深入挖掘教材 开展实验研究——数学研究性学习案例e究竟自然在哪里，本文主要内容关键词为：研究性学习论文,实验研究论文,教材论文,案例论文,自然论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
课堂是开展数学研究性学习的主要阵地，“教学内容问题化，教学过程探索化”是研究性学习在课堂教学中的两个显著特征。新教材中好题甚多，并留下许多开展数学探究活动的“引子”，只要深入挖掘，通过适当加工、引申与改造便可以赋予新的含意，编制成适合学生能力特点的问题供师生共同探究，这样不仅能激发学生的学习兴趣，培养学生的思维能力，而且对激发学生的创新意识，提高实践能力会起到事半功倍的作用，这也是开展课堂研究性学习的一种行之有效的方法。
一、问题探究的背景
人教A版高中数学课标教材《必修1》的习题中常涉及以e为底的指数型函数关系，如：臭氧含量Q随时间t变化的关系式
（
是臭氧含量的初始量）。教材在介绍对数概念时提到，以无理数e=2.718 28……为底的对数称为自然对数，并把
记为1n N，学生使用的科学计算器中也有计算自然对数的功能键。教材的点到为止真让人有点欲罢不能，终于有的学生还是发问了：这个稀奇古怪的无理数e究竟是怎么得到的？以e为底的对数为何称为自然对数，它比以10为底的常用对数究竟“自然”在哪里呢？……，此时教师怎能听而不闻、袖手旁观啊！
e是自然对数的底数，其内涵非常丰富，是组织学生开展探究性学习的好素材。
二、研究复利计息，发现e的存在
1.发挥习题价值，设置问题情境
《必修1》P66习题2.1 B组第3题
按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数关系式，如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？（假设不缴纳利息税）。
分析 复利就是把前一期利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息。（俗称利滚利）
1期后，本利和y=a+a×r=a(1+r)，
【借题发挥】 按现行的定期一年存款年利率2.52%复利计息，1元钱存10年后会变成
元。复利计息最终本利之和的多少由计息的周期决定，例如可以按一年、半年、一季度计息，也可以按月甚至按天计息，计息周期愈短，本利和愈高。那么是否计息周期无限制地缩短，比如说每分钟计息一次，甚至每秒，或者每一瞬间（理论上来说），那么本利和会是一个怎样的数字？（学生议论纷纷，各持己见！）
2.分析实验数据，掀开e的面纱
【实验探究】 设存款的本金P为1元，以年利率r=100%存入银行（仅为计算方便），存期为1年。①每年计息一次，求一年后的本利之和；②按每半年计息一次，求一年后的本利之和；③按每季度计息一次，求一年后的本利之和；④按每月计息一次，求一年后的本利之和；⑤按每天计息一次，求一年后的本利之和；……
(1)学生使用科学计算器，按照复利计息算理分别计算最终的本利之和（如下表-1所示）。
三、追求完美对称，探究自然对数
1.开展数学实验，质疑常用对数
对数的引进可以简化实数的运算，借助对数可将乘、除运算分别转化为加、减运算。对数运算的优越性事实上是由幂的运算性质所决定的。求对数
就是将一个数表示成幂
的形式。从实际计算看，以10作为对数的底数是十分方便的，因为这时我们可以立即求得任何一个正数（例如，39 618或0.001 23）的对数的首数（4及-3）。
学生借助Excel软件的强大数据计算功能，先求得给定正数的自然对数值（如表-3），再求得以10为底的实数指数幂的大小（如表-4）。
数学家阿丁(E.Artin)指出，“研究给定数学结构的对称性的工作，总是得到大量的结果”。从美学角度看表中数据的变化特征，不难发现常用对数并不是十分理想的。其一，当真数均匀地增长时，其常用对数的增长是不均匀的。如表-3所示，N按10均匀递增时，常用对数的增长是不均匀的。其二，真数N及其对数1gN的增长表现出明显的不对称性。如表-2所示，当N由1增大到1000000000时，常用对数只从0增大到了9。为了克服这种不对称性必然要调整底数大小，为此尝试考虑大于1且小于10的较小正数为底数（如取1.1或1.01），基于方便实验操作考虑，采用类似于表—4幂的形式，而不再采用对数形式。
2.借助信息技术，发现完善底数
(1)先让学生分别尝试以1.1、1.01、1.001、1.0001等为底数，用Excel表格进行计算。可以发现，显然与以10为底的情况相比，相对于指数的均匀变化，这时幂的改变就显得比较均匀了。
当取1.001为底数时，真数与其对数都是均匀增长的，但是指数b的增长数△b为1时，幂N的增长数△N近似于0.001，两者的增幅极不协调！如何才能改变指数的增长数与幂的增长数不对称的情况呢？（学生：底数靠近1并不能两全其美！）
数（对数）与其幂（真数）同步均匀增长的完美对称性，而这个底数不就是前面提及的e=2.7182818284590452353602……！学生任取e的近似值再次利用Excel表格进行实验（如：2.71828182845904，△b=0.000001）（如表-6所示，△N≈0.000001），由此看来，相对于以10为底的常用对数，以e为底的对数更完美、更自然。（学生：所以称为自然对数！？）
表-6
四、数学实验探究的反思与感悟
1.鼓励学生进行数学实验
在探究复利计息算理、对数与真数均匀增长对称性问题的过程中，我们借助信息技术手段“再发现”了无理数e，并感受到e的魅力，通过数学实验，学生体会到观察、分析、推理、猜想、验证研究方法在数学科学研究中的重要性。
数学教育家波利亚说：“数学有两个侧面，一方面是欧几里得式的严谨学科：但是另一方面，在创造过程中的数学更像是一门实验性的归纳学科。”在信息技术支持下的数学实验探究，是师生共同参与的实验、操作、演示、观察、分析的互动过程，是学生动手、动笔、动脑的具体实践活动，是学生在教师启发引导下对数学的“再发现”和“再创造”。学生通过对获得的图象和数据的整理、观察、归纳和类比，找出结论或从中发现新的方法，获得对抽象的数学概念、定理、结论等的感性认识，通过加工上升为理性认识。可见，数学实验探究活动，是对传统数学教学方式的有益补充，是促进学生主动学习的良好形式，是培养创新意识和实践能力的园地。
2.引导学生学会数学推广
在所有的数学发现与数学创造中，通过推广而获得的新概念、新理论和新方法等新的发现与创造至少占半数以上。数学推广可使数学结论（或概念）更具抽象性和统一性，揭示数学对象的本质及不同对象间的联系，而对数学对象本质的揭示正是数学发现所追求的重要目标。实践表明，学生掌握了推广的方法，就等于掌握了探索数学未知领域的一种极为重要的手段。因此，教学过程中教师应鼓励进行数学推广，引导学生学会数学推广。
3.启发学生大胆数学猜想
牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”。数学猜想是数学创造由隐到显的中介，提出数学猜想的过程本质上仍然是数学探索和创造的过程。一般来说，知识经验越多、想象力越丰富、提出数学猜想的方法掌握得越熟练，猜想的置信度就越高。在组织学生进行数学实验探究的过程中，要创设情境激发学生的探究欲望，给予学生发散思维、提出问题、表达思想的机会，鼓励学生敢于质疑和大胆猜想，这对于发展学生的创造性思维具有十分积极的作用。