余弦定理———则体现数学联系与历史的教学案例，本文主要内容关键词为：余弦论文,定理论文,教学案例论文,数学论文,历史论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学教学要让学生从整体上把握数学和数学思想.《普通高中数学课程标准》在“教学建议”这一部分中就提出“注重联系，提高对数学整体的认识”的要求，并具体指出：“教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力.”这就需要教师在处理教学内容时，应深入挖掘与其它数学知识的关联，并在教学中通过适当的方式呈现出来，让学生感到数学是有趣的，好玩的，是美的.本文给出一个教学案例，它展现了如何在课堂教学中展示数学知识间的联系及其历史.
案例 余弦定理
1.勾股定理
欧几里得的证明：（图1）利用△ABA[，2]与△CBC[，3]全等而面积相等，得到正方形BA[，2]A[，1]C与矩形BC[，1]C[，2]C[，3]面积相等：同理正方形ACB[，2]B[，1]与矩形AC[，1]C[，2]C[，4]面积相等.由此证明a[2]+b[2]=c[2].
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2.由勾股定理猜想出余弦定理（过程可参见文2案例2，本文略）
3.证明余弦定理
方法1 （图2）向量法：设
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方法3 当△ABC不是直角三角形时，你能否利用欧几里得证明勾股定理的方法证明余弦定理？
（图4）假设△ABC是锐角三角形，仿照欧几里得的方法，可得矩形BA[，1]A[，2]A[，4]与矩形BC[，1]C[，2]C[，3]的面积相等，矩形AB[，1]B[，2]B[，3]与矩形AC[，1]C[，2]C[，4]的面积相等.因此c[2]=a[2]+b[2]-矩形CB[，1]B[，2]B[，4]与矩形CA[，1]A[，2]A[，3]面积之和.而这两个矩形的面积均为abcosC.所以
c[2]=a[2]+b[2]-2abcosC.
附图
问题：①当△ABC为钝角三角形时，如何证明；②你还能用其他证明勾股定理的方法来证明余弦定理吗？③比较上述三种方法.
4.秦九韶公式与海伦公式
在方法2中我们进一步考察三角形的面积：
附图
这就是秦九韶公式.
对其作进一步变形，则有：
这就是著名的海伦公式.
对海伦公式和秦九韶公式作简单介绍，可见文4第25页《阅读与思考》.
5.应用余弦定理证明和角公式
附图
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6.正弦定理
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（此处利用了秦九韶公式，当然也可直接应用S=（1/2）·bBD），
同时也得到S=（1/2）absinC，这是面积公式.利用面积公式我们还有（图5）：
由此得到和角的正弦公式.
这一节内容是余弦定理，但案例并没就此论此，而是引入勾股定理及其证明、秦九韶公式、海伦公式、和角公式以及正弦定理；内容大大丰富，而且这些内容是紧密联系在一起的，作为一个整体的“知识包”，在教学中呈现出来，把它们联系在一起的.
现在有不少中学教师和数学教育研究者关注“数学好玩”这一论题.笔者认为，把“剪一剪、拼一拼、量一量”等动手操作引入数学课堂，固然可以让学生觉得数学是生动有趣的，数学是好玩的，但这仅仅是对“数学好玩”的一种简单和初步的理解.“数学好玩”是一种感受，一种体验，它来源于学生对数学知识间横向联系以及纵向来龙去脉的感知.可以说，“纵横交错”的数学教学是我们实践新课程理念的一个方面.
对于数学史引入数学教学，笔者认为不应仅仅简单地在教材中加入一段阅读材料，我们更多地应考虑如何将数学史有机地融入其中.事实上，数学史应“适时介入”，也即凡是能介绍数学史的地方就应插入其历史.在案例中，不仅适时地应用余弦定理推出秦九韶公式、海伦公式，之后教师还适时地对它们及其人物作了介绍.另外，笔者对教材中《阅读与思考》的编写不甚满意.编者的目的倾向于培养学生的民族自豪感，但问题是，秦九韶公式一则在时间上并无优势可言，二则形式也较海伦公式缺乏美感，用这样的材料来培养学生的民族自豪感，显得牵强.对数学史的介绍应在尊重、支持、理解、欣赏其他民族数学成果的同时，更侧重于数学思想方法的鉴赏与比较.教材中没有给出他们的方法，其实是割裂了教材正文与阅读材料的联系.本文案例则弥补了其不足.
在案例中，用欧几里得证明勾股定理方法证明余弦定理无疑是个亮点，与两者形式的相似相比，这一方法更加深刻地反映了两者之间的类似.如果教师在教学中加以启发引导，让学生通过探索自己找到这种方法，那么这种成功的体验会对学生产生巨大的激励作用.此后，教师并不是把秦九韶公式和海伦公式简单地、直接地摆在学生面前，而是与学生一起从余弦定理中推导出来，让学生认识、了解历史的同时，也经历了古人对这一问题的探索历程.不过，探索过程并没到此结束，师生还对和角公式和正弦定理作了研究.这样这些数学知识间的横向联系就一一呈现在学生面前了.
可以说，“纵横交错”的数学教学有助于我们理解新课程的理念，并加以实践.教师在教学中讲联系、讲历史，有利于学生学数学、做数学、用数学.