最值问题是近年来中考数学热点之一，代数与几何问题中都有涉及，考查知识点丰富，形式多样，综合性强，是学生易错疑难点之一。本文主要从代数与几何两个方面就具体例题对常见最值问题的解题策略与技巧给以简单的整合。其中，代数中最值求解主要运用配方、均值不等式、分类讨论、数形结合、函数增减性等方法，将陌生复杂的问题化为简单的熟悉的问题。几何最值问题又分为平面几何与立体几何最值：平面几何主要在三角形、四边形、圆中最值居多，复杂多变，通常利用轴对称变换、平移变换的性质，将复杂的几何问题转化为简单几何模型求解；立体几何最值主要通过化归思想，将立体图形沿侧棱展开成平面图形，再依据平面几何最值性质求解。
一、代数中最值常见解题策略与技巧
1.配方法。主要依据完全平方项的非负性，利用恒等变形，将原代数式分组配成完全平方项与实数项和的形式即可求解最值问题。
例1：设x、y为实数，代数式2x2+y2-2xy+2x+4的最小值为____。
分析：该代数式只需将 x2与y2-2xy组合成完全平方、x2与2x+1组合成完全平方即可。
2.分类讨论法。含绝对值的函数最值通常含有不确定因素，对于这类问题一般需要依据绝对值零点意义对其分类讨论，再结合函数单调性求解最值。
例2.求|x-1|+|x-2|的最小值。
分析：此题只需要找到绝对值零点1、2，然后分段讨论利用函数单调性求解即可.
3.数形结合法。对于一些有明显几何意义或与几何图形相关联的题，我们采用数形结合的思想往往会收到事半功倍的效果。比如例2的式子可以看成是数轴上x到1的距离与x到2的距离的和，只有当x在1与2之间时，它们的和最小。这样就少了像例2那样繁琐的讨论，反而显得明朗化、清晰化、简单化。这种解法对于像这样的式子“|x-1|+|x-2|+…+|x-10|求最小值”就显得更为直观简单，x取值只要在5与6之间即可。但此种方法常用于一次项系数为1的，对于那些系数不为1的（系数为整数或有理数），我们通常通过提取公因数将它的系数转化为1，再利用常规的做法即可。如对于下面的变式：
变式1：求|2x-1|+|2x-2|的最小值。
变式2：求| x-2|+|2x+7|的最小值。
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分析：对于变式1，一次项系数为2，故须提取整数2将原式变形为2（|x- |+|x-1|），再依据系数为1的绝对值函数最值法求解；对于变式2，一次项系数既含整数又含分数，故可将分数先转化为整数，再将整数转化为系数为1的绝对值函数。
再者，如下面的例3可以化归为平面坐标系中“一动点到两定点的距离和最小的几何问题”，简单明了。
例3：求y= x2-6x+34+ x2-8x+20的最小值。
4.均值不等式法。形如a2+b2≥2ab（a、b∈R）的均值不等式，一方面可以应用有明显不等式形式的代数式、分式中，如求（x2+ +4）的最小值；一方面在几何面积最值求解中也有应用，如2011陕西中考填空题第16题，在构造辅助线平移线段中出现直角三角形，且直角边未知、斜边已知，这时我们可以利用勾股定理表示三边关系，出现两个未知量平方和的关系，要求两个未知量积的最值即可用均值不等式。
5.函数模型。函数模型一方面在实际的应用题型中应用广泛，主要是一些盈利、分配、用料最省等问题。解决这类题先要分清题中已知量与未知量，将实际问题转化为代数问题，找准等量关系，列出函数关系式，再利用函数的相关性质求解。另一方面，它在几何面积最值中也有应用，通常是先通过构造，利用相似或解直角三角形将图形面积用二次函数表示，再在实际变量限制范围内利用函数单调性取最值即可。
二、几何最值问题解题策略与技巧
1.平面几何中的最值问题。平面几何最值，最简单的模型是“两条线段差最大，和最小”问题，其特点是“一定直线——两定点——动点”。在解决三角形、四边形、圆中线段、周长、面积最值问题时，可利用图形本身的性质以及几何变换将其转化为简单的几何模型求解即可。特别的是，在圆中会用到“过圆内一点的弦中，垂直于该点所在直径的弦最短”求最小值。
2.立体几何中的最值问题。立体几何中的最值通常是曲面上两点间的距离，解决这类问题，我们往往是化曲为直，将立体图形沿侧棱某一条线展开成平面图形，依据”两点之间，直线段最短”，构建直角三角形，运用勾股定理计算即可。
如2012山东青岛中考填空题第14题：圆柱形玻璃杯高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为___cm。
分析：将圆柱玻璃杯沿A点竖直剖开展成一个长为18cm、宽为12cm的长方形，此时点A（蚂蚁）、C（蜂蜜）相当于两个定点，要确定一动点P使得蚂蚁在曲面上到达蜂蜜的距离最短。这时该题已转化为“两定一动，线段和最小问题”，只需利用轴对称的性质在平面里确定点P，构造辅助线成直角三角形，用勾股定理求解即可。
综上所述，不管是代数还是几何中的最值问题总可以通过一定的方法和手段转化为我们常见的模型。这就需要学生有扎实的基础理论知识，理解并熟知简单数学模型的特性，把握数学思想的本质，活用常见的数学方法，变式训练，反思归纳，既要回归基础，也要延伸拓展，同时教师在讲解的过程中也要培养学生的问题转化与解决能力，这样学生才能在变化中抓住实质，快速找出解题的突破口，灵活解题。
论文作者:于宏媛
论文发表刊物:《中小学教育》2019年第367期
论文发表时间:2019/6/26
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