弗雷格的概念悖论及其解决，本文主要内容关键词为：悖论论文,概念论文,弗雷格论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
弗雷格(Gottlob Frege,1848-1925)作为现代语言哲学和分析哲学的创始人是以其意义理论而著称的。尽管弗雷格的意义理论对于逻辑学和哲学的发展产生了巨大的推动作用，但是它也面临一些严重的理论困境，其中之一就是概念悖论。本文旨在介绍并解决这一悖论，为此，首先介绍弗雷格的有关观点和讨论一些有关的问题。
1、涵义与指称
弗雷格的意义理论的重要观点之一是：将一个简单句子分为专名和谓词，其中专名的意义是完整的，谓词是有空位的或待填充的，因而其意义是不完整的；专名、谓词和句子在其意义上均有两个不同的方面，即指称和涵义，并且指称是由涵义决定的。（注：弗雷格的术语"Bedeutung"和"sinn"可以分别英译为"reference"和"sense"，本文译为“指称”和“涵义”，相当于文献[1]中的“意谓”和“意义”。德语中的"Funktion"相当于英语中的"function"，[1]中译为“函数”，本文则根据语境有时译为“函数”，有时译为“函项”。）不过需要说明的是，把指称和涵义统称为意义(meaning)只是其他人（包括笔者）所采用的，而弗雷格本人只谈指称和涵义。
弗雷格在其《论涵义和指称》中，从一个最简单的等式a=b入手，挖掘出语言表达式的两层意义即涵义与指称，其论证是很简明的。弗雷格问道，a=b表达了什么之间的等同关系，具体地说，它表达了a和b所代表的对象之间的等同关系还是"a"和"b"这两个符号之间的等同关系？显然，后者是不成立的，因为a和b作为符号是明显不同的。并且，前者也是不成立的，否则，当a=b为真时，a=b和a=a就表达了完全相同的关系，即a和b所代表的那个对象与其自身等同；然而，事实并非如此。举例来说，“晨星”和“暮星”表达了相同的对象即金星，但是，“晨星是晨星”是一个毫无经验内容的逻辑真理，而“晨星是暮星”则是天文学上的一个重要发现。可见，这两个句子表达的等同关系并不完全相同，也就是说，这两个句子所表达的并不仅仅是“晨星”或“暮星”所代表的对象之间的等同关系，由此，弗雷格得出结论：a=b并不是仅指符号之间的关系，也不是仅指对象之间的关系，而是兼而有之；具体地说，它表明"a"和"b"这两个不同的符号指称相同的对象。对同一对象给予不同的符号就是对该对象给予不同的表达方式(the mode of presentati-on)。对象的表达方式，弗雷格称之为“涵义”，对象本身，弗雷格称之为“指称”；涵义具有认识论价值，指称具有本体论价值。当然，涵义和指称都是相对于语言表达式而言的，以上讨论是就专名而言的；具体地说，“晨星”和“暮星”这两个专名具有不同的涵义而具有相同的指称。
弗雷格关于句子和谓词的讨论很大程度上是在与数学函数的类比中进行的。有些函数解析式如2X[2]+X，其自变量的值和函数的值都是数；与此不同，X[2]=1这个函数解析式的自变量X的值是数，而其函数的值却不是数，而是真或假；如将-1和1代入X，此函数值为真，而将其他数值代入X，函数值则为假。这种情形类似于自然语言的句子。如“苏格拉底是人”这个句子可以分为两部分，即专名“苏格拉底”和谓词“……是人”；“……是人”是不完整的(incompleted)或待填充的(unsat-urated)，其作用相当于一个函数，“苏格拉底”是独立的和完整的，其作用相当于自变量的某一特定值。当“苏格拉底”填入“……是人”的空位后便成为一完整的句子，其值是真；而将“金字塔”填入“……是人”的空位后，其函数值是假。据此，弗雷格把谓词称为其值为真值（真或假）的函项表达式。函数X[2]=1也是一个谓词，自变量X的值如1、2、……等相当于专名。
弗雷格注意到，X[2]这个函数的自变量一旦被代入具体数值后，其指称就是函数值，如当X=2时，X[2]的指称是4，因为2[2]=4。同理，X[2]=1中的X一旦被代入具体数值后便成为句子，其指称就是其函数值即真值。由此，弗雷格得出一个著名的甚至惊人的论点：一个句子的指称其真值；一个句子的涵义是它所表达的思想。
弗雷格把谓词看作以真值为其值的函项表达式；他进而认为，谓词指称概念，正如函项表达式指称函项；这就是说，“一个概念是一个其值总是一个真值的函项。”([1],p.63)由于函项是有空位的或待填充的，相应地，概念也是有空位的和待填充的，即有空位的谓词指称有空位的概念。弗雷格把谓词又叫作“概念词”，并说概念具有谓词性(predica-tive nature)亦即待填充性。概念的待填充性是它区别于对象的根本特征。对象是专名的指称，正如概念是谓词的指称。对象和专名都是独立的和完整的，因此，谓词和专名、概念和对象是泾渭分明和不可相互替代的。
“概念”(concept)一词很容易使人把它与“涵义”等同起来，许多学者都有这样的倾向，如马歇尔(W.Marshall)、卡尔纳普和丘奇(A.Church)等人。（[4],p.76和[7],p.312）当然，其原因也在于弗雷格本人在他生前正式发表的论著中对此阐述的不够充分。其实，弗雷格不仅坚持概念是谓词的指称而不是其涵义，而且认为概念如对象一样具有实在性。弗雷格的《遗文集》中谈道：“当我们说‘木星比火星大’时我们正在谈论什么？正在谈论天体本身，即专名‘木星’和‘火星’的指称。我们正在用‘……比……大’这个词说它们相互之间处于某种关系。这种关系得自于专名的指称之间，因此它本身必定也属于指称的领域。”([5],p.48)“……比……大”是关系词，关系词是多空位的谓词，相应地，关系是多空位的概念。对于只有一个空位的概念，达梅特(M.Dumme-tt)建议称之为“性质”(property)，([4],p.77)笔者认为这是恰当的，并在以后的行文中时有采用。
按照弗雷格的看法，含有空位的概念是不完整的但又是实在的，这样便产生了一个问题：不完整的概念怎么能够成为独立的实在呢？在上面的引文中，弗雷格从完整的对象的实在性直接推出不完整的性质或关系的实在性，这种推论是缺乏说服力的。弗雷格坚持概念（即性质和关系）和真值等的实在性表现出他在本体论上的柏拉图主义特征，尽管他为此所作的辩护并不有力，但这并不表明其本体论主张完全没有道理。在笔者看来，重要的问题在于阐明谓词所表达的函项所特有的完整性和独立性，而不要像弗雷格那样仅从语言形式上来断定它的不完整性，再从与专名所表达的对象的简单类比来确立它的实在性。下面，我们就对这项工作给予偿试。
2、谓词是语义完整的
弗雷格主张谓词是句子函项，因而是有空位的或待填充的，当专名填入其空位后便构成一个句子。笔者认为，弗雷格的这一观点无疑是正确的和重要的。不过，弗雷格进而主张，谓词的指称即概念（性质）也是有空位的和不完整的，从而与语义完整的专名所指称的对象严格地区分开来。弗雷格的这后一主张引起一些严重的困难，其中包括后面将要讨论的概念悖论。本节则为清除这个悖论，提出并论证一个相反的主张即：谓词在语义上是完整的。
笔者承认，从语形上看，谓词确实是有空位或待填充的，如“……是人”、“……比……大”，但是，这并不意味谓词在语义上也是有空位或待填充的。为了说明这一点，让我们效仿弗雷格，在谓词和函数之间进行比较。在数学中，在语形上有空位的函数如sinx或sin()在语义上是完整的，其语义可以刻划为自变量的值与函数值的对应表，如：
这个表也可看作由sinx的自变量的任何一个取值与相应的函数值构成的序偶的集合，即｛…，<-π/2,-1>,…<π/2,1>,…｝。一个集合——无论是有穷集还是无穷集——是一个独立的和完整的对象，这一点是包括弗雷格在内的绝大多数数学家和哲学家们都承认的，于是我们可以说，这个序偶集就是函数Sinx的指称，因此Sinx是语义完整的。
此外，我们还注意到，Sinx所指称的序偶集对应于并且决定于这样一个集合：
｛…,sin(-π/2),…,sin(π/2),…,}，这个集合与函数的表达方式是直接相关的，而由它决定的那个序偶集却与函数的表达方式没有直接关系。例如，函数sinx+sin(0)在表达方式上不同于函数sinx，这使它所对应的集合｛…,sin(-π/2)+sin(0),…,sin(π/2+sin(0),…｝也不同于sinx所对应的集合，既然sin(0)=0，但是二者所对应的序偶集却是同一个。因此我们说，sinx+sin(0)与sinx具有相同的指称，尽管它们有着不同的涵义；其涵义就是它们分别对应的两个不同的集合，这两个不同的集合分别反映了这两个函数的不同表达方式。
接下来我们考察谓词。谓词作为句子函项（即命题函项），其涵义相当于一个句子集合，其指称相当于一个由任何一个专名和相应的函项值即真值构成的序偶的集合。如谓词“……是人”的涵义相当于集合｛苏格拉底是人，金字塔是人，罗素是人，天安门是人，……｝，其指称相当于序偶集｛〈苏格拉底，真〉，〈金字塔，假〉，〈罗素，真〉，〈天安门，假〉，……｝。为了进行比较，再考虑谓词“…是有理性的动物”。此谓词的涵义相当于句子集合｛苏格拉底是有理性的动物，金字塔是有理性的动物，罗素是有理性的动物，天安门是有理性的动物，……｝；显然，此句子集合不同于前一个句子集合，因此我们说，谓词“…是人”和“…是有理性的动物”具有不同的涵义。“…是有理性的动物”的指称相当于序偶集｛〈苏格拉底，真〉，〈金字塔，假〉，〈罗素，真〉，〈天安门，假〉，……｝，与前一个序偶集完全相同，因此我们说，谓词“…是人”和“…是有理性的动物”具有相同的指称。
由以上分析我们看到，尽管谓词在其语言形式上是不完整的，但其语义——无论是涵义还是指称——却是完整的，因为它们都相当于一个集合：一个谓词的涵义相当于各个专名填入其空位后所形成的句子集合；一个谓词的指称相当于由各个专名和相应句子的真值构成的序偶的集合。不过，这里出现一个问题：从语言形式上看，谓词的不完整性即待填充性是必要的，因为正是通过谓词的这种性质才使它可以同完整的专名结合在一起，从而形成一个统一的句子；现在，我们把谓词的涵义和指称都看作完整的集合，那么，在这种情况下，谓词和专名如何形成一个统一的句子呢？对此，我们的回答是：当在语言形式上将一个专名填入一个谓词的空位时，在涵义上相当于在一个句子集合中指定一个句子，即以该专名为主词的那个句子；在指称上相当于在一个序偶集中指定一个序偶，即以该专名为其元素的那个序偶。请注意，在这里是以序偶如〈苏格拉底，真〉作为句子“苏格拉底是人”的指称，而不是仅仅以真值作为句子的指称（这是笔者有别于弗雷格的另一观点）；这使得，并非所有真句子都有相同的指称或所有假句子都具有相同的指称，从而避免了弗雷格意义理论所遇到的另一些困难。（对此，笔者在另一篇文章中给以讨论。）
也许有人会提出这样的质疑：照上面建议的那样把一个谓词的涵义看作句子的集合，把指称看作含有句子真值的序偶集，那么，一个谓词的意义就不可能独立于句子而被表示出来。对此，笔者供认不讳。在笔者看来，这恰恰体现了弗雷格意义理论的一个最基本的思想，即一个语词只有在句子的语境中才具有意义。在弗雷格看来，一个谓词只不过是一个句子去掉专名所剩下的部分。对弗雷格的这一思想，达梅特(M·Du-mmett)作了进一步的阐释。他谈道：“一个谓词的不完整性不仅仅存在于这样一个事实：它被认为并非直接由其部分构成的，而是从一个如此构成的句子中去掉一个表达式而得到的；更重要的是这样一个事实：一个谓词一般来说不是句子中的独立成分，而是该句子的形成方式的一种特征。”相应地，“概念是这样一种实体：它的存在正在于它适合于某些对象而不适合于另一些对象，而不可能在其他方式中被考虑。”([4],p.101)可以说，笔者对谓词意义的阐释与达梅特的这一看法是吻合的。举例来说，如谓词“…是人”的涵义是一个由诸多句子构成的集合，这个集合显示出这些句子的形成方式的一种特征即它们都含有谓词“…是人”；这个谓词的指称是一个含有真值的序偶集，这个序偶集表明该谓词适合于某些对象如苏格拉底和罗素等，不适合于另一些对象，如金字塔和天安门等。如果说笔者与达梅特之间有什么区别的话，那就是笔者更为直接了当地说：谓词仅仅是在语形上具有不完整性，而在其语义上则是完整的；而达梅特却没有这样说。正由于有这样的区别，笔者和达梅特对弗雷格的概念悖论采取了不同的解决方案。这一点在最后一节中将给予详细说明。
需要指出，弗雷格在一定程度上已经涉及函项及其所指的序偶集之间的关系。例如，弗雷格在《函数和概念》一文中对函数和函数的值域作了区分，并分别记为f(ε)和ε'f(ε)。f(x)是有空位的和不完整的。而ε'f(ε)是没有空位的因而是完整的，这一点弗雷格表述得很清楚。不过，弗雷格这里所说的值域有些含混，它实际上并非单单由函数值构成的集合，而是由自变量的取值和相应的函数值构成的序偶集，亦即我们所说的函数的指称。正是在这个意义上，弗雷格在此文的注脚中指出：“在通常数学表达方式的一些用法中，‘函数’一词大概相应于我这里称之为一个函数的值域的东西。”不过，他立即补充道：“但是在这里使用的函数这个词的意义上，函数是逻辑上在先的东西。”（[1],pp.59-60,注脚）正是出于这个考虑，弗雷格最终没有把函数与相应的序偶集看作同一个东西，更确切地说，没有把后者看作前者的指称。在笔者看来，弗雷格说一个函数在逻辑上先于相应的序偶集即他所说的值域，无非是说此序偶集是由函数解析式计算或确定的。然而，事实上能够表达为解析式的函数仅仅是函数的一小部分，而大多数函数只能表述为自变量与函数值之间的单纯的对应关系，即一个对应表亦即一个序偶集。可见，弗雷格背离数学中对函数的通常理解和用法未必是明智的。在这点上，笔者与弗雷格采取了相反的作法。事实上，弗雷格本人在这点上也或多或少地表现出犹豫不决，如他在同一篇文章中还说道：“认为可以将函数值之间的等式的普遍性理解为一个等式，即理解为值域之间的等式，这在我看来是不能证明的，而必须被看作逻辑的基本规律。”([1],p.59)在这里，弗雷格似乎又倾向于把函数与其相应的序偶集（值域）看作同一个东西。
3、词项的合举用法与分举用法
词项的合举用法和分举用法只与谓词和通名（亦即普遍名词或普通名词）有关，而与专名无关；因为只有谓词和通名涉及含有诸多对象的集合，于是就产生了词项指称集合整体还是指称集合成员的问题。一个词项的合举用法是指该词项指称的对象是一个集合的整体；一个词项的分举用法是指该词项指称的不是一个集合的整体，而是该集合的诸多成员。
在传统逻辑中，词项的合举用法和分举用法是有所区分的。如在“人是高级动物”这个句子中，“人”是被分举地使用的，因为此句子实际上断定了人这个集合中的每一个成员都是高级动物，所以“人”在这里是一个通名。但在“人是伟大的”这个句子中，“人”是被合举地使用的，因为此句子实际上断定了人类这个整体是伟大的，而没有断定其中每一成员都是伟大的，所以“人”在这里是一个关于人类的专名。弗雷格以及罗素等人也在一定程度上注意到词项的合举用法与分举用法的区别，并且同意一个词在合举用法时相当于一个专名；不过，在他们看来，当一个词如“人”被分举地使用时，相当于一个谓词“…是人”相应地，“人是高级动物”这个句子相当于“任何个体，如果它是人则它是高级动物”。正因为此，他们认为通名是不必要的，可由谓词来取代。但是，弗雷格等人对通名的这种处理是有明显的弊病的。比如，“飞马是矫健的”和“飞马不是矫健的”这两句话，在传统逻辑看来它们都是无意义的，既然“飞马”是一个空词项，而作为主词的通名是不允许为空词项的。但是，当把“飞马”作为谓词“…是飞马”时，这两句话不仅是有意义的，而且都是真的。这个问题我们不妨称之为“空主词问题”，它已经引起一些争议；对此，笔者将另行讨论。
接下来讨论谓词的合举用法和分举用法。首先给出一个定义，即：逻辑谓词就是含有空位并且被恰当的主词填入后可以形成一个句子的词项。逻辑谓词一般处在语法谓词的位置上，此时，逻辑谓词就是语法谓词。如“苏格拉底是人”的谓词“…是人”既是逻辑谓词也是语法谓词。我们把这种谓词叫做“本位谓词”。但是，在个别时候，逻辑谓词处在语法主词的位置上，如“‘…是人’是一个谓词”这个句子中的语法主词是逻辑谓词“…是人”。我们把这样的逻辑谓词叫做“异位谓词”。前面的讨论只涉及本位谓词。我们已经论证，本位谓词的涵义是一含有诸多句子的集合，其指称是一个由专名和真值构成的序偶集：当一个专名填入一个谓词的空位从而形成一个句子时，在涵义方面相当于在句子集合中指定一个句子，在指称方面相当于在序偶集中指定一个序偶。由此可见，本位谓词是被分举地使用的，因而在某种意义上相当于一个通名的用法。与此不同，出现异位谓词的句子如“‘…是人’是一个谓词”是把“…是人”作为一个整体加以断定的，这个整体就是谓词“…是人”所表达的序偶集或句子集，而不是其中的某个成员。在这里，作为主词的“…是人”并不需要有专名填入其空位，因为其空位一旦被某个专名填入就成为一个句子，而不是原来所要断定的那个谓词。由此可见，异位谓词是被合举地使用的，因而异位谓词在某种意义上相当于一个专名。
需要提及，弗雷格事实上也接触到函项的分举用法和合举用法的问题。他在《函数和概念》一文中比较了这样两个表达式：
X[2]-4X=X(X-4)和ε'(ε[2]-4ε)=α'(α·[α-4])
这两个表达式都表示一对函数是相等的，而且它们所说的是同一对函数，但说明的方式却不相同。前者其实不是一个严格的等式，而是一个表达普遍规律的全称命题，即：对X的任一取值，该等式成立。后者是一个严格的等式，它表示两个函数所对应的两个序偶集是相等的（其中符号ε'和α'分别表示其后之函数所对应的序偶集即弗雷格所说的值域）。正因为这样，前者等号的两边不是相互独立的，它们的自变量必须选用相同的符号如X；后者等号的两边是相互独立的，它们的自变量可以选用不同的符号如ε和α。用弗雷格的话说：前者“把意义表现为一个等式的普遍性，而新引入的表达式就是一个等式，它的左边和右边有一个自身独立的指称。”([1],p.60)我们也可以这样说：前者是分举地表达了两个函数之间的相等关系，因为它着眼于自变量的每一取值和相应的函数值；而后者则是合举地表达了两个函数之间的相等关系，因为它着眼于两个序偶集之整体。遗憾的是，弗雷格对此只是点到为止，而没有扩展到谓词的分举用法和合举用法上，这是因为他没有认识到一个函项表达式所对应的序偶集（值域）就是该函项表达式的指称。
4、概念悖论及其解决
现在，我们可以着手解决弗雷格的概念悖论了。此悖论常常被称为“概念马悖论”(the paradox of the concept horse)，它是从弗雷格以概念马为例子的讨论中引伸出来的。弗雷格在其《论概念和对象》一文中讨论了一个有趣的问题，即：概念马是不是一个概念？他的讨论对手克里(B.Kerry)认为：概念马是一个概念；正如：柏林这个城市是一个城市，维苏威火山是一座火山。弗雷格指出，这三句话的相似性只是表面上的，其实并不相同。对第一句话更为恰当的表述方式是“概念‘马’是一个概念”，但对第二句和第三句话则没有必要也没有理由改为“城市‘柏林’是一个城市”和“‘威苏威’火山是一座火山”。他认为，这里有一个语言上的困难，这个困难在于：“……是马”（注：为了讨论的清晰，我们必须把“马”改为“…是马”，相应的句子改为“概念‘…是马’是一个概念”，前面已经指出，弗雷格的错误之一就是把谓词和通名混为一谈。这种混淆所导致的不良后果在此讨论中也有所反映。）在通常情况下只能作为谓词而表示一个待填充的概念，但在这个句子中却作为主词而表示一个完整的对象，因而成为一个专名；这里有一个由概念到对象、由谓词到专名的转化，因而有必要在语言形式上作出某种标志，即当它作为主词在句子中出现时在其上加上引号或者在其下加重点符或其他什么。与此不同，“柏林”和“维苏威”在通常情况下就是作为表示对象的专名使用的，在这两个句子中仍将它们作为专名并没有什么反常的地方，因而没有必要在语言形式上有所表示。由于前一个句子和后两个句子有这样的差别，所以，尽管后两个句子成立，但前一个句子是不成立的，而对它的否定却是成立的，即“概念马不是概念”。([1],pp.80-81)
现在，悖论出现了；此悖论的严重性还不在于“概念马不是概念”这句话在语言形式上是自相矛盾的，而在于它反映了弗雷格意义理论的内在矛盾性。我们知道，弗雷格把概念看作是有空位的、待填充的因而是不完整的，对象则是无空位因而是完整的和独立的；他给对象作了一个概括性的说明，即“对象是一切不是函项（亦即概念——引者）的东西，因此它的表达不带有空位。”([1],p.65)现在的问题是，谓词“…是马”在通常情况下指称的那个有空位和不完整的概念如何能够在主词位置上变成没有空位和完整的对象？可以说，这个问题在弗雷格的意义理论中是无法找到答案的；这就是概念马悖论对于弗雷格意义理论的深刻性和尖锐性之所在。
对于概念马悖论，达梅特在其《弗雷格论函项》一文中提出一个解决方案。他认为，弗雷格导致概念马悖论的原因在于他把谈论符号与谈论符号的指称混淆起来了，也就是说，他把形式的说话方式(the forma-l mode of speech)与实质的说话方式(the materal mode of speech)混淆起来了。“概念马不是概念”这是一种实质的说话方式，如果改用形式的说话方式，那就成为：“谓词‘是马’”不是一个谓词。这句话没有什么悖论，正如说：城市“柏林”不是一个城市。([4],p.75)
的确，“谓词‘是马’”不是一个谓词，而是一个关于谓词的符号，正如城市“柏林”不是一个城市，而是一个关于城市的符号，这里确实没有悖论。不过，笔者认为，这种“解决”只是表面上的，并未涉及概念马悖论的要害。概念马悖论的要害在于，任何概念，更恰当地说，任何性质如果确和弗雷格所说是不完整的和有空位的，那么，它就不能成为人们谈论的对象，但这是与人们实际的语言行为不符的。也许达梅特对此有所意识，这使他在同一篇文章的另一个地方试图给出一个实质性的解决。
此解决涉及弗雷格提出的一个与概念马悖论完全相似的命题，即“差别这种关系不是一种关系”，或者“大于这种关系不是一种关系”。达梅特谈道：“我们不能用诸如‘大于这种关系’的限定摹状词来谈及关系，因为限定摹状词一定指称某个完整的东西即对象，因而不能指称任何不完整的东西如关系；这是由对象和关系的定义所决定的。”([4],p.84)那么，人们应该如何谈论性质或关系呢？达梅特建议采用奎因(W.Quine)倡导的方法，即把性质或关系作为约束变项的值，亦即对它们加以量化。他说：“如果我们真打算谈论关系（如，大于——引者），那么我们这样做是因为我们发现有必要对它们加以量化；为了清楚地看出这是哪一种量化，我们不得不按下述方式来解释，即：‘有某个事物，它存在于约翰对詹姆斯之间，而不存在于彼得对保罗之间’，而不应该说‘有某种关系，它存在于约翰对詹姆斯之间，而不存在于彼得对保罗之间’。”([4],p.84)这样，我们就可以谈论关系的实质，而不使用“关系”这个词，从而避免了概念悖论。
在笔者看来，达梅特的这一解决仍然是表面化的。当我们对性质或关系进行量化即把它们作为约束变项的值，就是把它们作为论域的成员，而论域的成员正是我们所要谈论的对象。此时，弗雷格所面临的问题立刻又出现了，即：本来有空位和不完整的性质或关系怎么能够变成没有空位和完整的对象呢？况且，相对于性质或关系这个论域，说“有某个事物”和说“有某种关系”在逻辑上是完全一样的，因此，对二者的不同选择根本不能成为解决概念悖论的实质性方法。
现在谈谈笔者自己的解决方案。笔者在前边已经提出并论证了一个与弗雷格相反的观点，即：谓词在语义上是完整的，它的不完整性仅仅表现在语形上；具体地说，一个谓词的涵义是一个句子的集合，其指称是一个序偶集。既然如此，谓词及其指称当然可以成为谈论的对象。我们可以象谈论“城市柏林是一个城市”那样谈论“谓词‘…是马’是一个谓词”或“谓词‘…是马’指称的概念（性质）是概念”同样可以说“谓词‘…大于’是一个谓词”或“词词‘…大于…’指称的概念（关系）是概念”。这里并不存在弗雷格所面临的问题即：不完整的概念如何成为完整的对象呢？不过，弗雷格在一点上仍然是正确的，即处于语法主词位置上的谓词与处于语法谓词上的谓词是有所不同的，只是其不同点不是弗雷格所认为的是专名与谓词、对象与概念的区别，而是异位谓词和本位谓词的区别。前面已指出，异位谓词是对它所相应的句子集或序偶集的合举地使用，而本位谓词则是对此集合的分类地使用。考虑到这种区别，弗雷格所说的“概念马不是概念”如有什么合理之处的话，那就是“合举用法下的谓词‘…是马’不是分举用法下的谓词”，或者说，“合举用法下的‘…是马’所指称的概念（性质）不是分举用法下的谓词所指称的概念（性质）”；这里并没有什么自相矛盾的地方。这样，弗雷格的概念悖论便被消除了。