从知识完整性的角度设计主导课堂教学的主要问题_数学论文

从知识整体性视角设计主问题引领课堂教学，本文主要内容关键词为：整体性论文,课堂教学论文,视角论文,知识论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      一、提出问题

      有部分教师认为，教材上的内容就是教师所要“教”的内容，每一课时“教什么”非常明确，因此，他们在教学设计的时候，经常“就事论事”地认识本课时的教学内容，仅仅考虑“点状”的局部知识，他们在教学实践中往往更多关注“怎么教”的问题，结果就出现学生学习后“只见树木不见森林”的局面.事实上，囿于教材编写的限制带来教学内容的分散，囿于教学课时的限制带来教学过程的间断，教学中一直存在着数学知识的整体性把握与局部性认识之间的矛盾.我们知道，数学知识具有很强的系统性，很多新知识都是在已有知识的基础上形成和发展起来的.即前面知识是后面知识的基础，后面知识是前面知识的发展.正是因为数学知识的相互联系，从而形成数学知识的整体性和连续性.整体与局部的辩证原理告诉我们，整体与局部既有区别又有联系，其中整体处于统率的决定地位.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读告诉我们，教材是按照整体性设计和编写的，数学教学活动要注重课程目标的整体实现.可见，数学课堂教学既要追求“局部完美”，更要追求“整体和谐”，即要把知识体系当成核心、围绕知识体系展开教学.其中，从知识整体性视角设计主问题引领数学课堂教学是让学生整体形成知识体系、整体把握知识本质行之有效的方法.下面以苏科版（国标版2012年）七年级下册第九章“整式的乘法与因式分解”中“乘法公式”的“平方差公式”为例予以说明.

      二、课例设计

      （一）回顾旧知，引出问题

      教师：前面我们学习了“多项式乘以多项式”及“完全平方公式”，同学们先思考一下：多项式乘以多项式的法则是什么？怎样用符号语言来表示？并利用法则进行下列计算.（1）（3m+n）（m-2n）；（2）（5x+y）（5x-y）；（3）（n+1）（n+3）；（4）（m+2n）（2n-m）.

      

      教师：我们发现，（2）（4）中的两个运算，同样是两项乘以两项，结果却很简单，也只有两项.为什么会这样呢？

      学生：仔细观察计算过程，发现两项乘以两项照理说应该是4项，但这两个乘积的中间两项正好可以正负相消，所以结果只有两项.

      教师：看来，多项式乘以多项式中存在着特殊情形，本课我们就重点来研究这个问题.

      说明：上述过程中，教师从数学内部出发创设问题情境，为数学新旧知识内部联系的揭示、从整体性角度认识新旧知识埋下伏笔.

      （二）探究问题，获得新知

      教师：我们知道（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，那么（a+b）（a-b）是多少？

      学生：（a+b）（a-b）=

.

      教师：对照前后两个算式，你能看出它们的联系吗？

      学生：（a+b）（a-b）相当于（a+b）（c+d）中c=a，d=-b，所以（a+b）（a-b）应该是多项式乘以多项式的特殊情形.

      教师：因为（a+b）（a-b）=

的结果是“平方差”的形式，所以我们把这样的两个多项式相乘的特殊情形记为“平方差公式”.

      说明：上述过程中，教师从一般到特殊，通过主问题寻找知识的根，让学生明白：“知识从哪里来？”“知识是怎么形成的？”

      （三）剖析新知，多元认识

      教师：请大家结合刚才的（2）（4）的计算和得到的公式，谈谈对公式的全面认识，先自己观察思考，再同伴互助，然后小组交流.

      学生：公式左边：①形式上必须是两个数或式子的和与差的乘积；②a+b、a-b中a和b、a和-b的次序可以变化，应用公式时，可以利用加法交换律调整次序；③a与b可以是数、单项式、多项式.公式右边：①两数平方差的形式；②可以用

-

来表示；③前面括号里填a，后面括号里填b.

      教师：刚才我们从代数的视角全面认识了这个公式及其特点，根据前面我们学习获得的经验，还可以通过几何视角加以验证.思考一下：如何利用几何图形的面积来验证公式的正确性？

      学生：图1①中阴影部分的面积为

，图1②中阴影部分的面积为（a+b）（a-b）.图2①中阴影部分的面积为

，图2②中阴影部分（梯形）的面积是

（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b），当然还可以把两个梯形拼成一个长为（a+b）、宽为（a-b）的长方形或平行四边形.于是得到（a+b）·（a-b）=

是正确的.

      

      说明：上述过程中从代数到几何，通过主问题形成对本课核心知识“平方差公式”的全面认识，属于“教结构”，让学生明白：“知识的内涵是怎样的？”“本知识与相关知识的关系是什么？”

      （四）基本运用，巩固新知

      

      

      教师：通过上面问题的解决，请你谈谈“平方差公式”有什么作用.

      学生：（1）说明平方差公式可以自左向右正向用；（2）说明公式可以连着用；（3）说明公式可以与完全平方公式一起混着用；（4）说明公式可以结合前面知识一起活用.

      教师：根据我们以前学习的经验，公式是一个等式，你觉得它还可以怎样用呢？

      学生：还可以自右向左逆用.

      教师：很好.逆用公式是我们后面要学的“因式分解”知识，到时我们再一起认识.

      说明：上述过程中，从例题到归纳，通过主问题形成对核心知识作用的全面认识，属于“用结构”，让学生明白：“学习知识后有什么作用？”“使用本知识究竟可以解决哪些问题和类型？”

      （五）当堂反馈，及时提升

      （教师布置课堂反馈练习；学生做练习，校对.）

      教师：本堂课中我们学习了哪些知识和技能？你从中体会到了哪些数学思想方法？通过本课的学习，你获得了哪些数学活动经验？你还有其他收获或困惑吗？请大家想一想、议一议、说一说.

      学生：本课中我们学习了多项式乘以多项式的特殊情形——平方差公式；知道了本课中的知识平方差公式的来源，也知道了公式的特征；我们用多项式乘以多项式法则进行了证明，又利用图形面积的方法进行了公式的验证；通过问题解决知道了公式有着广泛的应用，可以正用、连用、混用、活用，后面还有逆用；在学习过程中体会到了一般与特殊、数形结合、归纳、公式模型等思想；从中获得使用公式前要认准，使用公式时要适当调整次序，同时要注意符号、系数、指数等学习活动经验.

      说明：上述过程中，从基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验“四基”角度进行，通过主问题对核心知识“从哪里来？”“如何发展？”“向哪里去？”进行全面梳理和归纳，让学生不仅明白知识，更从思想方法、活动经验等视角加深对知识的理解.

      三、后续思考

      上面通过一个课例说明针对“一个知识点”如何从知识整体性视角设计主问题引领课堂教学.事实上，从知识整体性视角看，我们的课堂教学会涉及一个知识点（新授课）、多个知识点（单元复习课）、几个知识板块（综合复习课）等基本类型，下面就此三类作些思考.

      （一）单个知识点

      单个知识整体性是指把这个知识放在整个知识链中看，以此设计主问题形成一条课堂教学的主线，使各个环节紧密相连，让整堂课给人一气呵成之感.通过单个知识整体性认识的主问题引领，让学生明白“它从哪里来？（如何产生）它是如何建立的？（如何形成）它将向哪里去？（如何发展）它有什么作用？（如何应用）”，进而让学生对构成这个知识点的各要素之间的关系形成全方位认识.它强调全面性，体现系统性教学中对知识的理解深度.

      事实上，每一个数学知识的教学，我们都可以追寻其产生的根，由此引出研究和引领课堂的主问题，然后逐步清晰、全面认识所学知识，做到充分了解知识的产生和发展过程，理解数学知识的来龙去脉，最后学以致用，保证对每个知识不仅知其然，而且知其所以然，使单个知识通体透明.

      （二）多个知识点

      多个知识整体性是指按教材顺序逐一教学组成知识结构的各部分知识时，应改变分散、孤立教学的传统，把涉及的知识置于整体的知识体系中，抓住这些知识的相互关联设计主问题，在整体视野下更好地理解各部分知识，把这些零散的知识串成一条线.它强调关联性，体现系统性教学中对知识的理解宽度.

      例如在苏科版（国标版2012年）的教材中，分别在“一般三角形”“直角三角形”“等腰三角形”“全等三角形”“相似三角形”等处出现关于“三角形”的多个知识点.从多个知识整体性思考，我们可以在这些单元复习课堂中设计“结点成线”的主问题串，帮助学生通过系统性教学达成知识整体性认识结构.如“一般三角形”围绕着研究“三角形的定义、三角形边的性质、三角形角的性质（含内角和外角），同时可以向四边形、多边形进行推广”这条主线；再如作为特殊的单个三角形“直角三角形、等腰三角形”，同样围绕着研究“定义、共性，再研究其独特性质、判定”这条主线；再如作为两个三角形，其特殊关系是全等，我们可以围绕着研究“定义、性质、判定，同时可以向全等四边形、全等多边形推广”这条主线；再如全等的一般情形是相似（特殊时位似），我们还是可以围绕着研究“相似的定义、性质和判定，同时可以向相似四边形、相似多边形推广”这条主线.当然，学习每一种知识的同时，都要考虑知识的运用和应用.这样加强知识整体性认识后设计主问题实施的系统性教学，可以让学生时时看到知识的前面和后面，关联性的揭示有助于学生通过结构紧密的知识链更牢固地把握多个知识的全貌，形成关于“三角形”的知识体系，进而可以压缩存取知识的长度，对多个知识形成更全面的认识.

      事实上，多个知识的教学，我们都可以找到它们的关联，由此设计主问题形成一条教学主线.如对于代数中的有理数、实数，我们都是研究定义、运算，每一种运算都借助于运算法则；对于有理式（整式、分式）、无理式（二次根式），我们都是研究定义、运算，每一种运算都借助于运算法则；对于方程、不等式，我们都是研究定义、解法及应用；对于函数，我们都是研究定义、图象、性质及应用.再如对于几何中的平行线，我们研究其定义、性质、判定及应用；对于四边形，我们研究定义、边和角的性质，对于特殊四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形），我们都研究定义、性质、判定及应用.只有抓住这条主线设计主问题实施课堂教学，才可以保证知识点状清晰，脉络分明.

      （三）几个知识板块

      板块知识整体性是指当我们在研究一个板块知识的时候，不仅要对这个板块的所有知识有全面的认识，体现全面性和关联性，更要把本板块的知识与其他板块的知识及时挂钩、相互融合设计主问题，通过思想方法求得统一.它强调融合性，体现系统性教学中对知识理解的完整.

      例如苏科版（实验版2003年）九年级下册第六章“二次函数”是初中代数最后一章内容，在对本章内容进行综合复习或中考复习时，从板块知识整体性思考，我们可以通过几个课时设计主问题教学，进而达成如下认识.一是从本板块知识的整体性思考，从单个知识全面性和多个知识关联性看，应该包含如下要点，即二次函数的定义、图象（包括开口方向、顶点坐标、对称轴、最值、与x轴和y轴的交点及其坐标）、性质（分类讨论下的增减性）、解析式确定（包括一般式、顶点式、交点式）、知识运用或应用.二是作为“函数线”上的板块知识的整体性思考，要考虑与前面所学的正比例函数、一次函数、反比例函数的定义、解析式、图象、性质进行类比和对比，以加强与二次函数的联系.三是作为“函数板块”上的板块知识的整体性思考，要考虑与前面所学的一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程的“方程板块”及前面所学的一元一次不等式、不等式组及特殊的一元二次不等式的“不等式板块”融合.四是从“二次函数”中核心体现的数学思想方法角度重点考虑数形结合思想、函数思想和待定系数法，用数学思想方法统领“函数、方程、不等式”三大板块.五是从数学各分支的整体性思考，可以适当把二次函数（代数）与三角形、四边形（几何）或统计、概率等联系起来，特别是要加强与几何的联系，充分体现“数”“形”之间的血肉相连.这样通过知识整体性认识思考后规划的系统性教学，可以帮助学生以板块的形式认识、理解和存取，在学生的头脑中形成一个一个的有序排列板块，板块之间相互融合，而不是杂乱无章的散点状或纵横交错的乱线状，既减轻了学生的记忆负担，又有利于学生整体把握初中数学知识体系.

      事实上，现在所用的数学教材都是按照代数、几何、统计及概率混编同步推进，按知识发展体系分层螺旋上升进行编排.所以当我们把一个板块知识教学完成接着学习第二板块知识时，不管是不同板块的并进还是同一板块的深入，都要考虑板块之间的对比、类比、数形结合等，通过设计主问题进行有机融合，只有这样，才能真正把握教材螺旋上升的意图，同时让学生把握知识脉络，进而促进学生认知力的不断综合提高.

      四、写在最后

      罗新兵、恩斯特姆指出，数学课堂教学与追求教学方式的创新、教学方法的改进相比，教师对数学知识的认识与理解更加重要.李海东指出，核心概念的教学设计应该考虑概念的来源是什么，概念的内涵是什么，与相关概念的相互联系是什么，概念有什么作用，在新的概念引入后，原有的知识可以作出什么新的解释等.上述观点告诉我们，对待核心知识更应该强调认识理解和教学流程.所以全面认识每个知识、理解相关知识关联、及时进行板块融合，是教师对知识整体性把握的基本表现，用此设计主问题引领课堂教学是完善数学课堂教学的必经之路.只有从知识整体性视角来设计主问题引领课堂教学，才能让学生将零散的知识结点成线、结线成网，形成较为稳定的知识谱系和结构良好的认知能力，才能让学生真正掌握数学知识的规律、把握数学知识的本质，进而提高学生利用所学知识发现、提出、分析、解决问题的能力.

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