对苯的分子式的数学思考——兼议理科的综合，本文主要内容关键词为：分子式论文,理科论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
大家熟知，德国化学家凯库勒为了寻求苯的分子结构式，花了12年时间。这个问题本属化学领域，但是“对于结构的研究除了把看上去孤立的、无联系的领域统一起来，还导致思维的很大的经济化”。笔者在思考对称性原理时，萌发了一个念头：如果凯库勒有较好的数学功底，也许情况将好得多。出于好奇心，为了证实这种想法，笔者在某中学兴趣班讲对称性原理时，有心组织了课堂讨论，下面谈谈有关情况及心得体会。
1 对称性原理
“对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大。很难再找到可以论证数学智慧作用的更好的主题。”（H.韦尔语）
在各种问题的解决过程中，人们经常自觉或不自觉地使用如下的美学原理：
“在问题题设的条件里地位相同的未知量，可以想象它们在解答中的地位也相同。”或者说：“在条件中没有区别，则在结果中也无区别”，“在条件中对称，则在结果中也对称”。
该原理，其理由是不充分的，但在很多时候能使我们预测到问题的解，或者发现解题途径。人们称之为对称性原理。
例如，如图，设P、Q为线段BC上两定点，且BP＝CQ，A为BC 外一动点。当A运动到使∠BAP＝∠CAQ时，△ABC是什么三角形？试证明你的结论。（1986年全国初中数学竞赛试题）
分析：这里，根据已知条件，无法用三段论法推知结论，必须借助于审美直觉。观察图形可以看出，在题设条件中具有对称性：
“BP＝CQ，∠BAP＝∠CAQ。”由对称性原理，可以猜得AB＝AC，即△ABC是等腰三角形。证略。
再如，已知四面体P－ABC的六条棱长之和为l，并且∠APB ＝∠BPC＝∠CPA＝90°，试求它的最大体积。（美国第5届中学数学奥林匹克竞赛试题，图略）
证略。
现代，对称性原理已经渗透到自然科学的很多领域，杨振宁教授曾说：“三十多年来，我进行的物理研究工作，都同对称性原理和统计物理两大题目有关。”1979年，他在纪念爱因斯坦诞生100周年大会上， 讲演的一个主题就是“对称性决定相互作用”。
人们评价说，对称性原理“支配着理论物理学家创造的数学表达形式，它使我们懂得应该怎样创立理论，才能精确地描述自然界”。
2 一次课堂讨论
讨论题：在广阔的平原上有鬼子兵的大、小碉堡各6个， 相互间有等长的地道连接，形成一个整体——碉堡群。已知，每个大碉堡有4条地道，而每个小碉堡只有1条地道，试画出这个碉堡群的结构图。
尽管兴趣班的学生都是中学的数学“尖子”，有一定的思考能力，但面临该题，并不都是马到成功的，大多需经过一番认真的思索、讨论。现将一系列引导到成功的思路概括、整理如下：
（1）考虑到12个碉堡要连成一个整体，可见， 至少有一个大碉堡与某小碉堡之间存在通道。
（2）由题意，不难发现，这个碉堡群有个特点：6个大碉堡相互之间没有区别；同样，6个小碉堡相互之间也没有区别。由对称性原理， “在题设中没有区别，那么，可以期望它们在结论中也没有区别”。可见，每个大碉堡能且只能和一个小碉堡连接，如图：
回顾上述探索过程，可以看到，对称性原理在其间起着关键性作用。
课后，笔者得知，部分学生弄清题意后，很快就想到这个碉堡群应该是环形的。其中，有人是因为联想到古代城堡的环形形象；也有人是因为联想到苯的分子结构式。正如数学家T ·弗列奇所说：“数学涉及抽象的过程，这种过程始于具体情况，它认出相应的结构，并用一个结构去解决被另一结构表达的问题。”
3 关于苯的分子结构式的思考
在19世纪中叶，化学家们遇到一个难题，他们从煤焦油中提取出一种芳香的液体，叫做苯，在苯的分子中含有6个碳原子和6个氢原子。碳的化合价是4价，氢的化合价是1价，那么，在苯的分子中，碳原子和氢原子是怎样结合在一起的呢？也就是要寻找苯的分子结构式。人们百思不得其解。
当时，德国有机化学家凯库勒也致力于研究这一课题。“化合价”这概念就是他首先提出的，他认为化合物的分子由不同原子结合而成，与某一个原子相化合的其他元素的原子的数目，取决于各成分的“亲和力值”，所谓亲和力值即为化合价，他用短线表示化合价。
为了解决苯的分子结构之谜，凯库勒作了多种猜测，画过各种各样的结构式，但都是长条状的，难以成功。1865年，一天晚上，他在梦中见到一条蛇咬住自己的尾巴跳舞，灵感出现：“应该画环形结构”，接着，他花了整夜的功夫弄清了苯的六角环形结构式。
凯库勒这项发现彻底改变了有机化学的面貌。近代化学用X 射线对芳香族化合物结构的研究，证实了这种平面六角环形。
很多人对凯库勒这个梦感到惊异。其实，凯库勒本人思考苯的分子结构有12年之久。另外，还有两个经历：一是他在大学学过建筑，接触过建筑艺术中的各种空间结构，受过空间结构美的熏陶；二是他年轻时当过法庭陪审员，曾遇到一次炼金术案件，其物证就是一个首尾相接的蛇形手镯。正是这些多年积淀下来的潜知，形成梦中的蛇，与苯的结构联系起来，产生灵感。正如爱迪生所说：“天才是99％的勤奋加1 ％的灵感。”1％的灵感还是基于99％的勤奋。
笔者感兴趣的是另一个问题：如果凯库勒熟悉对称性原理的话，情况将如何？
将上述碉堡群的结构问题与苯的分子结构问题相类比，何等相似！大碉堡可比作碳原子，小碉堡可比作氢原子；大碉堡有4 条地道相当于碳原子的化合价为4价，小碉堡有一条地道相当于氢原子的化合价为1价。熟悉苯的分子结构式的读者，可以看到，苯的分子结构式与“碉堡群”的结构式完全一样。正如一位数学家所说：“对于结构的研究把看上去孤立的、无联系的领域统一了起来。”
前文中“课堂讨论”的结果表明，学生们根据对称性原理可以构思出碉堡群的结构式。据此实验，笔者认为，如果凯库勒熟悉对称性原理的话，苯的分子结构式也许能提前多年问世。因为，若考虑到对称性原理，他就不难想到苯的分子结构式应画成环形的，而从“条形”到“环形”的转变是解决问题的关键所在。
数学功底制约科学家的发明创造，这在科学史上屡见不鲜，另一个很突出的案例是电磁理论创立的过程。
法拉第通过实验已发现电磁感应现象，但是，他的创见“都是用直观的形式表达的，缺少精确的数学语言”。也就是说，他的数学功底不扎实，从而未能实现他的理想。稍后，麦克斯韦采用拉格朗日与哈密顿的数学方法推导出电磁场的波动方程，才得以完成他的电磁理论，使人类跨入电讯时代。
“横向联系，在交叉点上开花”，这是现代科学研究的重要方法。从这一角度看，现在强调理科的综合是有道理的。不过，笔者认为，理科的综合，必须强调思想方法的综合，特别是数学思想方法的渗透，防止“3＋x”的“x”带来新的题海战术。