设“压”、辩“压”、解“压”——简析中考压轴题，本文主要内容关键词为：中考论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中考压轴题是中考试卷中综合性最强、区分度最高、选拔功能体现得最突出的一道试题，它历来是众多考生、初三教师以及命题人员关注的焦点。在中考复习的后期，在扎实推进基础性知识复习的同时，怎样进一步提高综合性知识的复习效率，特别是提高考生压轴题的得分率，这是摆在每一位初三数学教师面前的重要课题。这里，笔者结合自己在中考命题和教学研究中的工作经验，从设“压”、辨“压”、解“压”三个方面谈谈对中考压轴题的理解和对压轴题复习的一些想法，供大家参考。
一、怎样设“压”
设“压”涉及到压轴题的命制问题，一般地，压轴题的命制主要关注以下四点。
1.试题立意
新课程实施以来，中考试题的命制逐渐从能力立意走向《标准》（即《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》）立意，压轴题不仅要考查学生的数学能力和核心的数学思想方法，而且要充分体现《标准》的理念和《标准》的目标。
初中生的数学能力主要包括：运算能力、空间想象能力、思维能力、数学语言表达能力、数学自学能力、以及由此产生的分析问题和解决问题的能力等。中考压轴题在对学生的数学能力进行综合考查的同时，重点考查学生的思维能力。
初中阶段涉及到的数学思想方法主要包括：函数与方程思想方法、数形结合思想方法、分类讨论思想方法、转化与化归思想方法、几何变换思想方法等，其中转化的思想是诸多思想方法的核心。一道中考压轴题往往涉及几种数学思想方法的综合运用。
命制中考压轴题时，要充分体现新课程所倡导的课程理念。例如，压轴题区分度的设计要以数学课程的发展性为逻辑基础；压轴题的内容不仅要包括数学的结论，还要包括数学结论的形成过程和数学思想方法；压轴题的解答过程要体现学生动手实践、自主探索的数学学习方式；压轴题的考查内容不仅要包括基础数学知识、基本技能、基本的数学思想和方法，还要包括基本的数学活动经验；对学生解答压轴题的评价，不仅要关注对其解答结果的评价，还要关注对其解答过程的评价等。
命制中考压轴题时，还要充分体现《标准》的目标——既体现具体的内容目标，又体现基于内容的目标（即抽象的目标，如数感、符号感、空间观念、应用意识、推理能力等）。
2.呈现方式
依据命题意图，采用恰当的方式呈现压轴题。近几年，在继承以往的诸如动态几何型、数学应用型、方案设计型等传统题型的优点的基础上，以体现《标准》理念为核心的新题型也层出不穷。
(1)操作探究型。
例1 （2007年辽宁省大连市中考试题第25题）两个全等的Rt△CBA和Rt△ADE如图1放置，点B，A，D在同一条直线上。
操作：在图1中，作∠CBA的平分线BF，过点D作DF⊥BF，垂足为点F，连接CE。
探究：线段BF，CE的关系，并证明你的结论。
说明：如果你无法证明探究所得的结论，可以将“两个全等的Rt△CBA和Rt△ADE”改为“两个全等的等腰直角△CBA和等腰直角△ADE（点C，A，E在同一条直线上）”，其他条件不变，完成你的证明，此证明过程最多得2分。
【评析】此题以“动手操作”为问题背景，让学生经历实验、猜想、证明等数学活动，考查学生的合情推理能力、演绎推理能力，以及运用平移、对称、旋转等几何变换思想证明数学问题的能力，体现了将动手实践、自主探索作为重要的学习方式的新理念。
(2)定义概念型。
例2 （2007年北京市中考试题第25题）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。
(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
(2)如图2，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=
∠A，请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
(3)在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=∠A。探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。
【评析】此题首先定义新概念，让学生在学习新概念的基础上运用新概念解决新问题。着重考查了学生独立阅读材料获取新知识、学习理解新知识并应用新知识的能力，充分体现了《标准》中关于数学课程的发展性要求。
(3)课题学习型。
例3 （2007年河北省中考试题第23题）在图3～图7中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角△FAE的斜边AE=2b，且边AD和AE在同一直线上。
操作示例
当2b＜a时，如图3，在BA上选取点G，使BG=b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH。
思考发现
小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上。连接CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置。这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图3），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG。∠FHC=90°。进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形。
实践探究
(1)正方形FGCH的面积是______（用含a，b的式子表示）；
(2)类比图3的剪拼方法，请你就图4～图6的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图。
联想拓展
小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移。
当b＞a时，如图7的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由。
【评析】此题展现了课题学习中“操作实验—思考发现—结论验证—拓展探究”的完整过程，让学生充分感受从特殊到一般、类比、联想等一般的数学学习方法，体验发现问题、提出问题、解决问题的数学活动过程，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力，体现了让学生在理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法的同时，获得广泛的数学活动经验的基本理念。
3.呈现内容
压轴题的呈现内容以数学核心知识点为主，着重在知识网络交会处出题。一般地，数与代数中的函数（如二次函数、一次函数、反比例函数）、方程（如一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组）、不等式（如一元一次不等式、一元一次不等式组），空间与图形中的三角形（如直角三角形、等腰直角三角形、等腰三角形、等边三角形）、四边形（如平行四边形、矩形、菱形、正方形、直角梯形、等腰梯形）等知识点在压轴题中出现的频率较高。
4.试题特点
一般地，压轴题的特点是：考查内容的综合性，呈现方式的递进性，解题过程的探索性，解答方法的多样性，等等。
二、何处辨“压”
众所周知，能否正确地辨析“压点”是能否正确解答压轴题的关键，那么，压轴题“压”在何处？纵观近几年的中考压轴题，其“压点”主要表现在以下四个方面。
1.能否发现题中的隐含条件
压轴题的条件与结论之间的联系不像简单题那样非常明晰地给出，所给的条件往往隐含着与所要求解（或证明）结论密切相关的新条件，这就要求学生能够透过现象看本质，发现同一条件隐含的新条件以及不同条件之间的内在联系，找到解题的突破口。
例4 （2007年辽宁省大连市中考试题第26题）如图8，直线AB交x轴于点A(2，0)，交抛物线
于点B(1，
)，点C到△OAB各顶点的距离相等，直线AC交y轴于点D。当x＞0时，在直线OC和抛物线上是否分别存在点P和点Q，使四边形DOFQ为特殊的梯形？若存在，求点P，Q的坐标；若不存在，说明理由。
题中的隐含条件是：①△OAB是等边三角形；②C是等边△OAB的中心；③直线OC⊥直线AB；④直线OC平分线段AB；⑤直线DB∥直线OC；⑥直线DB⊥直线AB等。
2.能否将所求（证）问题与已学知识建立联系
中考压轴题大多是教材中的例、习题或常见的基本题的类比、改造、延伸和拓展，所以解答压轴题的一种重要方法就是追本溯源，即将所求（证）问题与已学知识（或已做的习题）建立联系，找到该压轴题的根——教材原题或基本题，从而获得解题思路。
例如，2007年辽宁省大连市中考试题第25题（例1），此题有十余种证明方法，其中一种证法是将此题与基本图形（如图9）建立联系，学生会从此图的研究方法中得到启发，进而解除“压点”，获得思路。
3.能否全面地解决问题
能否全面、不遗漏地解决问题是考查学生思维严谨性的重要方面。学生解答压轴题时常是只解答了其中的一部分，或只考虑了其中的一种或几种情况，而忽视了符合条件的所有可能的答案，造成思维的片面性。
例如，2007年辽宁省大连市中考试题第26题（例4），在探究四边形DOPQ为特殊的梯形时，有的学生只考虑到等腰梯形，而忽视了直角梯形；在探究四边形DOPQ为等腰梯形（或直角梯形）时，有的学生只研究了OD为底的情况，而忽视了OD为腰的可能。
4.能否找到最佳的解题路径
一般地，中考压轴题往往有多种解题方法，学生能否从众多的解法中发现最佳的解题路径并快速、准确地解答试题，这不仅体现了学生思维的灵活性，同时也体现了学生能力的层次性。
三、如何解“压”
找到“压点”后，必须掌握解“压”的方法和策略，只有这样才能正确地解答压轴题。在中考复习阶段，尤其要做好以下三个方面的工作。
1.学会审题
美国著名数学教育家波利亚曾说过，掌握数学就意味着解题。而成功解题的关键在于正确地审题，因此，对于学生，必须把握审题的基本要领，学会正确地审题。值得注意的是，审题不仅仅要在解题之前，而且应该贯穿解题的全过程，另外，在审题过程中，要抓住几个关键环节。
读题——整体感知意义；
挖题——发现隐含条件；
译题——三种语言转换；
猜题——看结论找思路；
拆题——转化为基本题。
2.精做“好”题
中考复习要想取得事半功倍的效果，就必须选“好题”、做“好题”，充分发挥“好题”的作用。关于“好题”的标准，很多专家、学者从不同的角度、不同的侧面进行了诠释。
上海教科院副院长顾泠沅研究员认为“好题”的标准是：
(1)具有较强的探索性；
(2)具有一定的启示意义，也就是说，应有利于学生掌握有关的数学知识和方法，有利于学生掌握数学核心知识和数学通性通法；
(3)具有多种不同的解法，或多种可能的答案；
(4)具有一定的发展余地，也就是说，由此可以引出新的问题；
(5)具有一定的现实意义，或与学生的实际生活有着直接的联系，从而可以使学生感到数学是有意义的活动，即逐步认识数学的价值；
(6)问题的表述要简单易懂，富有趣味。
东北师范大学孔凡哲教授（《数学课程标准（修订稿）》执笔人）提出过“好题”的11条标准。全国中考评价专家、华东师范大学张远增教授从教育测量学角度对试题的效度、信度、区分度、可推广性、教育性等提出了可以量化的评价表。充分发挥“好题”的作用可以从以下几个方面进行深入研究：
一题多解——对一道题从不同的角度来解答；
一题多变——将一道题的条件和结论进行适当的变化（强化或弱化）得到一组题；
一题多问——改变题目的提问方式，得到不同的题型；
一题多分——把一道题分解成若干个小题来解答；
一题多想——从一道题的条件、结论或解答过程联想到与之有关的内容。
3.重视“思想”
在解答压轴题时不仅要灵活运用配方法、换元法等具体的解决方法，而且要高度重视数学思想在解题过程中的体现。因为数学思想是对数学的知识内容和所使用方法的本质的认识，它是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、数学技能、数学方法解决有关问题的灵魂。从全局看，数学解题过程就是对数学思想方法的选择和运用的过程。因此，对于数学思想方法，平时要做到在教学过程中渗透，在解题过程中体现，在解题之后领悟。
然而，尽管压轴题具有较高的综合性，但也不失其基础性。因为在内容与方法上，压轴题仍然要体现基础知识、基本技能、基本的数学思想方法；在背景材料上，压轴题的原型基本上是来源于教材中的例、习题或典型的基本题；从设问方式和解题方法上，压轴题一般是分层次提出问题，并有多种解题方法。因此，对于基础相对薄弱的学生，教师应帮助他们消除恐惧心理，使其坚信自己在有所不为的同时，也能有所为。