关注教学法表征的数学归纳法教学设计，本文主要内容关键词为：归纳法论文,表征论文,教学法论文,教学设计论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
表征是认知心理学的一个重要概念.有效的教学不仅需要充分的学科内容知识，而且需要丰富地表现各种数学观念与关系的呈现方式的知识，促进学生理解.教学法的表征是指教师和学生在课堂中应用的所有表征，它们作为数学知识的各种外部表示帮助解释一些概念、关系、联系或问题解决的过程.
本设计在数学归纳法知识解析，以及学生学习问题诊断的基础上，利用知识表征理论突破难点，促进学生有效地进行数学抽象概括.
一、内容和内容解析
数学归纳法是《课标》实验教材选修2—2“推理与证明”中的内容，安排在“合情推理与演绎推理”和“直接证明与间接证明”之后，两个课时.在等差数列和等比数列的学习中，通项公式的推导多用不完全归纳法，其正确性还有待数学方法证明.因此，数学归纳法也是数列学习的深化和发展.
数学归纳法主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立.
数学归纳法作为一种数学演绎证明的思想方法，同时也蕴含了“算法思想”.这主要体现在“归纳递推”步骤的形成中.归纳递推是对许许多多的“由上一项成立推导出下一项成立”的“重复”过程抽象概括得到的，这是由“解法”向“算法”发展的过程中必然要经历的.从理论上说，数学归纳法提供了证明与自然数有关的一类命题成立的一般性的思想方法.
以上述知识解析为基础，我们在教学设计时，体现了“观察—归纳—猜想—数学证明”的思考序列，突出数学归纳法，特别是递推思想的形成过程.使学生不仅掌握一种新的证明方法，而且能理解它的实质，领悟数学思维的美.
二、目标和目标解析
数学归纳法教学的核心应是让学生体味数学归纳法的思想“精髓”，而不仅仅是记住解题的程式.因此，本节课的教学目标，应使学生：
（1）感悟与正整数有关的一类命题仅用不完全归纳等合情推理思想解决问题的局限性；（2）通过典型问题，抽象概括出数学归纳法思想及基本步骤.即用数学归纳法证明与正整数n有关的命题P（n）成立需要做哪几件事；（3）理解数学归纳法的思想方法，即为什么做了这几件事就能证明命题P（n）对一切正整数n都成立；（4）体会数学思维中严谨与简洁的美.
三、教学问题诊断分析
Fischbein等[1]的研究调查了学生对理解数学归纳法原理的心理困难.结果约有50％的学生对数学归纳法原理的“归纳假设”存在理解上的困难.他们弄不清楚为什么可以随便假设P（n）成立，想检验归纳假设这个前提.
根据Dubinsky，Lewin[2]的分析，数学归纳法的认知图式涉及三个基本前提，即函数图式，逻辑图式，以及利用归纳法原理的证明方法的图式（见图1）.前面两个是关于原理本身的要素，后者是应用问题.
理解数学归纳法的困难在于：首先，需要建立关于正整数的命题值函数的概念.其次，命题值函数的图式与蕴含演算的逻辑图式协调，构造出蕴含值函数，即Q=（P（n）→P（n+1））.“蕴含”命题Q成立与否是由P（n）→P（n+1）整体来决定.第三，从以正整数为定义域的命题值函数到对应它的蕴含值函数的转变过程.
教学过程设计方面突出考虑：（1）如何让学生产生认知的需要，即导入问题的设计.要达到这个目标，首先要让学生产生“问题”——由“逐一验证”无法实现，“局部验证”不完备、不可靠而引出问题：“能否找到一种可靠的方法，并且通过有限步骤证明一个有关自然数n的命题？”.有的教师用“摸球”的方式，有的教师利用“多米诺骨牌”游戏引入，虽然简单易操作，或者形象直观，但要概括出“数学归纳法”思想并不自然，而且降低学生的思维水平.有的教师采用“反例”，例如对任意自然数n，
的值是否为质数？这个例子说明经验归纳不可靠很恰当，但并非应用数学归纳法的典型问题，所以也不适合单独作为引入问题.（2）利用教学法表征克服难点.知识的获得不仅具有活动性、建构性、社会性、还具有情境性、默会性.知识的不同外部表征的作用是：（a）让学生明确命题值函数的特点，促进学生形成“证明命题值函数的策略和方法”.（b）促进学生抽象概括数学归纳法的核心思想和形式步骤.（c）利用多米诺骨牌游戏活动等丰富学生对数学归纳法的表象，促进意义建构和理解.
四、教学过程
1.创设问题情境，激发学生的认知需要
设计意图 这个问题本身难度适宜，建立在学生已有知识的基础上.学生易于观察规律，得出猜想.使得学生的注意力集中于对证明方法的探寻.通过让学生反思猜想的过程，明确所应用的方法是基于特例的不完全归纳.
问题3 根据几个少数特例归纳出的结论是不可靠的.根据前面学习的数列知识，你想怎样证明等式
成立？
设计意图 突出观察——归纳——猜想——证明的思考方式.同时利用命题值函数的表征（图2），促进学生思考命题的特点，即，当n属于全体非零自然数时，结论是否对于任意一个非零自然数都成立？
师小结 如果能一一验证各项命题都成立，则结论当然可靠，但遗憾的是这个等式包含了无穷多项命题（显示图2），逐一证明不可能实现.我们要另辟蹊径，继续探究.
2.数学证明方法的探寻
设计意图 在引导学生反思的基础上，把新的证明过程进一步“步骤化”，使之结构更清晰，并用自然语言概述.
问题5 在上述验证特例的过程中，你认为相同或类似的结构是什么？
问题6 你能否尝试描述这些规律呢？
设计意图 在形象解释命题值函数的基础上，利用简洁的直观图（下页图3）形象表示数学归纳法的核心思想.强调“对任意自然数k”，使学生明确通过这两步就可以证明命题对所有自然数都成立.
师小结 我们要证明的命题不仅与正整数有关，而且证明一个新命题成立要充分利用上次的结果，把这次的推理建立在上次的结果之上，前后两个步骤存在有机的逻辑联系.这种思想在数学中就称为“递推”思想.这主要体现在证明问题的“第二步”中，因此这步骤称为归纳递推.第一步“
成立”在证明中起到奠基的作用，因此称为“归纳奠基”.这种证明问题的方法就称为“数学归纳法”.
问题8 有了这两步，就能证明命题对所有自然数都成立吗？请大家先交流，然后尝试用自己的语言解释.
问题9 大家在生活中看到过多米诺骨牌游戏吗？（演示游戏过程）请同学们自己概括一下保证多米诺骨牌游戏完成的条件是什么？你能否把两者（多米诺骨牌游戏的条件与数学归纳法证明问题的思想）做个比较呢？
设计意图 引导学生联想多米诺骨牌等游戏活动的条件，丰富学生对数学归纳法的表象，促进理解.同时通过表格，让学生更明确相关的类比.在表格的设计中，我们用“证明‘如果n=k时公式正确，那么n=k+1时公式也正确’这个命题是真命题”促进学生将蕴含过程压缩，使之不再是一个过程，而是一个认知、反省的对象.
3.数学归纳法的形成
问题11 从前面两个问题看，数学归纳法适宜处理哪些问题？数学归纳法怎样证明命题成立？
4.巩固练习
5.思考与拓展
问题13（1）如果要证明命题P（n）（n≥3，
）成立，能否依据数学归纳法思想？你怎样证明？
（2）如果要证明命题P（n）（n是正偶数）成立，能否依据数学归纳法思想？你怎样证明？
设计意图 这里要探讨数学归纳法常规证明题的两个变式问题.一方面可以检验学生对数学归纳法核心思想是否掌握，所谓“万变不离其宗”.促进学生对数学归纳法思想进行改造和重组，深刻理解其思想实质.另一方面，可以提高课堂效率.但是，问题在第一节课出现，学生还是有一定困难，我们通过用符号形象地解释问题——“要证P（3），P（4），P（5），P（6），……都成立”，“要证P（2），P（4），P（6），P（8），……，P（2k），……都成立.”降低学生思维的难度.
6.回顾与小结
问题14 今天我们遇到的问题都是要证明一个与自然数有关的命题成立，请大家尝试用自己的语言回答，我们是怎样思考和解决问题的呢？
设计意图 通过教师指导学生总结与反思，促进学生对学习过程的不断概括和已有知识的重组.