数学史与中学数学结合的几个教学设计，本文主要内容关键词为：几个论文,教学设计论文,中学数学论文,数学史论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在数学教学中，数学史的研究现在已经受到一部分教师的重视.许多教师在运用数学史进行教学设计的时候，往往将重点落在运用数学史的趣事上以吸引学生的兴趣，但是在笔者看来，数学史在数学教学中的作用远不止于此，从研究数学史的角度可以看到人类在数学发展历史上走过的弯路，可以成为突破中学数学重点和难点的契机.
数学是一门高度抽象化、逻辑化、形式化的学科.正因为此，在许多人的心中，数学是一门高深的学问.其实，在数学史上有许多“火热的思考”，正是经过这些思考，将数学打造成一门逻辑性极强，高度抽象的学科.正是这些思考将数学的本质完完整整的呈现出来.教师如果将这些内容介绍给学生，将在概念的引入、学生思维的建构方面起到意想不到的作用.本文将从几个侧面给出例证.
一、函数概念的建构
初中时的函数概念是建立在连续变量的基础上的，还停留在十八世纪人们的认识程度上，这时就可以向学生介绍十八世纪时数学家们对函数概念的大讨论，以加深学生对函数概念的认识.
现在公认的函数概念定义是由德国数学家莱布尼茨给出的.这可能与他第一个引入“函数”一词有关.1673年，他在一篇手稿里首先引入“函数（拉丁文functio）”，并用它来表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等，即所有与曲线上的点有关的量.也就是说，莱布尼茨把函数看作是一个几何量，是随着曲线上点的变动而变动的量.由此可见，函数概念引入初期，人们对它的认识还是相当肤浅的。为了适应和推动数学的发展，人们对它进行了一次又一次的扩展，使函数概念逐渐地完整起来.
特别地，可以向学生介绍下面两个函数：
（1）可以画出函数图象，（2）根本就画不出图象，是不是函数呢？就从当时学生的认识水平来看，可能就得出不是函数的结论.但这两个函数在数学史上是“有名”的函数.（1）参与了“真函数”与“假函数”的讨论：当时人们将只有一个解析式的称为“真函数”，反之则称为“假函数”，其实已经看到“假函数”也是函数的一种，只是从当时的函数定义来看，还不是“函数”，很快地随着函数定义的扩充，这一类“假函数”也成为函数中的一员，没有人再对它们的身份产生怀疑了.（2）将“对应”引入了函数的定义中，它根本就画不出函数图象，只能从对应的角度考虑，形成了现在高中的函数的概念.
我们认为学生的数学学习应该是学生个体的主动建构过程，每个学生都是从自己的认知基础出发依自己的思维方式理解数学的.从这个意义看，数学是无法灌输的，是难以讲授的，只能依靠学生的主动参与才能学好数学.建构主义应该是教学设计的理论依据.而向学生介绍数学史上讨论的全过程，就可以将人类的思考过程再现在学生的面前，数学概念的形成就象是学生自己建构的一样，学生能更好地理解数学概念.
二、等差数列、等比数列求和的方法
等差数列和等比数列是数学中最古老的问题之一，它们的历史至少可以追溯到三四千年以前的古埃及（早在约公元前1700年成书的“纸草算书”中就已记载了）.在学习等比数列前n项和公式时，我们可以对课本中提出的用“错位相减”法求和进一步思索：为什么要在和式：S[，n]=a[，1]+a[，1]q+a[，1]q[2]+…+a[，1]q[n-1]的两边同乘以公比q？是否还可以由等比数列及其和的定义、通项公式得出其他求和方法（或更简单的方法）呢？其实欧几里得在《几何原本》中早就给出了等比数列的求和公式，他的证明过程大致是这样的：
代入上式，即可得到现在的等比数列前n项的求和公式.
经过再探索，发现对等比数列前n项和还可用下面的方法得到：
（1）因为
在传统教学中，教师考虑到效率的问题、应考的问题往往就采用“总结规律式”的方法，这提高了学生的应试能力，但数学教学中最精彩的部分—波利亚所谓的“怎样解题”，并没有教授给学生，学生仅成为一个真正意义上的“解题机器”.在数学史引入课堂教学后，学生不但对等比数列的前n项和公式及其推导过程，求和的思想方法等有深刻理解，掌握得牢固灵活，而且在这一学习过程中，提高和发展了学生的数学思维能力，体会到了解题的乐趣.
三、深入理解对数的性质
对数的概念是高中学习中扩充的一个概念，它是不是数？为什么会想到这样的数？一直是学生的问题.
15、16世纪的欧洲，航海和贸易的迅速发展，极大地推动了天文学和三角学的进步.随之出现的大量的大数计算工作（主要是乘法和除法）变得日益重要起来.虽说乘除法并不难，但是对许多很大的数进行运算要做到快速准确就不是一件容易的事了.特别是天文学家，为了确定行星的位置或制作天文数表，往往要花上几天甚至几个月的时间进行计算.这样就想到改进计算方法，特别是将乘除转化为加减，这就可以事半功倍了.
1544年，德国数学家斯蒂费尔（M.Stifel，1487～1567）在《整数运算》一书中，列出了如下的两个数列：
…，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，…
…，1/4，1/2，1，2，4，8，16，32，64，128，256，516，…
这里第一行是等差数列，第二行是等比数列.他称第一行的数为“指数”（德文exponent，原意是代表者），并明确地指出了：等比数列中数的乘、除、乘方、开方，可以转化为等差数列中数的加、减、乘、除来实现，可惜的是，斯蒂费尔并没有由此做出更深入的研究，而把发明对数的机会失去了.而由苏格兰的纳皮尔（John Napier，1550-1617）完成了这一发明.
从形式上来看，由等差数列与等比数列的关系中引出的对数概念似乎与指数概念完全无关，其实不然，对数与指数的互逆关系，早就隐含在对数的定义中了.例如，以a为公比的等比数列与其相应的等差数列对应如下：
如果设上排的数为y，下排的数为x，那么这两列数之间始终保持着x=a[y]的关系，因此，把等差数列中的数（y）定义为与它对应的等比数列中的数（x=a[y]）的对数，就是从关系x=a[y]出发，把幂函数y定义为以a为底的对数，纳皮尔之所以没有这样明确指出的主要原因是当时指数概念尚未完善（很奇怪在数学史上对数概念先于幂的概念的形成，幂的符号直到1637年经笛卡儿的改进才成为现今通用的符号）.按当时选择符号的惯例，人们把logarithm（对数）一词的头三个字母log作为对数的符号，a[y]的对数记作logx，没有“底”的概念，当然也就没有底的符号.
纳皮尔对数理论的发表，标志着对数的诞生.然而，纳皮尔对数无论从实用价值和理论意义来说，仍有待发展.但是，人们对对数研究的热情被激发起来了，特别是天文学家几乎以狂喜的心情来接受这一发现，天文学家兼数学家拉普拉斯就曾称赞这是一项“使天文学家寿命倍增”的发明.
任何知识都有其发生、发展的历史，在中学数学教学中，我们呈现给学生的是一个完整的知识体系.打个比方，一座高楼在建设时是显得非常杂乱无章的，但等到工程完工，脚手架拆掉，展现在人们面前的是一个有条不紊的建筑.从这个完成的建筑的表面，外行人是看不出当时是怎样建造它的，而数学史的讲授使得学生身临其境般地感受到数学的发展，同时突破现有的框架形成更加有机的、全面的认识.
数学的形式化表述，往往把历史上“火热的思考”变成了“冰冷的美丽”（弗赖登塔尔语），在数学史上有许多值得我们数学工作者去研究的地方，更重要的是研究如何将数学史和中学数学结合在一起，从数学史的观点分析学生学习数学时的困难，更好地为解决教学重点和难点服务.