刘艳楠[1]2004年在《关于一类自由不连续问题解的正则性》文中提出本文分别给出了几类自由不连续问题的Euler-Lagrange方程；在f满足一些限制条件，u是数量函数情形时，对如下泛函：用能量衰减法得到了极小的奇异集的奇异集∑(u)的维数估计，推广了L．Ambrosio，N．Fusco & E．Hutchinson[6]的相关结果；本文还讨论了自由不连续问题极小的奇异集族在Hausdorff距离下的紧性性质等，这些结果可望用来降低∑(u)的维数。
吕中学[2]2006年在《关于自由不连续问题的正则性和存在性》文中进行了进一步梳理自由不连续问题(Free Discontinuity Problem)的提出和研究开始于1990年前后。由De Giorgi把这些涉及到自由不连续集的变分问题，统一称为自由不连续问题。这类问题在信息科学中的图像处理(image analysis)，数学物理中的液晶理论(liquid crystal theory)和断裂力学(fracture mechanics)等方面都有重要的应用。在理论上，自由不连续问题涉及到现代偏微分方程、变分学和几何测度论等方面的内容，是现代偏微分方程、变分学和几何测度论等领域的新课题。本论文主要有叁方面内容：一是讨论SBV框架下的自由不连续问题的部分正则性；二是讨论SBD框架下的自由不连续问题的存在性；叁是讨论SBH框架下的自由不连续问题的存在性。第一章简要概述了自由不连续问题研究的背景、进展以及本文所研究的问题、运用的方法和获得的若干结果。第二章引入本文所需要的基本知识、符号和相关的引理。第叁章首先讨论了Mumford-Shah泛函极小的一个正则性质。我们运用Excision方法得到了Mumford-Shah泛函极小的一个Lipschlitz性质。其次讨论了自由不连续问题的极小函数的奇异集的奇异部分的Hausdorff维数估计，给出了Mumford-Shah泛函中的不连续集的奇异部分Σ(u)的几个表示。我们去掉了梯度的高级可积性的假设，即|▽u|∈L_(loc)~p(Ω)，证明了H-dim(Σ)≤N-2，给出了De Giorgi猜想的一个部分回答。第四章讨论了SBH(Ω)空间中自由不连续问题极小的存在性。首先给出了SBH(Ω)空间的一个紧性定理，然后利用这个定理讨论了两个不同泛函的变分问题。第五章讨论BD函数空间积分泛函的下半连续问题和松弛结果。首先我们考虑LD空间满足线性增长的积分泛函的下半连续性；其次在SBD函数空间讨论了被积函数为Carathéodory函数时的积分泛函在满足对称拟凸条件时的下半连续性，主要利用SBD函数空间的紧性定理和blow-up方法以及Morrey定理等给出了积分泛函关于L~1-强收敛的下半连续性；然后利用BD函数的一维截断方法和结构定理，讨论了在BD全空间上的积分泛函的下半连续性。最后讨论SBD(Ω)空间中密度函数与x和u以及εu都相关的积分泛函关于L~1-强收敛的松弛结果。利用被积函数f(x，u(x)，εu(x))类似SBV情形下关于f(x，u(x)，▽u(x))的一个条件、对称拟凸性质、，Lusin定理和全局方法(global method)等得到了积分泛函的松弛泛函的一个积分表示。第六章给出了BD函数的链式法则(chain rule)的几个特殊结果。我们首先给出在BD函数的均匀化理论中一个有用的结果；然后给出散度形式的一些链式结果。但对一般情形的链式法则还没有结果。第七章讨论了SBD(Ω)空间的自由不连续问题极小的存在性。首先讨论了一般形式的自由不连续问题：我们考虑了两类不同泛函的变分问题。主要利用SBD函数空间的紧性定理，BD函数的Poincaré不等式等给出了变分问题的存在性。这里我们没有考虑u的有界性限制。然后我们给出了SBD函数空间一种特殊的自由不连续问题(即分片刚体情形)极小的存在性。主要利用Borel分解的紧性、SBD函数和有限周长集的性质，通过变分的直接方法给出证明。
白庆月[3]2016年在《偏置曲线曲面自相交若干问题的研究》文中指出21世纪是科技信息迅速发展的时代,各行各业对现代技术都表现出了强烈的依赖性,同时也体现出了对其极高的要求。计算机辅助几何设计(CAGD)作为信息集成、数据集成、产品开发的重要工具,在这个大数据时代发挥着重要的作用,例如,在研究数控加工刀具、道路线型设计、箱包壳体设计、汽车和航空航天等前沿领域中均有重要应用。偏置曲线和曲面就是这些广泛应用的核心理论支撑,尤其在图像的特殊处理、控制点的去除技术以及犀牛软件建模过程中,经常伴随着自相交等非正则现象的出现。在偏置曲线曲面理论中,等距偏置和变距偏置是两种最基本的类型。第一类,等距偏置曲线曲面。等距偏置相对特殊,因为它是以一个固定常量d作为偏置距离的,在理论推导或者求导时,常函数对表达式的影响一般不是很大,在模拟实验中,常量给工作带来的影响有时仅仅是一个图像比例的问题。研究者之所以非常重视等距偏置量,还因为它的特殊性在一定程度上促进了其深度研究。第二类,变距偏置曲线曲面。因为偏置距离变成了一个灵活性很强的实函数d(t),这种灵活性似乎不是人们期待的多样性,因为在理论推导、实验仿真等方面都着实给人带来了困扰,甚至当偏置距离出现无理的情况时,CAD软件程序几乎不能操作运行,因而,无理情况必须进行有理化处理。文章从二维曲线自交的去除和叁维空间曲面自交的去除两个方面对偏置曲线、曲面展开研究,通过选取基函数、建立自交方程、求解自交方程和确定自交点位置等步骤来实现曲线曲面的去自交任务。主要研究内容及成果如下：首先,文章分析了两条相交曲线是否正则,从而判定相交曲线的非正则条件。对于二维空间中偏置曲线自交问题的研究,当两条自由曲线C(u)和C(v)发生相交时,在相交点处存在方程C(u)一C(v)=(。利用消元算法消除参数项的主要思想,不妨令I(u,v)=C(u)-C(v),通过等价代换等过程而将目标方程降阶并进行代数方法的分解(u-v)(?)(u,v)=C(u)-C(v),最终再进行代换转化,使得目标方程与低阶方程建立等价关系,只要通过求解方程(?)(u,v)=0,得到的解即是自交方程的解,也就达到了去除自交点的目的。其次,在偏置曲线自交情况的研究基础上,探讨叁维空间中偏置曲面的自交现象。从前文偏置曲线自交问题的探索经验可知,偏置有理化曲面S(u,v)和S(r,t)相交的情况也是曲线相交的一种推广,由于偏置曲面和偏置曲线自交问题的差异性,在关于偏置曲线去除自交的研究基础上附加了参数约束条件[0,1],并在Bezier基函数下进行了有效的推广。最后,将二维、叁维空间曲线、曲面进行深入推广,得到高维空间相交曲面的去自交方程,并对多维方程给予理论上的推导和证明过程。文章提出的消元算法有效地解决了偏置曲线、偏置曲面的自相交问题,不仅弥补了用圆盘扫描算法去除自交的缺陷,而且完善了偏置曲线曲面研究中去自交的理论体系,还推广了消元算法去自交的适用范围,同时也拓宽了曲线曲面去自交的应用领域。
何青海[4]2011年在《非凸映射的度量正则性和非凸优化》文中认为利用泛函分析、变分分析和非光滑分析的方法和技术研究闭集值映射的度量正则性,度量次正则性,calmness,数学规划问题及向量优化问题,受到人们的密切关注,被广泛地应用于许多领域.本文在其他研究者的基础上,我们主要获得了如下四个方面成果：一、给出一个单值映射g(·)与一个多值映射Q(·)之和M(·)=g(·)+Ω(·)的Clarke切锥,法锥及Bouligand切锥通过Ω(·)的相应切锥及法锥描述的表达式,讨论了M的subsmoothness及L-subsmoothness;给出(σ,δ)-subsmooth闭集值映射具有度量正则性的若干等价条件,把Ursescu-Robinson定理及Zheng和Ng的有关结果推广到更一般的非凸情形.利用正规对偶映射,给出(σ,δ)-subsmooth闭集值映射具有度量次正则性的充分与必要条件和point-based条件,改进并推广了Zheng和Ng等的有关结论.二、研究了不等式和光滑等式约束的优化问题的sharp minimum与strong KKT条件、weak sharp minimum与quasi-strong KKT和sub-quasi-strong KKT条件的关系,并在Lipschitz条件及quasi-subsmooth条件下,获得了该类优化问题满足各种strong KKT条件的等价描述,把Zheng和Ng关于复合凸情形的有关结论推广到更一般的非凸情形.叁、获得了有限维空间上的Ck、1向量值函数的七+1阶Clarke次微分形式的泰勒公式.在(k+1)阶次微分正定的假设下,给出此类函数的高阶Clarke次微分形式的pareto及弱Pareto解的充分条件.在一般Banach空间中,我们定义了Ck·1函数的Michel-Penot高阶次微分,讨论了它的基本性质,并给出高阶次微分形式的Taylor中值公式,利用其研究了一般Banach空间上Ck、1映射的Michel-Penot同阶次微分优化条件.四、在Banach空问中,我们证明,当目标集值映射F的图Gr(F)是有限个广义多面体之并且值集F(Γ)与序锥C的和F(Γ)+C是凸的或者序锥C是具有非空内部的多面体时,其弱pareto解集和弱Pareto最优值集也是有限个广义多面体之并.当目标集值映射的图Gr(F)是有限个凸多面体之并且值集F(Γ)与序锥C的和F(Γ)+C是凸的时,若C在Y关于F下的分解有限维子空间中的投影是闭的,则其pareto解集和最优值集也是有限个凸多面体之并.在去掉目标集值映射关于序锥是凸的假设下,序锥是广义凸多面体时,我们证明,其弱Pareto解集和弱最优值集也是有限个广义多面体之并.最后,我们证明,当目标映射关于序锥C是凸的时,其Pareto解集和pareto最优值集是道路连通的.
章志飞[5]2003年在《发展型方程中若干问题的研究》文中研究说明具有近二百年发展历史的调和分析至今仍是一个十分活跃的数学分支，它的方法几乎渗透到数学的所有领域，特别是对偏微分方程的应用，愈来愈受到人们的重视。例如第叁代Calderon-Zygmund算子及T(1)，T(b)定理，对于非光滑区域上的一类椭圆边值问题，提供了用位势求解的理论基础[46]；又如以振荡积分估计及位势估计为基础，建立线性发展方程的L~p-L~q估计以及相应的时空估计，为研究发展型方程提供了新的工作空间，这方面的工作参见T．Tao的主页(http://www.math.ucla.edu/tao)中所列的参考文献；此外调和分析中的Littlewood-Paley理论，Hardy空间的实变理论，对波映照方程，Euler方程，Navier-Stokes方程的求解提供了简单而有力的工具[18，27，47，48，49，60，61]。 本文以调和分析技术为基础，对偏微分方程中的若干问题作了研究。全文共分四章：第一章研究Navier-Stokes方程弱解的正则性；第二章研究修正Navier-Stokes方程的柯西问题；第叁章研究一个广义KdV方程在负指数Sobolev空间中的整体适定性；第四章研究一个二维半线性Schrōdinger方程的整体适定性。下面分别阐述各章的主要内容：第一章考虑Navier一Stokes方程的初值问题。。一△二+。·甲二十V7r二无inR几x(O.T)(NS)甲·u=0，in。(0)=a，inRnx(0，T)R几(0 .0.1)其中。二(。‘(亡，x)，…，。“(，，二))和7r二二(t，x)分别表示流体在(t，习处的流速和压力，f二(f‘(t，x)，…，了“(t，x))和a二(al(x)，…，an(x”分别为给定的外力和初始流速.(0 0.1)描述不可压缩枯性流体的运动. 当。任五2(R”)n，甲·a=o时，J.Ler盯和E.Hop叮43，331构造T(NS)方程的一个整体弱解u(t，x)任L‘(o，T;石2(Rn)”)n石2(o，T:万‘(Rn)“).众所周知，当。=2时，弱解是正则和惟一的，参见[63}.当。七3时，弱解的正则性和惟一性仍是一个公开的问题.发展(NS)方程的正则性理论有两条路线:一条是给出弱解的正则性判别;另外一条是研究弱解更好的部分正则性.关于弱解的部分正则性，目前最好的结果是由L .c盯farelli，R.Kohn，L.Nirenberg【111得到的，他们证明了某种弱解的奇异点集的一维Hausdorff测度为0.对于弱解的正则性半IJ别，.r.Serrin{52，53}首先作了研究，后来，Fabes，Jones和形viere!25}，Sohr{54}，Gigal3O〕，Struwe{56}，Takahashi!57」推广和改进了Serrin的结果，证明若弱解。。护(0，毛厂(R”)n)，苦+警叁‘，。
周树清, 宋作尚, 张燕[6]2000年在《一类拟线性退缩椭圆组弱解的C~(o,α)-正则性》文中指出利用Muckenhoupt提出的A2 类权函数的性质和带A2 类权函数Sobolev空间H1(Ω ,RN,λ)的嵌入不等式 ,对满足控制增长和自然增长条件的拟线性退缩椭圆组 ,建立了方程组(1)的弱解的Co,α 正则性 .只要λ2 (x) ∈A2 ,就可以将M .Giaquinta关于一致椭圆组的有关结果推广到退缩椭圆组 .
周树清, 谢素英, 张燕[7]2001年在《一类线性方程组弱解的C~(1,1)-正则性》文中研究表明应用Ｍｏｒｒｅｙ空间以及Ｃａｍｐａｎａｔｏ空间法，得到了线性方程组Ｎ），的弱解的局部 Ｃ１，μ－正则性以及对应的齐次方程组弱解的局部Ｃ１，１－正则性，从而将文献［１］中相应结果推广到λ≥ｎ＋２的情形，并且得出了μ（λ）的函数关系式．
参考文献：
[1]. 关于一类自由不连续问题解的正则性[D]. 刘艳楠. 南京理工大学. 2004
[2]. 关于自由不连续问题的正则性和存在性[D]. 吕中学. 南京理工大学. 2006
[3]. 偏置曲线曲面自相交若干问题的研究[D]. 白庆月. 兰州交通大学. 2016
[4]. 非凸映射的度量正则性和非凸优化[D]. 何青海. 云南大学. 2011
[5]. 发展型方程中若干问题的研究[D]. 章志飞. 浙江大学. 2003
[6]. 一类拟线性退缩椭圆组弱解的C~(o,α)-正则性[J]. 周树清, 宋作尚, 张燕. 湖南师范大学自然科学学报. 2000
[7]. 一类线性方程组弱解的C~(1,1)-正则性[J]. 周树清, 谢素英, 张燕. 湖南师范大学自然科学学报. 2001