基于非参数核密度估计与Copula方法的 山东省小麦收入保险定价研究
李桂伟，赵明清
(山东科技大学 数学与系统科学学院，山东 青岛 266590)
摘 要： 农作物收入保险具有同时覆盖产量风险和价格风险的优势，对稳定农户预期收益，保障农业持续稳定发展具有重要意义。以山东省小麦为研究对象，在通过非参数核密度估计测算小麦产量及价格双重风险的基础上，运用Copula函数与蒙特卡罗模拟相结合的方法进行小麦收入保险费率厘定。研究表明：非参数核密度估计避免了参数分布选择的主观性问题，所测风险更符合实际，能够有效提高费率厘定结果的稳定性；山东省小麦单产与其价格之间存在较弱的负相关性；在75%～100%保障水平下，测算的山东省小麦收入保险费率在1.13%～6.71%之间，低于山东省现行产量保险费率。
关键词： 收入保险；费率厘定；非参数核密度估计；Copula函数
科学厘定农作物收入保险费率，对分散农业生产风险、促进农业可持续发展具有重要意义。收入保险费率厘定的关键在于两个方面：一是对单产风险、价格风险的测算，即确定单产和价格的边缘分布；二是确定两类风险的相关关系，即产量和价格的联合分布。常用的风险测算方法有参数法和非参数法两种。国外研究最早假设农作物单产服从正态分布[1]，而Ramírez、Mcdonald发现农作物单产受诸多因素影响，是否服从正态分布要取决于当地的条件。此后，国外学者进一步提出农作物单产可能服从Beta分布、Lognormal分布和Weibull分布等[3-4]。由于价格具有非负性，所以大多学者认为农作物价格服从Log normal分布[5-6]。尽管学者们分别采用了不同的分布来提高风险测算的准确性，但事先对其分布进行假定，就可能导致估计结果不精确或费率估计结果不稳定等问题，本身就存在不合理之处。因此，非参数法逐步发展起来，Woodard[7]采用非参数核密度法对农作物单产、价格风险进行了测算，结果表明非参数核密度估计更加灵活，且能够体现出单产损失数据的非对称性和左偏性特点。文献[8]分别采用参数法和非参数法厘定了我国粮食单产纯费率，发现非参数核密度法厘定的费率结果更为准确，更加符合实际。在确定了单产、价格边缘分布的基础上，如何确定其联合分布至关重要，Copula理论的出现及发展使这一问题得到解决。Tejeda通过Copula方法发现农作物单产与价格之间存在微弱负相关性，并得出在风险“对冲效应”下，收入保险相较于产量保险具有更低费率的结论[3]。随后，有学者对Copula函数进行了改进，Woodard发现相较于单一Copula函数，混合Copula函数能够有效提高玉米收入保险费率厘定的准确性[9]。Goodwin等[10]采用vine-Copula对美国玉米和大豆收入保险进行了研究，结果表明vine-Copula具有更小的AIC和BIC值,相较于高斯Copula能更好的衡量尾部风险。国内当前只有少数学者通过Copula方法对农作物收入保险进行定价研究，且均采用参数法并依据AD统计量来选取最优分布对农作物单产、价格风险进行测算[11-13]。
模型的成功并不意味着完美无缺，我们构建的目标达成度评价体系只是一个大致的体系步骤，在一些方面还需自己学校根据自己学校和专业课程来进行相应的调整，如目标达成度模型的赋权、课时的安排等，这些调整都可按照该体系的方法来操作即可。希望每门课程都可以通过模型找到课程中的优势与不足，更加、更好地指导课程优化任务。
综上，国外通过Copula方法研究农作物收入保险理论较为成熟，研究成果也较为丰富，而我国对这方面的研究才刚刚起步，尤其在非参数核密度估计与Copula函数在农作物收入保险综合应用研究方面。因此，本文在已有研究的基础上，通过非参数核密度估计与Copula函数相结合的方法来研究农作物收入保险费率厘定问题。具体来说，以山东省1975—2016年小麦单产、价格数据为基础，通过小波分析进行去趋势处理后，采用非参数核密度估计测算小麦单产、价格风险，依据平方欧式距离从常用Copula函数中选取最优Copula形式，采用极大似然估计得到Copula函数参数，结合蒙特卡罗方法随机抽样5 000次，最终得到不同保障水平下山东省小麦收入保险费率。
1 基本理论
1.1 非参数核密度估计
设X 1,X 2,…,X n 是取自一元连续总体的样本，在任意点x 处总体密度函数f (x )的核密度估计[14]
(1)
其中，K (·)称为核函数(kernel function)，须满足K (x )≥0,
K (x )dx =1 。参照文献[8]，选用了高斯核函数，其表达形式为：
(2)
核密度估计过程中，选取合适的窗宽h 十分重要，会直接影响到
的光滑程度，根据Silverman的“经验法则”确定最佳窗宽，取值[15]为：
(3)
其中，A =min{样本四分位距/1.34，样本标准差}。
1.2 Copula 函数
定义 [16]Copula函数是指具有以下性质的函数C (u 1,u 2,…,u N )：
1998年，Nelsen给出了Copula函数的定义：
“房子是用来住的，不是用来炒的”，当房子恢复其本来的居住属性，住宅设计意识再苏醒。现代生活不仅仅是物质生活的富足，还代表着技术进步与文化融合带来的全新生活理念。从宜家、无印良品到“好好住”，越来越多的家居品牌在扩张市场的同时，也把设计理念、生活方式等带给国人。
1)C (u 1,u 2,…,u N )定义域为[0,1]N ；
2)C (u 1,u 2,…,u N )有零基面，并且是N 维递增的；
3)C (u 1,u 2,…,u N )有边缘分布函数C i (u i )(i =1,2,…,N )，且满足
C i (u i )=C (1,…,1,u i ,1,…,1)=u i
确定农户小麦收入的最优联合分布函数(t -Copula函数)后，由于Copula函数的具体解析式较为复杂，难以直接计算费率。因此，通过蒙特卡罗模拟方法模拟5 000对单产和价格数据，通过式(6)和(7)计算小麦收入保险纯费率。目前，山东省现行小麦保险费率在80%保障水平下为4%，为方便比较并考虑到农户选择保险的多样性，计算了75%～100%保障水平下的小麦收入保险费率，结果如图4和表4所示，图4中的左、下方柱状图分别表示蒙特卡罗模拟小麦价格及单产样本点的边际分布情况。
下面的Sklar定理是Copula理论中的一个关键结果。
4)通过反函数法由(u ,v )计算小麦单产和价格的模拟数据，即
将x 1,x 2相乘即可得到小麦收入样本数据；
F (x 1,x 2,…,x n )=C [F 1(x 1),F 2(x 2),…,F n (x n )]。
(4)
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“80后”的牛超，2010年毕业于河南农业大学生物化学专业，毕业后，便随同学一起到广东发展。手里有了积蓄后，他萌发把自己所学的植保知识奉献给家乡的念头。他辞掉优厚的待遇回到台天村，创办了农资经销店，后来又转包200亩土地，成立牛超家庭农场，接着又成立了正阳县金凤农技专业合作社，担任理事长；接着，他采取“众筹”联营的办法，与其他6名返乡的“80后”大学毕业生成立了以农村农机植保服务为主体的“正阳牛”打药团队。
(5)
其中，
为Copula函数的密度函数，Copula函数具有变量间相关结构的所有信息，这些信息可以通过kendall -τ 相关系数体现出来。
2 费率厘定方法
小麦收入保险定价主要涉及两个问题，一是对小麦单产、价格风险的估计，二是对二者相关性的测算。分别采用非参数核密度估计和Copula方法解决以上两个问题，在此基础上结合蒙特卡罗模拟方法计算出小麦收入保险费率，具体方法如下:
1)通过非参数核密度估计分别拟合小麦单产及价格风险分布，得到两个边际分布密度函数f 1(x 1),f 2(x 2)，对应的分布函数为F 1(x 1),F 2(x 2)；
（3）领先的智能音频分析。自带音频自动对齐功能，根据不同音视频素材的波形，智能分析出偏移量进行补偿，保证音频波形准确对齐，减少工作强度。
2)通过Copula函数建立单产、价格风险分布的联合分布。采用极大似然估计法估计Copula参数，并依据平方欧式距离最小的原则从常用Copula函数中选取最优Copula形式；
3)以C (F 1(x 1),F 2(x 2))作为“随机数发生器”，生成服从[0,1]均匀分布的随机变量u ，v 各5 000个；
Sklar定理 [16]Copula函数是随机变量x 1,x 2,…,x n 的联合分布函数F (x 1,x 2,…,x n )与各自的边缘分布函数F 1(x 1),…,F n (x n )相连接的一个函数，即存在函数C (u 1,u 2,…,u n )，满足
5)厘定小麦收入保险费率。设保障年份农户小麦实际收入为y ，小麦收入样本数据均值
为农户小麦期望收入值，给定保障水平α (0<α ≤1)，当由于单产或价格变化或两者同时变化使农户实际收入低于一定保障水平下的期望收入值(即
时，保险公司需要承担赔付责任，并赔偿农户差额，此时实际收入的预期损失(Expectedloss )以及小麦收入保险纯费率r 可分别由式(6)和式(7)计算得到：
若F 1(x 1),…,F n (x n )连续，则Copula函数C (u 1,u 2,…,u n )唯一确定。F (x 1,x 2,…,x n )的密度函数为
(6)
(7)
3 实证研究
3.1 数据处理
选取山东省1975-2016年小麦单产数据以及小麦每50 kg主产品平均出售价格数据，分别用于模拟小麦单产和价格分布(数据来源于中国种植业信息网和历年《全国农产品成本收益资料汇编》)。为确保模拟结果的准确性，首先检验原始单产序列平稳性：ADF单位根检验结果显示原始单产序列不平稳，因此需对其进行去趋势处理。常用的去趋势方法有多项式法、ARIMA法、直线滑动平均法、小波分析法等，Pringle等[17]对不同产量趋势模型进行比较后发现，小波分析对趋势单产的估计更加精确。因此采用小波分析法将y t 分解为两部分：趋势产量
和随机波动量e t 。由于不同年份之间随机波动e t 不具有可比性，因此计算相对波动风险并折算至最新年度(2016年)单产水平：
由于会展旅游业相关制度的不完善，也导致了成都市会展业和旅游业的融合不畅，由此导致会展旅游业的整体营销模式不成体系，发展滞后。目前成都市会展旅游业的营销模式主要还是以承办单位为主，很多会展虽然主办方为政府和行业协会，但是这些单位往往不会参与对展会的营销，而是由承办单位来进行营销宣传，但是其作用肯定是不如主办单位的影响力大。旅游管理部门很少关注会展旅游这一方面，在营销上也很少配合承办单位，常常出现会展旅游业中旅游业管理缺位的局面。承办单位在会展营销模式上也较为传统，缺乏创新。
对每千克主产品平均出售价格数据进行相同处理，原始数据处理结果及去趋势处理后的小麦单产及价格序列描述性统计量分析见表1、表2。
表1 原始序列及去趋势处理后序列单位根检验结果
Tab.1 Unit root test results of original sequence and detrended sequence
表2 去趋势处理后小麦单产、价格描述性统计
Tab.2 Descriptive statistics of wheat yield and price after detrending treatment
由表1、表2可知，去趋势处理后的单产、价格数据峰度系数均大于3，呈尖峰状态；偏度系数均大于0，呈右偏分布，且在1%显著性水平下均拒绝存在单位根的假设，即去趋势处理后的单产、价格序列为平稳序列。因此，可以通过非参数核密度估计对其分布进行拟合。
不同Copula函数能够反映不同的分布特点及相关结构，通过计算常用Copula分布与样本经验Copula分布(图3)之间的最小平方欧式距离来选择最优Copula函数形式，样本经验Copula计算公式为
其中，I [·]为示性函数，F (·)为样本经验分布函数，当F 1(x i )≤u 时，I [F1(x i )≤u ]=1，否则I [F1(x i )≤u ]=0。由表3知，最优Copula函数为t -Copula，从kendall -τ 相关系数来看山东省小麦单产和价格之间存在较弱的负相关性。
3.2 边缘分布确定
对小麦单产数据进行检验(KS检验、W检验)发现，小麦单产并不符合常见参数分布(正态分布、对数正态分布、伽马分布、指数分布)，因此采用非参数核密度估计对小麦单产、价格数据边缘分步进行拟合。根据Silverman的“经验法则”计算单产、价格数据的窗宽分别为8.139和0.097，考虑到选取不同核函数可能对核密度估计结果产生影响，分别选取4种常用核函数对小麦单产、价格数据进行拟合，结果如图1、图2所示。可以看出，不同核函数之间差异不大，但高斯核函数更为平滑，更能反映小麦单产和价格的真实分布情况。
3.3 联合分布的确定
在得到小麦单产和价格的边际分布的基础上，可以通过Copula方法来计算两者的相关关系并模拟其联合分布。目前常用的二元Copula函数有5种，分别为正态Copula、t-Copula、Frank Copula、Gumbel Copula和Clayton Copula[14]，采用极大似然估计法对Copula参数进行估计，结果如表3所示。
Huang等［6］发现足弓的正常维持63%由骨性结构提供，其中内侧纵弓占有重要位置。Jameson等［7］认为：足舟骨位于足弓的顶端，是内侧纵弓最重要的骨性结构，它对足弓垂直方向应力的维持起关键作用。舟骨坏死后引起足弓塌陷，足弓功能丧失，从而出现疼痛等症状。足舟骨坏死合并足弓塌陷时，顶点降低，跟骨倾斜角会相应减小，距骨头相对上抬，使距骨-跟骨角减小。加上患者长时间的平足负重状态，导致软组织的松弛，单纯行髂骨取骨植骨、距-舟-楔关节融合术只能部分恢复足弓的高度及应力传导曲线，而不能很好的恢复跟骨倾斜角，使得足踝部生物力学有异于正常足，这可能是部分患者术后存在轻度或中度步态异常及行走疼痛的原因。
3.4 小麦收入保险费率的厘定
其中u i ∈[0,1](i =1,2,…,N )。
图1 小麦单产非参数核密度估计结果
Fig.1 Estimation results of nonparametric kernel density for wheat yield
图2 小麦价格非参数核密度估计结果
Fig.2 Nonparametric kernel density estimation of wheat price
表 3 Copula函数估计结果
Tab.3 Copula function estimation results
需要指出的是，此处得到的费率为纯费率，不包括保险公司实际运营所需的附加营业费用等。从表4可以看出，保障水平的降低会使预期损失发生的概率下降，从而费率降低。在75%～100%保障水平下，山东省小麦收入保险纯费率在1.13%～6.71%之间，不同保障下费率存在较大的差异。
按照国家深化国有企业改革的部署安排，2018年和2019年这两年，国有企业混合所有制改革将迎来升级版，包括集团层面混合所有制改革、员工持股在内的一系列重点工作将被提上议事日程。
图3 小麦单产、价格经验Copula分布函数图
Fig.3 Copula distribution function diagram of wheat yield and price experience
图4 蒙特卡罗模拟结果
Fig.4 Monte Carlo simulation results
表4 山东省小麦收入保险费率厘定结果
Tab.4 Determining results of wheat income insurance premium rate in Shandong Province %
4 结论
以山东省小麦历史单产、价格数据为基础，运用非参数核密度估计与Copula方法得到两变量的联合概率分布，最终得到不同保障水平下小麦收入保险费率，所得结论如下：
1)采用非参数核密度估计对小麦单产和价格风险进行测算，而不是事先假设其服从某种特定分布，避免了由于分布选择的主观性引起费率结果估计不稳定的问题，所测风险更加符合实际。
2)根据最小平方欧式距离选取t -Copula得到了山东省小麦单产和价格的联合概率分布，kendall -τ 相关系数为-0.086 2，说明山东省小麦单产和价格数据并不是完全独立的，而是呈现出微弱的负相关性。
3)目前山东省实施的小麦产量保险在80%保障水平下费率为4%，高于通过本文方法测算的收入保险费率1.51%，原因是小麦单产与价格风险之间存在对冲效应，因此收入保险费率一般会低于同保障水平的产量保险费率，并且计算结果为纯费率，并未考虑保险公司的附加营业费用和巨灾风险等因素，这也是所得费率偏低的原因之一。另外，测算的不同保障水平下小麦收入保险纯费率差异明显，保险者应当根据自身情况选择适当的保障水平购买保险。
试验以80%乙腈水为提取液，粮食谷物等样品经过超声提取后，使用固相萃取柱净化杂质，以超高压液相色谱串联质谱法进行定性、定量检测分析，该方法较好地控制了基质效应，且简单高效。
Combining the mathematical model defined by Eqs.(1)–(3),the transfer function of the hydraulic section is
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Wheat income insurance pricing in Shandong Province based on nonparametric kernel density estimation and Copula method
LI Guiwei,ZHAO Mingqing
(College of Mathematics and Systems Science,Shandong University of Science and Technology,Qingdao,Shandong 266590,China)
Abstract :With the advantage of covering both yield risk and price risk,crop income insurance is of great significance to stabilizing the expected income of farmers and ensuring the sustainable and stable development of agriculture.Taking wheat crop in Shandong Province as the research object,this study determined the wheat income insurance premium rate by combining Copula function with Monte Carlo simulation based on the nonparametric kernel density estimation of wheat yield and price.The results show that with subjective problem of parameter distribution selection avoided and with more realistic measured risk,the nonparametric kernel density estimation can effectively improve the stability of premium rate determination results,that there is a weak negative correlation between wheat yield and its price in Shandong Province,and that under the guarantee level of 75%～100%,the estimated insurance premium rate of wheat income in Shandong Province is between 1.13% and 6.71%,lower than the current yield insurance premium rate in Shandong Province.
Key words :income insurance;premium rate determination;nonparametric kernel density estimation;Copula function
中图分类号： F842.6
文献标志码： A
文章编号： 1672-3767(2019)05-0081-06
DOI :10.16452/j.cnki.sdkjzk.2019.05.010
引用格式: 李桂伟，赵明清.基于非参数核密度估计与Copula方法的山东省小麦收入保险定价研究[J].山东科技大学学报(自然科学版),2019,38(5):81-86.
LI Guiwei，ZHAO Mingqing.Wheat income insurance pricing in Shandong Province based on nonparametric kernel density estimation and Copula method[J].Journal of Shandong University of Science and Technology (Natural Science),2019,38(5):81-86.
收稿日期： 2018- 10- 13
基金项目： 国家自然科学青年科学基金项目(61502280)；山东科技大学研究生导师指导能力提升计划项目(KDYC17018)
作者简介：
李桂伟(1993—)，男，山东青岛人，硕士研究生，主要从事精算学与风险管理方面的研究.E-mail：153422409@qq.com
赵明清(1963—)，男，山东临朐人，教授，博士，主要从事精算学与风险管理、大数据建模方面研究,本文通信作者.E-mail：zhaomq64@163.com
(责任编辑：傅 游)
标签：收入保险论文; 费率厘定论文; 非参数核密度估计论文; Copula函数论文; 山东科技大学数学与系统科学学院论文;