排列组合中如何确定研究对象及其先后排列顺序，本文主要内容关键词为：排列论文,研究对象论文,顺序论文,排列组合论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在排列组合的学习过程中，师生普遍感到有时不知把哪个东西作为研究对象，从而使问题得不到解决。造成这种现象的主要原因是没有明确我们要解决的问题是什么或要达到什么目的。一般来说，我们是根据要解决的问题是什么或要达到什么目的来确定研究对象。同时，有时确定了研究对象后，又不能根据具体问题的特殊要求确定元素排列的先后顺序，一般地，研究对象确定后要根据不同元素的特殊要求，优先考虑有特殊要求的元素排法。下面结合具体例子予以说明。
1 确定研究对象问题
例1 有3封信和4个邮筒， 则将信全部投入邮筒的所有不同的投法种数为（ ）。
（A）P[3][,4] （B）4[3] （C）3[4] （D）C[3][,4]
析解 首先要确定是把3封信作为研究对象还是把4个邮筒作为研究对象。由于要完成的是“将3封信投入4个不同的邮筒”；目的是投信，所以应把3封信作为研究对象，其中每封信投到邮筒都有4种可能性，由乘法原理知有4×4×4＝4[3]种不同物投法，故选（B）
说明 在分析问题时，首先要弄清要完成的事是什么？然后要搞清是分类问题还是分步问题，从而正确运用两个基本原理。
例2 现有高一学生8人，高二学生5人，高三学生10人， 组成数学课外活动小组。
（1）选其中一个为总负责人，有多少种不同选法？
（2）每一个年级选一名组长，有多少种不同选法？
（3）在一次活动中，推选出其中2人作为中心发言人，要求这两人来自不同的年级，有多少种不同选法？
析解 （1）要完成的事是“选一个总负责人”， 所以研究对象是人。由于不论从哪一个年级选一人都完成了这件事，因此是分类问题，应该用加法原理，有8＋5＋10＝23（种）。
（2）要完成的事是“每一级各选一名组长”，研究对象是人。 由于一个年级选出了组长只完成了这件事的一部分，只有三个年级都选定一个组长以后才完成这件事，因此是分步问题，应该用乘法原理，有8×5×10＝400（种）。
（3）要完成的事是“选2个来自不同年级的中心发言人”，研究对象是人，因此要分情况考虑，即先考虑从哪两个年级中选。如从高一、高二中各选一人，要用乘法原理，即有8×5＝40种选法；若从高二、高三各选一人，有5×10＝50种选法；若从高一、高三各选一人，有8×10＝80种选法。而上述每一种选法都完成了这件事，因此这些选法的种数之间还应运用加法原理，有8×5＋5×10＋8＋10＝170（种）。
评注 像这类要综合运用加法原理和乘法原理的题目，在解题时首先要搞清完成的事是什么，研究对是什么，然后再根据题意，弄清哪些情况能完成这件事，分情况逐一讨论，最后还要分析完成这事的情况之间的关系。
例3 （1）设A＝｛a，b，c，d，e，f｝，B＝｛x，y，z｝，从A到B共有多少个不同映射？
（2）6个人分到3个车间，共有多少种分法？
（3）6个人分工栽3棵树，每人只栽1棵树，共有多少种不同方案？
析解 （1）根据映射的定义，只要求A＝｛a，b，c，d，e，f｝中每一个元素都有唯一的；并不要求B＝｛x，y，z｝中的每一个元素都有原像，因此研究的对象是A中每一个元素，为此分6步：先选a的像， 有3种可能，再选b的像也是3种可能，…，选f像也有3种可能。由乘法原理知，共有3[6]＝729种不同映射。
（2）研究对象是人，把6个人构成的集合看成上面（1）中之A，3个车间构成的集合看成上面的B，因此所求问题转化为映射问题， 如上题所述，共有729种方案。
（3）此题要完成的任务是6个人分工栽3棵树，每人只栽1棵，研究对象是树。安排第一棵树有6种可能，即6人中任一人都可。再安排第二棵树有5种可能，最后安排第三棵树有4种可能，还剩下3 人可以参加栽上面3棵树中的任何一棵，因此有3[3]种可能。所求总数为6×5×4×3[3]＝3240种。
例4 从9所中学选派12名教师组成代表团，每校至少1人参加， 问有多少种不同选派方法？
解 此题要完成的任务是从9所中学选派12名教师组成代表团， 研究对象是教师。每校至少1人参加，可每校先定1人，只剩3 个名额尚须选派；分三类：①3名全从同一个学校选，共有C[1][,9]种选法； ②从两个学校选派3人，可以是甲2乙1或甲1乙2，故不同选法总数为2C[2][,9]；③从3个不同学校各选1人，有C[3][,9]种选法。故所求总数为C[1][,9]＋2C[2][,9]＋C[3][,9]种。
例5 停车场有10个车位，今有8辆车需停放，要使两个空位连在一起，有多少种不同停放方法？
析解 此题要解决的问题是停车场有10个空位，今有8 辆车需停放，要使两个空位连在一起，为此把车位作为研究对象，把两个空位看成一个位置，设想这个位置也停一辆车，这样原理就转化成全排列问题，所以所求的总数为P[9][,9]种。
例6 一排九个座位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人， 共有多少种不同的坐法？
析解 此题要解决的问题是一排九个座位有六个人坐，要每个空位两边都坐有人，为此把座位作为研究对象。先安排六个座位让六个人去坐有P[6][,6]种不同的坐法，再将三个空座位“插入”到坐好的六个人之间的五个“间隙”（不包括两端）之中有C[3][,5]种不同的“插入”方法，根据乘法原理共有P[6][,6]·C[3][,5]＝7200种不同的坐法。
2 确定研究对象后元素的先后排列顺序问题
一般地，当研究对象确定后要根据不同元素的特殊要求，优先考虑有特殊要求的元素排法。
例7 10名男生，5名女生站成一排，使女生互不相邻，其不同站法总数为_______。
析解 由于5名女生站成一排互不相邻，10 名男生可以相邻也可以互不相邻，研究对象是学生，为此优先排男生共有P[10][,10]排法，由于男生的空隙（把发全体男生队伍的左边和右边也视作空隙）有11个，5个女生插空有P[5][,11]种，由乘法原理得共有P[10][,10]·P[5][,11]种。
例8 （1）3个相同的小红球，2个不同的小白球排成一排，共有多少种不同排法？
（2）3个相同的小红球，2个相同的小白球，排成一排， 共有多少种排法？
析解 （1）由于白球不同，先放小白球，两个不同小白球放入5个位置，不同放法总数为P[2][,5]种，剩下位置再放小红球，由于小红球都相同，只有1种放法，所以所求的总数为P[2][,5]＝20种。
（2）由于白球与红球的地位相同， 先放两个小白球不同放法总数为C[2][,5]种，剩下位置再放小红球，由于小红球都相同，只有1 种放法，所以所求的总数为C[2][,5]＝10种。
例9 一名数学教师和四名获奖学生排成一行留影， 若老师不排在两端，则共有多少种不同的排法____。
析解 从特殊元素出发。由于数学教师是特殊元素，优先排教师，他除了两端外还有3个位置可排有P[1][,3]种排法，然后排学生有P[4][,4]种排法，由乘法原理共有P[1][,3]·P[4][,4]＝72（种）。
例10 从编号为a、b、c、d、e的五个小球中任取4个，放在编号为1、2、3、4的盒子里，每个盒子放一个小球，且球b不能放在2号盒中，则不同的放法种数为（ ）。
（A）24 （B）42 （C）96 （D）120
析解 由于从编号为a、b、c、d、e的五个小球中只取4个，且球b不能放在2号盒中，所以球b为特殊元素，应分任取的4个球中含有球b与不含有球b两类。第一类：4个球中含有球b。由于球b不能放在2号盒中，故从特殊元素出发优先排球b，球b除2号盒外还有P[1][,3]种放法，再从其它4个球中任取3个放，在剩余位置有P[3][,4]种放法，所以第一类共有P[1][,3]·P[3][,4]种放法；第二类：五个小球中任取的4个球不含有球b，有P[4][,4]种放法。故共有P[1][,3]·P[3][,4]＋P[4][,4]＝96（种），所以选（C）。
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