反例的功能及其价值，本文主要内容关键词为：价值论文,功能论文,反例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
曾有人对于著名的哥德巴赫猜想用电子计算机验证3.3×10[7]以内的全部偶数，猜想都是成立的。作这种验证绝对不是为了证明猜想正确，恰恰相反作这种努力正是为了寻求反例。本文谈谈反例在数学中的功能与价值。
1 反例是否定一个命题的武器
在数学中要证明一个命题正确，必须经过严密的推证，而要否定一个命题，只需要能举出一个与结论矛盾的例子就可以了。
例1 命题“a，b，c是三角形的三边，由a－b＜c，推出a[2]－b[2]＜c[2]是否正确？
分析 若a的对角为直角，则有a[2]－b[2]＝c[2]成立， 所以命题不真。
2 反例是判断命题真伪的试金石
一个似真似假的命题，只要利用反例就能很快辩出命题真假。
例2 若a＞0、b＞0且a≠1，b≠1，则log[,a]b＋log[,b]a≥2。
分析 log[,a]b的符号有两种情况：（1）若log[,a]b＞0，由平均不等式知结论成立。（2）若log[,a]b＜0，特别a＝5，b＝1 /5 ， 则log[,a]b＝log[,b]a＝－1，于是log[,a]b＋log[,b]a＝－2，命题为假。
例3 周期函数之和一定是周期函数，非周期函数之和一定是非周期函数。
分析 取函数f（x）＝x－[x]，周期为1，g（x）＝sinx， 周期为2π，但f（x）＋g（x）＝x－[x]＋sinx为非周期函数。
又可以取f（x）＝sinx－x，g（x）＝sinx＋x均为非周期函数，但它们的和f（x）＋g（x）＝2sinx显然为周期函数。
3 反例是加深理解的催化剂
新学习一个数学定义、定理、公式或解题方法，学生常常容易发生很多疑问，其中条件不能减少？步骤可不可以简化？这时反例就成了加深理解的催化剂。
例如，学习用数学归纳法证明，要分两个步骤：其中第一步是证明的基础；第二步是递推的根据，两个步骤是缺一不可的，这是因为有第一步无第二步是不完全归纳法、论断的普遍性是不可靠的，教师反复强调而学生仍然不理解，为了使学生对此有较深刻的印象，可举几个反例：
1[2]＋2[2]＋3[2]＋…＋n[2]＝（5n[2]－7n＋4）/2。
1·2＋2·3＋3·4＋…n（n＋1）＝3n[2]－3n＋2，都是n＝1、2、3时成立，但n＝4时就不成立。这样学生就信服了。再举几个反例， 有第二步缺第一步，则第二步中假设就失去了基础。例：1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）/2＋1，（1/1·2）＋1/（2·3）＋1/（3·4）＋…＋1/（n（n＋1））＝n/（n＋1）＋2等，都是假设n＝k时成立，可证出当n＝k＋1时也成立，但n＝1时并不成立。这样学生就更加理解了。
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