胡炜 临泉田家炳实验中学 236400
中图分类号：G623.8文献标识码：A文章编号：ISSN1672-2051 （2018）12-096-01
在高考和各类模考试题中，有些抽象函数试题需要从具体的题设背景中，联想导数的运算法则，构造辅助函数，这类试题本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数解不等式，也很好的考查了数学抽象的数学核心素养，属于难题.破解这类试题，准确构造出符合题意的辅助函数是解题的关键；构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本文对这类试题进行总结.
一、构造差函数
例1已知函数满足，且的导函数，则的解集为______
[解析]设，则，
对任意，，即函数在上单调递减，则的解集为，的解集为.
二、构造可导的乘积函数
根据导数的运算法则，当，则，不难得出以下结论：
1.若，构造，则
；
2.若，构造，则
；
3.若，构造，则
（注意对的符号进行讨论）。
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例2已知是定义在上的减函数，其导函数满足，则下列结论正确的是（ ）
A.对于任意，
B.对于任意，
C.当且仅当时，
D.当且仅当时，
[解析]因为函数是定义在上的减函数，所以，
因为，所以，
所以，构造函数，
则，所以函数在上单调递增，
又因为，所以当时，，；当时，，.
又因为是定义在上的减函数，所以，
综上所述，对于任意，，故选答案B.
三、构造商函数
根据导数运算法则，设，则；不难得出以下结论：
1.若，构造，则；
2.若，且，构造，则；
3.若，且，构造，则（注意对的符号进行讨论）。
例3定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为_________
解：构造函数，则 ，由题意得恒成立，所以函数在上单调递减，又，
所以，即，所以，所以原不等式的解集为.
例4若对定义在上的可导函数，恒有，（其中表示函数的导函数在的值），则 （ ）
A.恒大于等于0 B.恒小于0
C.恒大于0 D.与0 的大小关系不确定
【解析】令,
由题设可知，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以当时，，所以时，，
在中令时，知，
综上所述，对任意的恒成立，故选答案C.
论文作者:胡炜
论文发表刊物:《中国教师》2018年12月刊
论文发表时间:2018/11/3
本文来源: https://www.lw33.cn/article/7fa4bc9a092a86169e6e5760.html