立足基础，重在能力——记一堂高一数学拓展课，本文主要内容关键词为：高一论文,能力论文,数学论文,基础论文,记一堂论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
如今的高考早已从“知识立意”转向到“能力立意”，这正是二期课改的精神和目标.我们的教育是为学生的终生发展服务的，除了有用的基本知识和基本技能之外，不同层次的学生可以根据自己的兴趣、爱好和能力寻求不同的发展.我们教师不仅要培养学生的基础学力，更要注重培养学生的发展性学力和创造性学力.
本文就一节高一的《不等式》复习课，介绍笔者与学生共同探究与学习的过程，为了学生能力的提高和发展所做的尝试和努力.
一、抛砖引玉
师：同学们，前面我们学习了不等式的基本性质和基本运用，本节课我们将在前面的基础上作进一步的深化和探究.
例1 已知a，b∈R[，+]，且a+b=1，求证：（1/a）+（1/b）≥4.
生[，1]：左边=（a+b/ab）=（1/ab）≥（1/（a+b/2）[2]）=4，当且仅当a=b=（1/2）时取“=”号.
生[，2]：用“代1法”证明：左边=（a+b/a）+（a+b/b）=2+（b/a）
当且仅当a=b=（1/2）时取“=”号.
师：好！本题是基本不等式的运用，生[，2]的代“1”法用得很巧妙.
这是我们学习了“基本不等式”之后应掌握其基本方法.
接下来，我们试将上述命题推广为一个一般化的命题（不必证明）.
评注 例1是对学生基础学力的考核，下面看看他们的探究性能力.
同学们听了我的问题后面面相觑，他们不明白推广的方向，既束手无策，又不敢轻举妄动.我只好给一个方向：比如说有n个正数，满足a[，1]+a[，2]+…+a[，n]=1，则有什么样的不等式成立？
同学们开始议论纷纷，想办法…终于：
生[，3]：由上式右边的4，4=2[2]，我猜想：
若a[，1]，a[，2]，…，a[，n]∈R[，+]，且a[，1]+a[，2]+…+a[，n]=1，则
（1/a[，1]）+（1/a[，2]）+…（1/a[，n]）≥n[n].
生[，4]：我想先推导三个字母的结论：已知a，b，c∈R[，+]，且a+b+c=1，则
（1/a）+（1/b）=（1/c）
=（a+b+c/a）+（a+b+c/b）+（a+b+c/c）
=1+（b/a）+（c/a）+（a/b）+1+（c/b）+（a/c）+（b/c）+1
=3+（b/a）+（a/b）+（c/a）+（a/c）+（c/b）+（b/c）
≥3+2+2+2=9=3[2].
所以，我认为生[，3]的猜想结果是错误的.
由此，我猜想一般化的命题：若a[，1]，a[，2]，…，
a[，n]∈R[，+]，且a[，1]+a[，2]+…+a[，n]=1，
则（1/a[，1]）+（1/a[，2]）+…（1/a[，n]）≥n[2].
生：通过推广验证，生[，4]的结论是正确的.
师：很好！同学们经历了由特殊到一般的辨证思维过程，通过严谨的推理得到正确的结论.
评注 学生们得到了肯定和鼓舞，他们具有一定的拓展能力，增强了信心.
数学的教学与学习，不仅只是从个别的、简单的、特殊的事例中获得数据和结论，更主要的是通过特例的体验、总结、归纳和猜想，将其结论概括和推广为更一般、更深入的结论，并通过严密的数学论证，才能加以肯定.而在这样的探究过程中，学生不仅巩固了已有的知识，而且有了体验、研究和发现的过程，…对提高学生理解问题、分析问题和解决问题的能力有很大的帮助，而且激发了学生学习数学的兴趣，培养他们勤于思考、勇于探究、敢于质疑的良好的科学学习习惯，这很有利于学生们的终身发展.
那么，他们的探究性能力和研究性能力如何？
二、循序渐进
例2 已知a，b∈R[，+]，且a+b=1，求证：
学生们展开联想和类比：例2与例1的条件一样，证法有相似之处吗？于是
生[，5]：我想证明它的等价不等式
生[，7]：我的证法和生[，2]相似，仍然是代“1”法和逆向使用基本不等式，具体为
≤（2a+1+1/2）+（2b+1+1/2）
=a+1+b+1=3，
当且仅当2a+1=2b+1=1，
即 a=b=0时取“=”号，但此时a，b∈R[，+]，a+b≠1，所以“=”号不能取得.
师：非常好！同学们继承和发扬了前面的证法，一类是基本不等式等价变形的使用，一类是对“1”情有独钟，有化归与对应等数学思想，大家具备了探究的潜力.下面我们继续.
同学们倍受鼓舞！都挺直了腰杆等待着……
三、登高望远
例3 是否存在常数M＞0，使得
≤M？若存在，请求出M，并加以证明；若不存在，也请说明理由.
师：该问与前面例2一样吗？M=3？
生[，8]：该不等式多了“=”号，因此M＜3，由生6的解答可知：M=2
，当且仅当2a+1=2b+1=2即a=b=（1/2）时取“=”.
生[，9]：由生[，7]的证法得到启发，要使基本不等式的等号成立，只能使a=b=（1/2），此时
当且仅当a=b=（1/2）时取“=”号.
师：非常好！同学们有类比、演绎的辨证思维.下面我们试将例3的结论推广为一个一般化的结论，并给出证明.
请同学们分组讨论，并每组派代表将你们的结论及证明书写在黑板上.
同学们展开了热烈的讨论，大家跃跃欲试，最后，有四种答案出现在黑板上.
结论1 若a，b∈R[，+]且a+b=n（n∈N），则
当且仅当a=b=（n/2）时取“=”号.
结论2 若a[，1]，a[，2]，…，a[，n]∈R[，+]，且a[，1]+a[，2]+…+a[，n]=1，则
当且仅当a[，1]=a[，2]=…a[，n]=（1/n）时取等号.
同学们都予以肯定，深受启发.
第三组的代表生[，12]先谈他的思路：
我想先找特例：若a[，1]+a[，2]+a[，3]=1，取等号的条件可能是a[，1]=a[，2]=a[，3]=（1/3）时，此时有
再推广：若a[，1]+a[，2]+…+a[，n]=1，取等号的条件可能是a[，1]=a[，2]=…=a[，n]=（1/n）时，此时有
再借鉴生[，6]解法，得出下面的结论及其证明.
结论3 若a[，1],a[，2]，…，a[，n]∈R[，+]，且a[，1]+a[，2]+…+a[，n]=1，则
当且仅当a[，1]=a[，2]=…=a[，n]=（1/n）时取等号.
轮到第四组同学生[，13]上场，他首先对结论3的不等式的成立表示质疑，生[，12]作补充说明：
∵（a+b+c）[2]=a[2]+b[2]+c[2]+2ab+2ac+2bc≤3（a[2]+b[2]+c[2]），依此类推得.
同学们表示首肯.
师：我来补充说明，生[，12]用的结论正是著名的柯西不等式的特例.
柯西不等式：若a[，i]，b[，i]∈R，i∈N，则（a[，1]b[，1]+a[，2]b[，2]+…+a[，n]b[，n]）[2]≤（a[，1][2]+a[，2][2]+…a[，n][2]）（b[，1][2]+b[，2][2]+…+b[，n][2]），
当且仅当（a[，1]/b[，1]）=（a[，2]/b[，2]）=…=（a[，n]/b[，n]）时取“=”号，其中b[，i]≠0.
当b[，1]=b[，2]=…=b[，n]=1时，即得上述不等式（*）.
同学们欢欣鼓舞，居然离数学家这么近.
生[，13]：我也是在前面同学的论证中获得了灵感，下面是我的证法.
当且仅当a[，1]=a[，2]=…=a[，n]=（1/n）时取等号.
师：太令人激动了，出现了百家争鸣、百花齐放的局面，可能结果还不仅这些，希望同学们回去继续考虑.
可喜的是同学们都积极参与了这个由特殊到一般的辨证思维发展过程.并发扬了很好的相互协作精神.我们身边的很多事情，诸如民意调查和很多科学发现，都和我们今天一样，从不完全归纳法开始，到猜想可能的结论，再到通过辨证证明，用我们的聪明和智慧建立了正确的数学命题，当了一回数学家.其实，发明创造就在我们身边，只要大家勇于探索，充分发挥自己的聪明才智，就会有更多的惊喜出现.
四、余兴未消
研究性作业：（1）重新考虑例1中的不等式还可以作哪些推广？并予以证明。（首尾呼应）
（2）已知a，b，c∈R[，+].（Ⅰ）求证：（（a[2]+a+1）（b[2]+b+1）（c[2]+c+1）/abc）≥27；
（Ⅱ）试将上述命题推广，为一个一般化的结论，并给出证明.
请写出你的研究性报告.
评注 通过作业给学生留有更广阔的发展空间，让学生在归纳与猜想、延伸与拓展中，体会到数学公式的结构美，迸发出探索求异的火花.
总结 教师不仅是知识的占有者和传授者，更应是学生发展的引导者、学习的组织者、指导者和促进者.学生也不只是单纯的接受性学习，而应该是接受性学习、体验性学习与研究性学习的融合，是在独立自主，合作交流的学习中，与老师共同建构知识.
教师的教学不能是单纯的知识传授，更要关注学生的情感、态度，为学生学会学习、持续发展打好基础.要采取探究性教学、体验性教学，引导学生深入数学实验进行观察和体验，要培养学生勇于开拓的创新精神和实践能力.只有这样我们的数学教学才有收获，我们的教育才是成功的.