利用TI创新探究课堂——高中数学《复合函数单调性》的教学设计，本文主要内容关键词为：调性论文,教学设计论文,函数论文,高中数学论文,课堂论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学课程标准明确指出：“教材为学生的学习活动提供基本线索，是实现课程目标、实施教学的重要资源。”有鉴于此，教师应该重新认识教材的功能，明确教材只是达到目的的材料，教学时应该根据教材提供的丰富教学资源进行再创造，而不是照本宣科成为教材的机械执行者。随着教改的不断深入，探究性学习越来越多被中学数学教师引入课堂。探究性学习的主要目的在于培养学生在数学上的创新精神，敢于质疑、提问，反思、推广，初步经历数学发现、数学探究、数学创造的过程，从而亲身体验数学探究的激情和愉悦。复合函数的有关知识是高中数学学习的一个难点，对复合函数的值域与增减性的分析更让高一学生感到困难。我以“复合函数的性质”为课题，利用TI图形计算器辅助教学，进一步探索探究性学习的教学模式。
对于刚上高中不久的学生而言，如果仅仅通过教材上的几道例题，用常规逻辑推理的方法给他们讲解复合函数单调性的抽象规律，很多学生往往感到难以理解，最终只能死记硬背复合函数单调性的规律，结果常常是只知其然，不知其所以然，对自己不理解的知识势必难以灵活运用。借助TI图形计算器直观展示函数图像的功能，学生“眼见为实”，很容易发现和接受教材中提到的复合函数单调性“同增异减”的规律。在教学中，为了让学生不仅仅停留在“发现”阶段，我以复合函数单调性“同增异减”的一种情况“内增外减”为例让学生对复合函数增减性规律给予严格证明，由感性认识上升到理性的逻辑分析，突出了数学学科的科学严谨性。
一、教学准备
在本节课之前，学生已经学习了函数的相关知识、指数函数与对数函数的定义及性质、复合函数的概念等三个方面的相关知识，为建立复合函数模型和研究复合函数性质做了知识上的铺垫和准备工作。我校是TI图形计算器实验校，经过此前两个多月的课堂实践与培训，每个学生已经初步掌握TIVoyage 200图形计算器的一些基本操作。
二、教学目标
1.借助复合函数这个载体，体会、实践、归纳、总结函数的一般性质及研究的一般方法，探究并掌握复合函数单调性的一般规律。
2.培养学生观察、猜想、从特殊到一般的归纳总结能力，提高学生用数形结合的思想解决问题的意识。
3.培养学生研究探索的精神和严谨的学习态度，引导学生面对新问题能借助各种工具和资料获取信息并进行有效分析。
4.培养学生的协作意识，发扬团队精神。
三、教学重点、难点
重点 以复合函数为背景，研究函数的一般性质和一般方法。
难点 复合函数单调性。
四、教学设计
1.问题引入
师：我们已经研究过指数函数和对数函数，这节课我们要来研究复合函数。
问题1：什么样的函数是复合函数？（学生举例）
复习复合函数的定义（幻灯片演示）：一般来讲，如果函数y=f(u)的定义域为M，值域为N，函数u=g(x)的定义域为P，值域为Q，若MIQ=s≠ф，则由y=f[g(x)]所确定的函数y叫做x的复合函数。通常把g(x)称做内函数，把f(u)称作外函数，u称作中间变量。
设计意图 这一环节通过让学生自己举出复合函数的具体实例，使学生直观感受复合函数的形式特征，并复习复合函数的概念。
问题2：对于一个函数我们通常要研究它的哪些方面呢？（定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数等。）
师：这节课我们就来研究几个具体的复合函数，探索、归纳复合函数的相关性质及研究这些性质的一般方法。
设计意图 提出问题并明确所要研究的具体问题。
问题3：选择什么样的函数作为研究对象呢？
①构成复合函数的函数应该是我们熟悉的简单函数。
②只需选择两层的复合函数即可。
根据这两个原则，我们从刚才同学们举的例子中选取四个复合函数进行具体而深入的研究。
明确了研究对象，学生可以利用图形计算器开始自己的研究了。研究过程中教师注意引导学生体会研究复合函数与研究简单函数有什么相同和不同之处，研究复合函数主要采用什么方法、需要注意什么问题等。
设计意图 由于复合函数的形式多种多样，为了更好地实现教学目标，在选择函数时，给予学生适当的指导，以便学生能够独立探究。
2.学生研究
表1
复合函数y=f[g(x)]内层函数单调性外层函数单调性复合函数单调性反函数（是否存在）
此环节以学生为主体，由学生自主设计复合函数，通过具体实验研究函数的性质，并填写实验报告（表1）。既然本环节是让学生通过实验发现、总结规律，就要为他们提供较为充足的时间做大量、充分的实验，才能发现研究复合函数性质的一般方法与规律。教学中，我让每两个学生组成一个研究小组，每一个小组至少设计并研究三个复合函数的性质。教师在此过程中走到学生中间答疑，或给予适当的指导。时间控制在20分钟以内。
3.交流成果
这一环节由学生展示自己的研究成果。教师用投影仪将学生利用TI图形计算器做出的函数图像展示到大屏幕上，并板书学生的研究成果，以便学生进一步发现复合函数性质的一般规律（图1、图2）。
附图
设计思路 这个环节由学生自主探究复合函数的性质。学生的研究方法可以是各异的：很多学生会利用图形计算器画出函数图像进行直观的分析和研究，有些逻辑思维能力较强的学生可能会直接通过解析式进行研究，之后利用图形计算器进行验证。
教师小结：
(1)定义域、值域等性质
①通常用换元的方法研究复合函数值域问题。
②研究函数常用数形结合的方法。
(2)复合函数单调性的规律
①总结复合函数单调性规律：同增异减。
②注意外层函数在定义域上的单调性不一致时，如何利用外层函数的单调性确定复合函数的单调区间。
③要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。
设计意图 归纳复合函数单调性的规律，体现归纳、猜想、证明的思路，培养学生从特殊到一般的猜想、归纳能力。
师：复合函数单调性的规律是通过图像观察再结合解析式分析得到的，能否进行严格的证明？以上规律，你能给予证明吗？以表2第3行为例（由学生说明之后，幻灯片演示）。
表2y=f(x)
y=f[g(x)]
u=g(x)增函数
增函数
增函数减函数
减函数
增函数增函数
减函数
减函数减函数
增函数
减函数
求证：若函数u=g(x)在区间A上是增函数，且在A上的值域为B，函数y=f(u)在区间B上是减函数，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上为减函数。
附图
设计意图 利用函数单调性的定义证明复合函数的单调性，从感性认识上升到理性分析论证，培养学生科学严谨的治学态度。
4.归纳总结
通过前面三个环节的实践，学生总结出研究复合函数性质的一般方法：换元法和复合函数增减性的一般规律：“同增异减”，并给予证明。板书如下：
(1)研究函数的一般过程和方法
①主要通过函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等方面来研究函数
②数形结合，解析式和图像相辅相成
(2)研究复合函数的性质主要使用了换元法
(3)研究复合函数单调性的规律
5.课堂练习
课堂练习要注重落实，利用前面总结出的研究复合函数性质的一般方法和规律解决具体问题。
(1)复合函数奇偶性与内、外层函数奇偶性的关系，并对结论进行证明。
(2)已知函数
在[0,1]上是x的减函数，那么α的取值范围是________。
五、教学细节
1.在学生设计函数模型的过程中，教师对学生选择的复合函数模型给予适当的意见和建议，使得学生设计的函数模型更具有代表性、多样性、可操作性。同时，在研究复合函数性质时，一些逻辑思维能力较强的学生采用了直接进行逻辑分析函数性质的方法，之后再利用TI进行检验，这种方法也应鼓励。
2.在交流研究成果这一环节中，一个学生展示了他研究函数
的性质时得到的结论：定义域：(-∞,-1)∪(-1，+∞)，值域：[-8,+∞)……
显然，在以上结果中，函数的值域是不对的，他是通过观察函数图像得到这一“错误”的结果（图3）。
附图
图3
错误并不可怕，我们也理解学生在掌握新知识的过程中有“误解”，但关键是引导学生发现错误的实质所在。我在课上给他提供了两个解决办法。一是通过Windows调整坐标轴的单位长度或利用几何画板重新绘制函数图像可以发现该结果有误，x=-1是该函数图像的渐近线。二是通过换元法，严格推导出该函数的值域为R，这也是最根本的求解办法。通过此例说明数形结合作为一种重要的数学思想方法，主要是借助形的直观性来阐明与数之间的联系，同时借助数的精确性来阐明形的某些属性，数、形二者密不可分，相辅相成。
3.课上没有进一步研究复合函数奇偶性的规律主要有如下原因：第一，课时比较紧张。第二，在总结出复合函数增减性的规律后，学生容易类比得到复合函数奇偶性的规律。第三，在研究复合函数奇偶性的规律时，对设计复合函数模型的要求较高，而高一学生目前所学过的函数类型比较有限，不易举出实例。