵进行线性方程组解的讨论.普通高中理科数学中的圆锥曲线部分的内容在IBDP数学HL新大纲中没有出现.

      3.普通高中数学的部分教学内容比IBDP数学HL的相关教学内容更深一些.这一点主要体现在高考相关内容试题的难度上.

      4.IBDP数学HL教学内容中包含了图形计算器工具的使用.普通普通高中数学主要要求学生使用函数计算器的简单运算、三角函数、描述统计等的功能；IBDP数学HL则要求学生学会使用图形计算器绘制函数图象、求交点、极大极小值、拐点等关键点、解复杂方程不等式、进行统计作图计算、概率分布计算、复杂导数定积分计算等.图形计算器手段的使用不是我国高考数学的要求，有关图形计算器的教学只在部分试点学校中展开.可见在运用技术手段帮助学习数学方面国际课程走在了前面.

      （三）考试评价方式的比较

      1.外部评价的比较

      普通高中学生如果要获得高中毕业文凭必须参加学业水平考试，如果要进入高等学校学习就必须参加全国或全市统一高考.根据上海市中小学数学课程标准的要求将高中数学学科考试的认知水平分为三个层次：记忆性水平、理解性水平、探究性水平，高考大纲中针对每个考试内容模块都详细列出了这三个层次的具体要求.试卷中数与运算、方程与代数、函数与分析、数据整理与概率统计这几部分的内容占比65%～70%，图形与几何部分占比30%～35%.题型分为填空题选择题占50%，解答题占50%，考试允许使用不带通讯、存储、记忆、图形功能的计算器.试题难度分为容易题、中等题和较难题，分别占比40%，40%，20%.要求考试有较高的信度和效度，适当的难度和区分度.

      IBDP数学外部评价的形式是全球统考，学生想要获得IBDP国际文凭和申请全球的高等学校都必须参加IBO组织的全球统考.根据数学高水平HL的大纲（课程标准）规定，必修部分分为代数、函数与方程、三角函数、向量、统计与概率、微积分，占外部评价试卷总分的75%，选修部分占比25%.考试题型为解答题，分为短题目和长题目，卷一不允许使用计算器，卷二卷三需要使用图形计算器（IBO颁布专门文件对图形计算器的型号和设置做出明确规定）.试卷难度适中，有较高的信度、效度和区分度，每年全球平均分和获得7分制各等级的学生的比例都保持稳定，波动幅度很小.[4]

      IBDP数学外部考试评价相对我国上海高考而言有以下几个特点：

      （1）考试内容覆盖面广.这一点体现出了IBO一直倡导的通识教育和全人教育的理念，数学HL涉及的内容几乎涵盖了上海高考的所有内容，卷一卷二考查的必修部分还包括大学微积分一和概率论中的二项式分布、泊松分布、正态分布和使用图形计算器学习统计的内容.卷三考查的选修部分包括我国学生较常选择的微积分二（包含无穷级数和微分方程）以及统计学、群论、离散数学等内容.

      （2）考试评价目标针对性强.IBDP数学课程对于教学内容与考试评价内容的相关性和针对性较为明确，其数学考试出题的宗旨是：只考学生会的，即考查学生是否掌握考纲中所列出的应该会的内容.

      （3）考试评价标准强调全过程评价.由于IBDP数学考试题型都是解答题且题目分制较大，短题目6分左右，长题目20多分，这就需要制定出科学明确具体的评分标准.IBDP数学的评分标准强调解题全过程评价，对于每个解题步骤都有明确列出的方法分（M分）、计算分（A分）和推理分（R分）；不过分强调最终的正确答案，对于只有最后正确答案没有解题步骤的解答适当予以扣分（N分）；上一小题的错误已经被扣分，下一小题的计算方法正确但因上一题的错误导致结果错误则不重复扣分（FT原则）.由此可见，IBDP数学的全过程评价方式在学生评价上有一定的科学性和可操作性.

      （4）考试注重学生多种能力的考查.随着现代科技的飞速发展，运用现代科学技术手段的能力也越来越受到教育的重视.IBDP数学考试把学生使用图形计算器帮助解题的能力作为必须考查的一种能力.

      （5）考试实施分阶段性.IBDP数学HL的考试总共有三张卷子，共计5个小时，分三天进行，分值总共300分.IBDP数学考试的分阶段性在一定程度保证了考试内容的广度，分散了考试的压力，降低了用一次考试来评价学生的偶然性.

      2.内部评价的比较

      目前普通高中的学生的内部评价主要通过成长记录、记录学习活动等方式进行，主要在研究型课程中展开.因为内部评价的得分最终不计入高考成绩，这也就导致了我们的内部评价目前在很多学生看来只是流于形式并没有落到实处.

      IBDP数学课程的内部评价是一篇6～12页的课题研究报告，有明确的内容要求和评价标准，由教师评分IBO组织考官经抽查调整分数后记入学生数学成绩，占总分的20%，这在一定程度上降低了用一次考试来评价学生的偶然性.

      同时IBO还要求教师在正式考试之前通过网站输入对于学生的预估分数（7分制），在最终考试成绩评定之后如果学生的7分制成绩和预估分相差2分以上的话，该学生还会被调出全部资料进行重新评估以确保最终IBO给出的学生成绩能够最大限度地反映出学生的真实水平.[5]这一点无疑又体现了IBO以人为本，以学生发展为本，全方位正确评价学生的评价目标.

      （四）教材的比较

      IBDP数学课程标准由IBO统一发布，各成员学校必须严格执行其中所列的教学目标、教学内容、课时安排以及评价体系.IBO并没有对选用的教材做出明确的规定和建议，在教材的选择、教学顺序、教学进度安排等方面学校有很大的选择权和自由度.学校可以根据实际情况选用一套正式出版的教材，也可以由学科组教师自编校本教材或讲义.目前全球的各大出版社都有针对IBDP数学的教材，其中被IBDP学校广泛采用的有培生（Pearson）出版社、牛津（Oxford）大学出版社、剑桥（Cambridge）大学出版社、澳大利亚Haese & Harris出版社、澳大利亚IBID出版社等.这些教材都有以下共同特点：[6]

      ●由出版社组织有多年经验的教师或IBDP考官进行编写；

      ●教学内容安排紧扣IBDP数学最新的课程标准；

      ●教材都配备电子版本，内容丰富，全彩色，图片印刷精美；

      ●教材内容包含丰富的图形计算器和电脑软件的使用指导；

      ●教材内容叙述详细清晰，选用大量的有针对性的例题并详尽解释，便于教师教学和学生自学；

      ●教材每段内容都安排有大量的习题并在书后附有参考答案，不设专门的配套练习册；

      ●每个章节都有相关研究性课题学习的内容，激发学生探究；

      ●每个章节都有TOK知识论的链接内容，引发学生思考.

      IBDP数学的教材内容极其详尽充实还附有电子版本，便于学生自学和教师教学，其中必修部分的内容基本在三十章左右，篇幅在一千多页左右；选修部分的篇幅也在二百到三百页左右.因此在IBDP数学的教学和学习过程中几乎不需要用到各类习题书和参考书.即使在最后的复习阶段也只需要针对近五到十年的IBDP考试题做一些练习和知识的梳理.

      我国普通高中数学采用统一的经过审查的教材，学校和教师没有自主选择权.教材内容符合大纲要求，进度安排紧凑、选用的例题相对高考题来说比较容易，内容解释不够详尽且篇幅较短，没有提供电子版本，不便于教师教学学生自学，课后习题也相对较少，教师如果想要帮助学生针对高考复习就必须选用其他的参考书和习题资料.国内一些学校针对高考复习采用题海战术，让学生购买大量的五花八门的参考书，印制大量补充试卷，甚至让学生参加各种补习班，使学生疲惫不堪，增加了教师教学和学生学习的压力，大量无用的参考书也造成了资源的浪费.如果我们的高中数学教材的编写也能借鉴一些IBDP数学教材编写的合理做法是否可以或多或少地改善一下目前的情况呢？事实上，上海的一些重点高中已经开始尝试根据课程标准和高考大纲编写一些更有针对性的校本教材并投入使用.如今部分高校自主招生已经为部分优秀高中生打开了一扇窗，或许当我国优质高等教育的资源足够丰富，高考成绩不再是我们申请大学的唯一硬指标的时候，我们的考试评价也能采用标准化的模式与课程标准所列的教学内容紧密相关.

      三、IBDP数学课程对普通高中数学课程改革的启示

      （一）普通高中数学课程应注重培养创新和批判性思维能力，促进高中生个性化发展

      IBDP数学新大纲强调了数学探究，在IB课堂上学生不仅仅是知识的获得者，更是一切学习活动的主体.教师尽可能地提供机会给学生进行数学探究，探究式学习有助于培养学生创新思维和批判性思维.我国高中课程改革可以借鉴IBDP高中数学的做法，积极主动地鼓励增加课程的探究性并建立相应的激励机制进行推动.可以尝试关注高中课题研究和探究式学习，建立起相应的激励评价机制；尝试关注与学科课程和日常生活紧密联系的课题探究，树立起科学精神；尝试通过教材和教学内容设计来培养学生的科学探究精神.

      同时我国的高中数学课程也应当增加课程科目和层次的可选择性，增强对于学生未来发展和职业规划的教育，让学生通过课程的选择建立个性化的知识体系，从而进一步明确自身未来发展和职业规划的方向.

      （二）运用数字信息技术，改变教学方式，开展课程的内部评价模式，全面评估学生发展

      IBDP数学课程的教学过程强调培养学生自主学习、主动学习、归纳反思的能力，绝不鼓励教师通过题海战术来提升学生考试成绩从而磨灭学习兴趣.我国高中课程改革也可以强调对于学生终身学习能力的培养，激发学生的学习兴趣，并通过相应的激励与评价机制予以保障.IBDP数学考试允许学生在卷二中使用图形计算器，运用图形计算器解决数学问题的能力被作为外部评价的一项标准.在内部评价课题报告中也鼓励学生运用先进的数字信息技术和ICT工具.我国高中数学课程教学和评价过程也可以与时俱进，采用相应的数字信息技术手段来提升学生运用技术手段解决数学问题的能力，以帮助教师提升教学的有效性.

      IBDP数学课程内部评价占20%，内容是一篇数学研究课题报告，成绩由教师评定，IBO抽查并修订成绩，所有课程的最终成绩都采用7分制的形式呈现，更有利于全面评估学生的发展.我国的高中课程评价可以借鉴这样的评价模式，这将有助于消除高考给学生带来的巨大压力以及偶然性因素的影响，避免同一水平的学生过于激烈的恶性竞争.

      （三）扩展高中数学课程内容，充分与大学专业课程内容衔接

      IBDP课程作为国际公认的大学预科课程，其课程设置、教学内容等都能与世界大学课程对接，大部分的北美学校还认可IBDP高水平HL课程的学分，给予相应的学分抵扣.

      例如IBDP数学HL内容中微积分是重头戏，它包含了极限的定义、导数的定义、求导的和差积商和链式法则、隐函数求导、极值和拐点的判定、相关变化率计算、运动学中的导数应用、不定积分、换元积分、分部积分、定积分、面积体积、旋转体、夹逼定理、洛必达法则、数列收敛、无穷级数收敛判定、泰勒级数、误差分析、广义积分、中值定理、罗尔定理、一阶微分方程及其应用、图形计算器等软件的使用等内容.许多选修微积分的IBDP数学HL学生可以凭借5分或6分以上的成绩直接跳过美国大学微积分I甚至微积分Ⅱ课程的学习.而我国普通高中数学课程的教学内容则基本没有涉及微积分，因此，我国的高中课程建设也应该充分考虑与大学课程的衔接，增加与大学课程相衔接的数学课程内容，并体现不同大学专业对数学课程的不同层次要求，从而促进学生优势潜能的深度开发与未来职业规划的引领.

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