古丽尼沙·巴克 新疆克州阿克陶县天山中学 845500
中图分类号：G623.5文献标识码：A文章编号：ISSN1001-2982 （2019）03-019-01
在解决数学问题的过程中，常常把某个较为复杂的式子（根式，和式，程式，对数式，三角函数式等）看成一个整体，用一个新的未知数替换它，把研究的问题变得比较简单，这样的变换已经是比较熟悉的问题，这样的方法称为换元法。换元法应用得当，可以把问题化繁为简，化难为易，化生为熟，把待研究的问题转化为已经研究过并已经解决的问题。中学阶段换元法在数，式，方程，不等式等方面都有广泛的应用。
1、换元法在解方程中的应用
例1：解方程
解：令，则原式=
即，解得或
当时，解得
当时， 无实根
∴原方程的解为。
通过恰当的换元，将高次方程化简为底次方程，复杂的方程化为简单的方程，便出于原方程的解。
例2.解方程。
分析:这是一个根号里面含有分式的无理方程，也可通过变形后换元求解。
解：原方程为
设 ，则原方程可变形为
解得 ，。
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当 时 ，， 解得 ;
当 时，解得 ;
经检验 ，都是原方程的根
解比较复杂的无理方程时,如果用两边平方的方法,会出现高次方程,增加解题难度,此时若能根据方程的特点,灵活地应用换元法,则可以实现化繁为简、化难为易的目的.在采用换元法解无理方程时,一般设整个根式为辅助元,这样不仅能简化方程,而且往往能直接把无理方程化为有理方程.
2、换元法在解方程组中的应用
例3：解方程组
解: 设 ， 则原方程组可化为:
由(2)， 得 (3)
将 (3) 代入(1) 得 ，解得 , ( 不能为负,舍去 )。
，得 ，解得 ，经检验,知 是原方程组的解；所以,原方程组的解为 ；
在采用换元法解无理方程组时，一般把整个式子设为辅助元，这样不仅能化简方程组，而且能把无理方程化为有理方程，便于易解。
3、换元法在解不等式和证明不等式中的应用
例4.解不等式
解：设
则，原不等式化为
整理解之得 解之得
因为， 所以，即，得
故 不等式的解集为 ；
例5：设,求证：
证明：令，因为，所以
则
于是
由二项式定理，此式显然成立。
例6：证明：
证明：设，则，则原不等式左边变为。
由于的解是或，所以 当时
故原不等式成立；
在证明不等式的过程中，可以将不等式中的变量作适当的代换，使不等式得到证明，这种方法叫做不等式证明中的换元法。
在证明不等式时，根据问题条件，进行合理换元，可以使字母之间的关系更清楚，还可以改变所证不等式的结构特征，常会使一些陌生的问题熟悉化，复杂的问题简单化。
论文作者:古丽尼沙·巴克
论文发表刊物:《中小学教育》2019年3月05期
论文发表时间:2018/12/3
本文来源: https://www.lw33.cn/article/4dc689539b29da57377b197e.html