摘 要：较为全面地了解椭圆的来历、椭圆方程的构造以及演变。
关键词：圆锥曲线 椭圆标准方程 圆锥曲线统一定义 极坐标方程
针对椭圆是圆锥曲线板块的第一种曲线类型，学生对此比较陌生，而教师要想让学生较好地接受和掌握椭圆的定义、图形、性质及其应用，就必须自身对椭圆的相关知识有较为全面的了解和链接。
一、“圆锥曲线”名称的由来
在圆锥曲线中，高中学段主要研究了椭圆、双曲线和抛物线，它们统称为圆锥曲线，那为什么会有这样一个统称呢？
笔者做了如下思考：我们在人教A版必修2中已经学习了立体几何，其中有一种几何体叫圆锥。正是建立在圆锥的基础上，古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法研究了圆锥曲线，下面笔者仅以椭圆为例介绍切割的过程。
图1
图1中的截交平面位于圆锥的顶点与底面之间，与底面、圆锥中心轴和任何一条母线都不平行，此时截交线就是椭圆。我们改变截交平面的位置就可以得到圆、双曲线和抛物线，笔者在此不作逐一说明。当然，我们也可以选择用一个平面去斜截圆柱，得到的截交线可以为椭圆或其他图形。
二、椭圆标准方程化简中的衍生概念
我们应用椭圆的定义，采用轨迹方程求解中的直接法，经过建系、设参、寻求等量关系、列式，我们对 （x+c）2+y2+ （x-c）2+y2=2a经过第一次两边平方整理后得到：a2-cx=a （x-c）2+y2。接下来我们进行如下的化简：
∵ a2-cx=a （x-c）2+y2，a＞0
∴ （x-c）2+y2= =a- x= （ -x）
即：= 。
我们可以建立在上式几何意义的基础上衍生日常教学中椭圆的第二定义，即圆锥曲线的统一定义。这样既弥补了椭圆部分第二定义的空白，也为最后圆锥曲线统一定义的自然形成奠定了坚实的基础。
三、圆锥曲线统一定义的转化
笔者认为，既然可以在椭圆标准方程化简过程中利用方程的几何意义衍生圆锥曲线的统一定义，那同样可以继续由统一定义衍生圆锥曲线的极坐标方程，具体变换如下：
在圆锥曲线的统一定义中，已知点F是平面上的一个定点，l是不经过点F的一条定直线，点M到点F的距离和它到直线l的距离之比是常数e（如图2所示）。我们把F取为极点，作FA⊥l于A，取AF的方向为极轴的正向，建立如图3所示的极坐标系。
图2 图3
又作PQ⊥l于Q，设P点在极轴上的射影为M，记AF=p，设点p的极坐标为（p,θ）,则p=r=|PF|,d=|PQ|=|AM|=|AF|+|MF|=p+pcosθ,按圆锥曲线的统一定义有e= = = ，解出p=。从而形成了圆锥曲线的统一极坐标方程，当0＜e＜1时是椭圆。
以上笔者赘述的都是椭圆教学中必须面对的基本要点，利用圆锥曲线的统一定义还可以形成过焦点的弦长的统一形式、平面直角坐标系下圆锥曲线的统一方程（详见人教A版教材选修2-1第76页）等。其实，每一个知识点的背后，都会有着千丝万缕的联系。笔者认为一线教师要勇于面对困惑和迷茫，坚持不懈地努力、善于思考、总结反思，定能收获每个知识点的前世今生。
参考文献
[1]《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1教师教学用书》。
[2]张金良 《高中数学必修知识拓展与引申》.浙江大学出版社。
论文作者:韩承怡
论文发表刊物:《中小学教育》2017年3月第272期
论文发表时间:2017/3/25
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