广东省韶关市南雄市第一中学 512400
摘 要：变式教学是一种高效的数学教学方法和手段。通过变式教学不仅可以让课堂更活泼、更精彩，还可以完善学生的认识结构，提高学生分析解决问题的能力，优化深刻性、灵活性、敏捷性等数学思维品质，最终内化为学生的数学核心素养。
一、“变式教学”之意蕴
新课改背景下，数学教学创新必然引起教学设计、教学方法、教学评价的改进与创新。数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，而应该在学生对知识和技能初步理解与掌握后，让学生对知识的理解进一步深化，在方法与技能的掌握上进一步娴熟，使学生获得“举一反三”“融会贯通”的学习效果。“变式教学”正是实现这一教学效果的十分有效的方法与手段。
变式教学可通过各种不同形式的“变”，引发学生思维，突破思维定势，让学生对知识的理解由点到面、由表及里，拾级而上，层层深入，对数学方法的掌握由机械模仿变为灵活运用，在优化数学思维品质的同时形成数学能力。
二、“变式教学”之策略
1.一题多解，殊途同归。一题多解，就是从不同的视角分析问题，从而获得同一问题的不同解法，培养发散思维能力。对于一道数学问题，教学时首先教师不要越俎代庖，把思路或解法“主动”告知学生，更不能自恃高明，把自己想到的种种解法一一展示；而应引导学生从不同的视角分析题意，进行广泛联想，引发解法念头，并“静待花开”。这样做不仅可以开阔学生视野，获得源自学生的多种解法，还可以深化学生对知识的认识与理解，提高学生发散思维能力和解题能力，实现解题教学效益的最大化。
案例：如图，已知Ｄ、E在BC上，AB=BC，AD=AE。求证：BD=CE（八年级上册，P82，第6题）。
有如下几种方法：
方法1：从△ABC和△ADE是等腰三角形这一角度出发，利用“等腰三角形底边上的三线合一”这一重要性质，便得三种证法，即过点A作底边上的高或底边上的中线或顶角的平分线。其通法是“等腰三角形底边上的三线合一”，证得BD=CE。
方法2：从证线段相等常用三角形全等这一角度出发，本题可设法证△ABD≌△ACE或证△ABE≌△ACD，于是又得两种证法。而证这两对三角形全等又都可用AAS、ASA、SAS进行证明，所以实际是六种证法。其通性是“全等三角形对应边相等”。
教学感悟：纵观上面的各种解法，尽管所用方法不同，用到的知识也不同，但都体现了“化归转化”这一数学思想方法的灵活运用。一道典型例题惟有进行了“多解”才能增加学生思维的“宽度”，实现问题真正的教学价值。
2.一例多用，以一当十。一例多用，就是一个例题通过不断与其他知识联系、交汇，产生一串问题，实现以一当十的教学效果。一例多用的重点在于对同一题进行多层次、多角度、多方位的知识联系，不断扩展问题形成题组，通过这种变式教学拓展学生认识的广度，增加学生思维的“厚度”。
案例：如图，一次函数y=-2x+4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B。
问题1：求A、B两点坐标及求图象与坐标轴所围成的三角形的面积是多少？
问题2：当x满足什么条件时，y=0,y＞0,y＜0？x满足什么条件时,0 ＜x＜2？
问题3：在x轴上找一点Q，使△ABQ为直角三角形，写出点Q的坐标。
问题4：在直角坐标系中一点Q，使点A、O、B、Q四点组成平行四边形，并写出点Q的坐标。
问题5：如图，直线y=x-1与直线y=-2x+4相交一点M，求点M的坐标。
问题6：如图，求两直线y=x-1和y=-2x+4与两坐标轴围成的图形面积；求两直线y=x-1和y=-2x+4与x轴围成的图形面积。
问题7：记直线y=x-1为y1，直线y=-2x+4为y2，则满足什么条件时，y1＞y2？
问题8：二次函数y=ax2+x+c过点O与点M。（1）求二次函数解析式；（2）求抛物线与两坐标轴交点坐标、顶点坐标。
教学感悟：本题以一个学生较熟悉也是较容易上手的基本题和图形为背景，通过不断的知识演绎，将题目与一元一次方程、一元一次不等式、一次函数、二次函数融合，步步为营，层层深入，形成了一个知识纵横联系又有一定的思维梯度的问题串。学生在解决这一串问题的过程中不仅认识了问题本身的解法，还看到了知识之间的相互联系，学会了认识问题的方法与技巧，以一当十，教学效果不言而喻。
3.多题归一，形异质同。多题归一，就是对于有相同或相似解法即“形异质同”的问题归并到一起进行学习与比较，获得这类问题的解决方法。进行多题归一的教学不仅可以让学生从现象认识本质，深化学生认知，还可以提高学生的“聚敛思维”能力，是一种与一题多解方向相反的变式教学形式。
案例：“河边饮马”问题。如图，AB是直线L同旁的两个定点，在直线L上确定一点P，使PA+PB的值最小。
方法：作点A关于直线L的对称点A`,连结A`B交L于点P,则PA+PB=A`的值最小(不必证明)。
题型应用：以轴对称图形为背景。
问题1：如图,在等腰△ABC中,∠ABC=120°,点P是底边AC上的一个动点,M、N分别是AB、BC的中点。若PM+PN的最小值为2,求△ABC的周长。
问题2：如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点。连接BD，由正方形对称性可知，B与 D关于直线AC对称。连接ED交AC于P，求PB+PE的最小值。
问题3：如图，⊙的半径为2,点A、B、C在⊙上,OA⊥OB,∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值。
问题4：如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=l,且抛物线经过A(-1,0)、C(0,-3) 两点，与x轴交于另一点B。（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长。
教学感悟：本题在相同“题根”的基础上，不断变换题目的背景，如在等腰梯形、菱形、角、反比例函数等其他轴对称图形中求最短路线问题，让学生清楚地看到这个问题像万花筒一样，由几朵“小花”，在三棱镜的作用下，可以变换成无数五光十色的花朵，让学生感受到数学的神奇与美丽，体会到数学的有趣与好玩，提高学生学习的兴趣，让学生不仅见到树木，更看到森林。
每个经典的数学题目中都包含着大量基础知识，蕴含着丰富的数学思想方法等，利用得当，教学价值倍增。因此，解题教学中教师一定要有意识地引导学生观察题目表象、探求解题方法的本质、掌握解题的一般规律，通过多题归一的解题教学让学生实现华罗庚教学倡导的“读书要做到由薄到厚，再从厚到薄”的学习境界。
四、错误资源，变废为宝
正如皮亚杰说的：“错误是有意义的学习必不可少的。”在教学过程中，学生会有种种错误，有审题错误，有对知识的理解错误，有方法错误，有运算错误，甚至有不良心理引发的错误等等。教学中学生出现错误是正常的，有时甚至是老师希望看到的。由于这种错误源自学生的学习过程，原汁原味，反映了学生真实的思维轨迹，因此是一种极好的教学资源。这种“反面教材”在教学上若能充分有效地利用，对深化和完善学生认知、提升学生思维的批判性品质，具有十分重要的意义和作用。
案例：如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长24cm，矩形ABCD为其轴截面。在杯内距离杯底3cm的点Q处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm的P处。若杯的厚度不计，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_____cm。
错因分析:本题是典型的立体问题转化为平面问题，学生在将圆柱展开时，都知道圆柱侧面展开是一个矩形，第一种错因是找不到点P和点Q的正确位置，第二种错因是没有理解蚂蚁在杯外而蜂蜜在杯内的含义。
变式1：如图,长方形的底面边长为5cm,侧棱长为6cm,一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着表面爬到C1处，蚂蚁需要爬行的最短路程的长为_____cm。
将图形从圆柱改为长方形，只是形变而质未变，意在让学生学会知识迁移，掌握这类题的“通法”。
变式2:如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为_____dm。
变式3：如图，已知圆锥的底面半径OB=2，母线长AB=8，现有一只小虫从圆锥底面圆上B点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线AB的中点C处，求它所走的最短路程。
从形到质不断变化，意在让学生了解从求平面线段长度到求空间曲线长度之间的思维变化，理解和掌握“化曲为直”“化生为熟”“化空间问题为平面问题”等数学思想方法。变化过程也是训练学生思维的过程，随之而来的往往也是学生产生错误的过程。教学中若能引导学生将这些错误码进行归因分析，分类整理，纠错防错，让学生从自己的错误中不断获得经验与教训，从错误走向正确，完善认知结构，优化思维品质，提高元认知水平，这不正是现代数学教学所倡导的和追求的教学效果？！
教师应通过变式教学，在“变中求活、变中求新、变中求异、变中求广”中提高学生兴趣，获得认知的深入，促进能力的提升，让学生真正喜欢数学、热爱数学、学好数学。
参考文献
[1]苏霍姆林斯基 杜殿坤 编译 给教师的建议[M].教育科学出版社，2001。
[2]罗伯特·斯莱文 教育心理学[M].人民邮电出版社，2004。
[3]朱宸材 等 初中数学教学实践与反思[M].东北师范大学出版社，2016。
[4]顾泠浣 等 变式教学[M].云南教育，2007。
论文作者:凌华英
论文发表刊物:《中小学教育》2018年第329期
论文发表时间:2018/9/3
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