为学生数学模型的建构做两道“减法”，本文主要内容关键词为：减法论文,两道论文,数学模型论文,学生论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学模型作为数学与现实生活联系的桥梁，体现了数学应用的广泛性.具体到小学数学教学中，规则、定律、性质、数量关系、方程、字母式子、图形、图表等都是数学模型的具体体现.不论是数学课程标准（实验稿）中提出的“提出问题——建立模型——解释应用”教学模式或数学课程标准（2011年版）提出的“模型思想”，二者虽侧重及认识程度有所区别，但对于数学模型的建构都持积极、肯定的态度.
俗话说“理想是丰满的”，但现实却不一定也如此.正如史宁中教授指出的，“我们的课程改革（2001年的新课程改革）的起始似乎是理论指导实践”，从而显露出更多的“骨感”，这就是数学模型建构在小学数学教学中的现实写照.一方面，教师把数学模型的建构看成了知识点教学，侧重于“背诵”“重复练习”等；另一方面，教师以为只要数学模型建构起来了，就已达成任务，侧重于“建构过程”，而少在“解释应用”方面着力.
从中，我们可以品味出一些别样的味道，也就是有些数学教师在数学教学中尚未真正摆脱“应试教育”的思维——以多记、多背、多练等为特征的“加法计算”，思想深处的逻辑命题仍是熟能生巧、熟能生识、熟能生智等.这显然有违于小学数学教学的特质.因此，也使得学生所建构的数学模型呈现出了“呆板”“片面”“苍白”等消极面貌.如何改变呢？我以为，就学生数学模型的建构来说，不妨多做做下面的两道“减法”.
减法一：化抽象于形象之中，减轻学生因理解困难而造成的压力
数学本是对现实生活的一种抽象，而数学模型更是在多次抽象后的结果，这就使之离学生有了一定的距离.如果教师在教学中不能缩小“学生起点”与“数学模型”之间的距离或者搭起两者之间的桥梁，那么数学模型对学生发展就不可能是真正意义的促进.缩短距离的方式、途径、媒介很多，其中，“形象”发挥了不可或缺的作用.具体的做法有二.
1.举例——化生为熟
“举例”应是小学数学教师基本素质之一.当学生处于理解的“高原区”时，一个恰当的例子就可以让学生豁然开朗.
如教学“小数的性质”，教材的表述是“小数末尾添上‘0’或去掉‘0’，小数的大小不变.”《现代汉语词典》对于“末尾”的解释是“最后的部分”，如何让学生准确地理解？如3.200，要去掉其末尾的“0”，那是不是说我们只能去掉千分位上的“0”？百分位上的“0”就不能去掉？显然这不符合数学的现实.如何让学生解开心结？如果直接告诉学生“末尾可以是最后的一个0，也可以是最后的2个0或多个0”，虽也可行但显然不尽如人意.我以为，这时，教师可因地制宜，如就学生的座位顺序来举例说明：第2小组有6个人，从前往后分别是小东、小红、小明、小王、小林、小刘，这时小组的“末尾”是谁？（小刘）如果今天小刘请假没来，“末尾”又是谁？（小林）如果今天小林也请假没来，“末尾”又是谁？（小王）而这时再反观例子3.200，如果把千分位上的0去掉了，谁是“末尾”？（百分位上的0）这时又可以把这个“末尾”的0去掉了，于是最终的结果便是3.2.这样的例子，学生怎会不恍然大悟呢.
我们常说，要创设生活情境，要让学生在“熟悉”的情境中进行有思考性的数学学习，目的也在于使数学学习能够“化生为熟”，而举例子显然能够既便捷又浅白地达成目标.所以，教师在教学中，要善于观察生活、善于举举事例，可以达到事半功倍的效果.
2.图示——化繁为简
“形象”，除了眼前可见的事物之外，还包括学生头脑中经由具体事物抽象得到的表象.学生在数学中遇到的困难，有时是因为学生对于文字描述理解上的偏颇——难以理解或把握不住要点，无法对其形成准确而鲜明的表象.这时，可以借助形象的力量，把文字所描述的、所要揭示的、所要表达的数学本质通过图示（图形、图表等）的方式形象地表示出来，给抽象的数学披上形象的外衣，从而化繁为简.
如教学人教版三年级下册“重叠问题”，生活中的重叠问题很多：参加比赛时会出现参赛的项目重叠，订阅书籍时会出现订阅的内容重叠，窗户推拉时会出现中间的玻璃重叠等.这就是其“繁”之处.但其中的内涵是一样的，蕴涵着三种情况：①不重叠，总数=部分数+部分数；②部分重叠，总数=部分数+部分数-重叠部分；③完全重叠，总数=其中较大的部分数.这就是其“简”之处.如何让学生的认知突破“繁杂”、回归“简洁”？我以为，在重叠模型的建构中，可以着力让学生形成关于“重叠”的表象.具体可从如下入手：
例：三年（1）班第1小组在期末考试中，体育科得优的有3人，数学科得优的有9人，这个小组得优的一共有多少人？
由于和学生的生活实际贴得比较近，期末考试的情况学生已经经历过多次，对于个人的成绩或某些同学的成绩情况有着较为深刻的印象，有利于引发学生的思考和质疑：“有没有数学和体育都得优的？”从而让学生感知“重叠”的存在，突显“重叠”的本质——体育科得优，数学科也得优.然后，让学生展开讨论，会有哪几种情况？并由此展开相应的探究：①不重叠，12人；②部分重叠，11人或10人；③完全重叠，9人.教学中，可以预设2人重叠的情况，放手让学生通过摆、画、说等方式获得有关重叠的体验和经验，掌握解决重叠问题的数学方法.这时，可以安排三个层次的活动，把“重叠问题”数学模型形象化：
（1）拿出两张不同颜色的椭圆形纸片（代表两个集合），请两个学生上台各拿一张，表现出“不重叠”“部分重叠”“完全重叠”的情形.（观察体会）
（2）请学生用数学书和练习本表示上述的三种情形.（实践体验）
（3）请学生在纸上分别画出如上三种情形.（建构表象）
通过三次活动，使学生实物的观察、操作到图形的抽象，最终建构起有关于“重叠”的数学表象，这样的建构显得生动、鲜活.即使学生忘记了“重叠问题”的名称、各部分的组成、甚至是有的教师重复多次提炼出来的“公式”，却有生命力地记住了重叠的本质内涵以及其中的数学思想方法，而这不正是我们应有的追求吗？
减法二：化新知于旧知之中，减轻学生因递进学习造成的混淆
小数数学的学习，主要包含着两类，一类是应用归纳推理的概括学习，如新内容、新领域、新概念等；另一类是应用类比等逻辑推理的迁移学习.相对而言，第二方面的学习在小学阶段更为凸显.看似不同的内容，看似纷繁的现象中，其实往往又蕴涵着“相同”，这就是数学的“神奇”——变中不变.
有的教师，对于“新”的教学内容，都渴望让学生“从头学起”，都渴望让学生牢记其中的规则、定律、公式等，从而达成“掌握”数学知识的目的.殊不知，一方面加重学生的负担，学生的学习生态如同于“屎壳虫”的生活——见到什么“新”东西都想背到自己的背上——却不知这不是“营养”而是“包袱”；另一方面因对知识的相似之处没有做相应的联系与切分，学生没能分辨出“此”与“彼”来，也容易因“相似”而“混淆”或者“随意混搭”.对此，能够解决的方式、途径也有很多，下面仅谈两种.
1.联结——以新观旧
前后学习的数学知识存在着多元的联系，教师在教学中应带着联系的目光，有思考性地把新知置于旧知的结构之中，从而促进数学模型的建构.
如教学北师大版五年级上册的“分数的基本性质”，这是学生分数学习中重要的内容，是学生通分、约分的基础.教材中的表述是“分数的分子和分母同时乘（或除以）相同的数（0除外），分数的大小不变.”通过操作、观察、比较等学习活动，学生基本上也可以得出如上的结论，但是我们是否可以就此止步？如果就此止步的话，学生所建构起来的数学模型多少就显得有些“孤立”了.其实，许多数学知识并不是都是全新的，多少还是有其“兄弟姐妹”的.对此，我们设计活动，以新观旧，促使两者有机地联系起来，产生同化.下面是我曾做过的尝试：
（1）这一结论，请你轻声地读一读，你有没有发现它似乎很熟悉？（唤醒学生对“商不变规律”的认知）从表述上发现“分数的基本性质”与“商不变规律”的同构特点：
（2）把分数转化为除法，进行对比.通过商不变规律的认知来正面强化分数的基本性质.
（3）追问学生：我们学过的数学知识中还有像这样“形”变了但大小不变的情况吗？（引发学生联想，通过不同形式的等价关系，进一步深化对规律的把握.）
①数字改写：200000=20万……
②单位换算：3米=300厘米……
③除法计算：4÷0.08=400÷8……
④字母简写：a×2=2a……
通过联结，让学生明白“原来，这个知识我们早就学过了！”能够有效地减轻学生的学习压力，同时有效地提升学生对于相关知识的理解能力和掌握程度.这样的联结，学生所建构的数学模型就显得更加“灵动”，具有很强的可链接性，也从另一个角度完善了这一数学模型的建构.
2.迁移——以旧引新
联结不一定要发生在新知建构之后.对于相似结构的数学内容的学习而言，复习、迁移导入也是一种有效的方式，我们不能对此“畏之如虎”：一是抓手，二是搜根.
课程标准对课程目标提出了“四基”的要求，其中之一“基本的数学活动经验”，就明确地提醒着我们，学生在以往学习历程中的操作经验、思考经验、学习经验等既是课程目标同时也是课程学习过程中的资源.一方面，我们要创设情境、设计活动、提供机会等让学生能够积累一定的经验；另一方面，我们要善于利用学生已有的经验，从而使“经验”能够在唤醒、应用、思考中不断地发展、优化，从而更好地为数学思想方法的感悟和提升提供帮助.
如教学“小数加减法”，教材中的表述是“计算时只要小数点对齐，其他就与整数加减法一样了.”这里面在提示些什么？其一，小数加减法与整数加减法有其共通之处；其二，小数加减法的对齐方式是“小数点对齐”.其实，如果我们再深入地分析的话，“小数点对齐”只是小数加减法计算的算法而不是算理，只是小数加减法计算的“外表”而不是“内在”，其最根本的内涵应是“相同数位对齐”.我们可以进行这样的迁移导入：
例1:40+30=？（70）
400+300=？（700）
40+3=？（43）
简单的例子，包含本节课最核心的数学本质：相同的数位上的数字才能直接相加减.
例2：（复习三年级的小数加减法）
（1）3元6角+1元2角=？（4元8角）
3.6元+1.2元=？（4.8元）
2.4元+5元=？（7.4元）
（2）4元5角-2元1角=？（2元4角）
4.5元-2.1元=？（2.4元）
8.6元-3元=？（5.6元）
然后让学生思考：“计算小数加减法时，要注意些什么？”唤醒学生对于已有的小数加减法的记忆，并初步沟通整数加减法与小数加减法的联系，然后进行新知教学：
例3：（图文结合）买一本讲义夹（4.75元）和一本笔记本（3.4元）一共要多少钱？
列式：4.75+3.4=？
放手让学生进行计算，然后进行针对性反馈与讨论.
通过估算、分析等方式，实现正迁移，让学生确立小数加减法的计算方法的核心——相同数位对齐，并且有效联系新知与旧知，把“新知”很好地纳入“旧知”的认知结构之中：相同数位的数才能直接相加减，从而让学生明白“原来，它们是一样的！”从而把“两个”数学模型有机地合二为一.
华罗庚先生说，读书有多重境界，开始时要把“书读厚”了，接着要再把“书读薄”了，其关注点是对于知识的吸收、拓展、消化、灵活应用等能力.数学教学也应如是.不论是化抽象为形象，还是化新知为旧知，思考的核心都是着力实现“举一反三”“纲举目张”的教学成效，从而使学生能够有更多的时间、精力，伸展出更丰富的思维触角，去进行有个性的、有生长性的、有创造性的数学学习.这不正是“知识就是力量”的一种映照吗？