新课标下立体几何变化的解读，本文主要内容关键词为：立体几何论文,新课标论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
问题 （2009年高考全国卷Ⅱ）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是()
A.南B.北C.西D.下
本题是一道以折纸为背景的小题，学生如果熟悉图形的折展过程易得答案，它考查学生的“动手实践、自主探究”为特征的学习内容和教学方式。这正是高中数学新课标的理念和要求，反映了高考的导向作用和命题者的意图，这就要求立体几何教学方式必须做重大调整和变革，以适应这种变化。下面就《新课标准》理念下的立体几何教学内容和教学方法的变化做一对比研究。
一、《新课标准》理念下的立体几何教学内容的变化
1.内容安排层次不同
过去立体几何内容的安排，都是从研究构成空间几何体的基本要素：点、线、面开始，先讲述平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系和有关公理、定理，再研究由它们组成的几何体包括棱柱、棱锥、多面体和球的概念、性质及其体积、表面积等，都遵循了从局部到整体的原则。这种安排是严格遵循欧几里得几何公理化体系，是按知识体系进程进行的，它的优点是逻辑性严密。但这种安排没有考虑学生的认知规律和思维的渐进性，使得大多数学生初学立体几何感觉困难甚至很吃力。
《新课标准》对发展空间想象能力的要求是：高中阶段学生通过采用“直观感知、操作认识、思辨论证、度量计算”等方法认识和探索几何图形及其性质。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。显然更加关注对整体图形的把握去培养和发展空间想象能力。正因为如此，现在的课程标准实验教材正是先从对空间几何体的整体感受入手，再研究组成空间几何体的点、直线和平面的性质，是从更加关注学生的认识角度出发的。因为一个物体，我们首先感受到它的轮廓，之后才会对它的侧面、边、角等感兴趣。这种先由整体上认识空间几何体的安排，更符合人的认识规律，更有助于发展学生的空间观念，培养学生的空间想象能力和几何直观能力，符合学生的认知规律，易于提高学生学习立体几何的兴趣。这种从整体到局部、从具体到抽象的原则不仅贯穿在章节内容的安排上，而且体现在具体内容的学习要求上，如借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义。而折纸这一活动是学生非常熟悉的生活情境，通过“动手操作”让学生体验数学的发现过程，感悟数学思想方法和本质，折纸问题已经渗透到学生平时的教学和练习中，如图形的折展问题，割补问题、建模问题等，都是体现了从整体到局部、从具体到抽象的原则。这样更能培养和发展学生的空间想象能力。
2.培养能力目标更加具体
高中立体几何历来以培养逻辑思维能力为主要目标，而《新课标准》更加强调空间想象能力的培养，强调空间观念的建立形成过程。也不能说原来立体几何课程不强调空间想象能力的培养，但它没有提供一种明确的、有效的途径，没有一个比较明确的可操作的要求。而新教科书正是依据《新课标准》的理念，通过强调几何直观来实现空间想象能力的培养，如“通过直观感知、操作确认、思辩论证，认识理解空间中的线面平行、垂直的有关性质与判定”，让学生在大量的实际背景、直观操作和感受的基础上，归纳、概括出若干定理，感受公理化思想和了解证明的含义，经历“直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”，从而达到发展学生的合情推理能力和初步的演绎推理的能力。合情推理的引入极大地丰富了几何教育价值的内涵。自20世纪80年代以来，国际数学教育对几何推理的要求发生了一些变化，从纯粹的演绎推理转向较少的演绎推理，更多的强调从具体情境或前提出发，进行合情推理，从单纯强调几何的逻辑推理，转向更全面地体现几何的教育价值，特别是几何在发展学生空间概念，以及观察、操作、实验、探索、合情推理等方面的教育价值的培养。
3.实施教学是分阶段、分层次、分差异的
(1)分阶段
《新课标准》中立体几何教学大体可分为三个阶段：必修课教学阶段，选修系列1、2教学阶段，总复习阶段。前阶段是后阶段的基础。前阶段知识会在后阶段中得到巩固、应用、延拓和加深。例如，立体几何初步有关内容会在空间中的向量与立体几何中得到应用，而且所有判定定理和许多命题的证明，所有角度和距离的计算都会采用新的方法处理。在总复习阶段又对前两阶段进行全面总结和提升。学生对知识的认识和掌握，就是在这种多次反复、螺旋上升的过程中完成。因此，切忌在必修课教学中按照总复习教学的要求一步到位。具体内容安排如下：
①必修课程：数学2——立体几何初步。“立体几何初步”以三个载体（三视图、直观图、点线面的位置关系）帮助学生认识空间图形及其位置关系，建立空间想象能力，并在几何直观的基础上，初步形成对空间图形的逻辑推理能力。这对于只希望在人文、社会科学（文科要求）发展的学生来说，已经达到基本要求。
②选修课程：系列2——空间向量与立体几何（理科要求）。而对于希望在理工（包括部分经济类）等方面发展的学生，不仅掌握立体几何初步，而且还需要学习“空间中的向量与立体几何”。这部分内容借助向量定量地处理空间图形的位置关系与度量问题。
③选修课程3.4：系列3-1，数学选讲中的部分专题，如，专题2.古希腊数学（毕达哥拉斯多边形数，从勾股定理到勾股数，不可公度问题、欧几里得与《几何原本》，演绎逻辑系统，第五公设问题，尺规作图，公理化思想对近代科学的深远影响）；专题7.千古谜题——伽罗瓦的解答（几何作图三大难题）：系列3-3，球面上的几何；系列3-6，三等分角与数域扩充；系列4-1，几何证明选讲。选修3内容主要是通过生动、丰富的事例，让学生了解数学的发展过程中的若干事例、重要人物与重要成果，初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用。提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探究精神。选修4主要通过几何证明选讲有助于培养学生的逻辑思维能力，同时提高学生的空间想象能力、几何直观能力和综合运用几何方法解决问题的能力。
(2)分层次
层次1.对几何体的认识，依赖于学生的直观感受，不做任何推理要求。
层次2.以长方体为载体（包括其他的实物模型、身边的实例）对图形进行观察、实验和说理，引入合情推理。
层次3.严格的推理证明，如线面平行、垂直的性质定理的证明。
层次4.在选修系列2部分（空间向量与立体几何）引入“向量与坐标”，用它们处理线与线、线与面、面与面的交角以及点到线、点到面的距离，使几何问题代数化，从而使几何问题的处理有了多种解决方法，对几何问题的认识有了多视角，这样能很好地帮助学生更好地认识客观世界，进而将来去更好的改造世界。
(3)分差异
为了体现时代性、基础性、选择性、多样性的基本理念，使不同的学生学习不同的数学，获得不同的发展，教师要根据学生的不同基础、不同水平、不同志趣和发展方向给予具体的指导。不同生源层次的学校在同一知识内容的教学要求上是应该有区别的。例如，对立体几何初步中有关平行、垂直关系的判定定理，生源差的学校只需按课标规定的基本要求通过直观感知、操作确认等方法让学生知道并会使用即可，生源好的学校则可通过说理，甚至是证明等方法让学生理解。生源差的学校，考虑到学生的接受能力和课时量，只需按教材的基本要求教学即可；生源好的学校，在这些地方适当延拓加深也行。即使是同一学校，对具有不同数学水平的学生，要求也应有所不同。例如，教材中的练习题、习题和复习题中的A组题应要求所有学生完成，但B、C两组题较难，一般只要求数学基础较好的学生选做即可。
4.加强联系生活实际，提高动手能力，发展学生应用数学的意识
《新课标准》加大了立体几何与现实生活的联系，强调应用是立体几何课程改革的一大特色。立体几何课程一开始，就用实物模型、计算机软件观察大量的空间图形，让学生感知归纳出“柱、锥、台、球及其简单的几何体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单的物体结构”，这就是从生活中来，到生活中去，善于从生活中获取知识，从而将学到的知识运用于生活。还要求“能画出简单的空间图形（长方体、球、棱柱、圆柱、圆锥等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用材料（如纸板等）制作模型，会用斜二测法画出它们的直观图”，“画出某些建筑物的三视图与直观图”，这些都是让学生在动手实践过程中体会、感受、经历、分析、表述，从而增强了对几何体的认识和对客观世界的认识。
二、《新课标准》理念下的立体几何教学方式的变革
综合以上我们看到，《新课标准》下的“立体几何初步”，不论从内容到形式都较以往的大纲有较大的改动，变化的核心是理念的变化、几何教育价值观的变化，而最突出的变化就是由逻辑推理到合情推理并重。因此教师在教学方法上要积极地适应这种变化，我认为应从以下几个方面入手：
(1)经历“直观感知—操作确认—思辨论证—度量计算”的过程展开知识内容，充分利用“自主探究、动手实践、合作交流、提炼表达”等教学环节，让学生经历从实际背景中抽象出“数学模型”，从现实生活中抽象出几何图形和几何问题，然后去解决几何问题，从而达到解决现实生活中的问题的目的。
(2)强调几何直观，把空间观念的建立和空间想象能力的培养放到突出位置。
不论是空间几何体的结构，还是它们的三视图、直观图、表面积、体积，都涉及大量的空间图形、平面图形，以及它们之间的相互转化。在研究这些图形时，我们始终要注意图形与实物的联系，使抽象与具体结合起来。在教学上还要引导“学生先从对立体几何的整体观察入手，认识空间图形，再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系”，抽象出有关概念，能用数学语言表述有关判定与性质。
(3)渗透公理化思想，引进合情推理。
归纳和类比是合情推理的主要形式。我们在教学中要试图使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理和初步的演绎推理能力，这时教师要充分发挥积极地引导作用，并通过师生共同的分析、思辨、说理、论证，从而促使学生空间概念的建立。例如，直线与平面垂直的判定定理的处理，可以设计一个探究实验，去发现结论，进行合情推理。
实验过程如下：
让学生每人准备一块三角形纸片，共同动手做一个实验：过顶点A翻折该纸片得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面α上，如下图。
观察折痕AD是否与桌面垂直？如何翻折才能够使折痕AD与桌面α垂直呢？通过学生思辨讨论，动手操作容易得到：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，翻折之后竖起的折痕AD才能与桌面垂直。
紧接着，教师提出如下问题：
思考1.折痕AD与桌面上的一条直线垂直，一定是否保证AD与桌面α垂直？
思考2.由折痕AD⊥BC，翻折之后这一垂直关系是否变化？如果不变，你能得到什么结论？
思考3.将折纸展平并让它站起来，能否保证这张纸稳稳地竖立在桌面上？使这张有折痕的纸稳稳地竖立在桌面上时，此时折痕AD一定与桌面垂直吗？
然后引导学生归纳提炼，当折痕AD是BC边上的高时，AD⊥BD且AD⊥CD，BD∩CD=D，得到AD⊥平面BDC。并与学生共同准确地提炼并表述直线与平面垂直的判定定理。
上述推理方法就是合情推理，它是一种可能性推理，是根据人们已知的知识、经验、直观感知得到一种可能性推理。合情推理虽然不能确保结论的正确性，但却是科学创造活动中不可忽视的重要手段。合情推理尤其在学生建立新的数学概念、提出新的数学猜想、构造新的数学命题、提炼新的数学方法等创造中发挥着重要作用。这样就能使学生走出学习立体几何的困惑。
(4)恰当使用现代信息技术与数学课程整合。
现代信息技术的广泛应用已对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深远的影响。它对高中数学教学、课堂信息量的增加、对提高学生的学习兴趣、为学生创设一个良好的学习环境等方面都有重要意义。在立体几何教学中，利用信息技术工具，可以帮助学生动态演示几何体的三视图和直观图，认识立体图形与平面图形的关系，帮助学生建立空间观念，提高空间想象能力和几何直观能力。有条件的学校，要尽可能地使用信息技术，帮助学生更好的学习，以达到更好的教学效果。